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燒腦的泰勒級數,說來說去說不明白?這次好像說明白了

目錄

1 指數函數

2 數列和級數

3 冪級數Power series

4 某個附近的線性逼近

5 泰勒多項式

6 泰勒定理

7 泰勒級數和麥克勞林級數

1 指數函數

指數函數是重要的基本初等函數之一。 一般地, y=a^x函數(a為常數且以a>0, a≠1)叫做指數函數, 函數的定義域是 R 。

a>1時, 則指數函數單調遞增;若0 2 數列和級數

一個數列是數a1,a2,a3,…,an,…的有序列。

無窮級數是數的和:a1+a2+a3+……+an+…

兩者都有收斂到極限的概念, 但求法和含義不一樣。

如調和級數1+1/2+1/3+1/4+1/5+…發散, 儘管級數的項趨於零。

3 冪級數Power series

4 某點附近的線性逼近

如果函數f在a處可導, 則f在a的附近可用切線逼近;切線提供f在a點的線性逼近。 點(a,f(a))處的切線方程是

y-f(a) = f'(a)(x-a) 或 y = f(a) + f'(a)(x-a)

因為線性逼近函數是一次多項式, 我們記它為

如果f在a附近的斜率接近是常數, 則線性逼近效果好。 然而如果f在a附近的曲率大, 則切線可能不是好的逼近。 為修正這種情況, 我們通過在線性多項式上加一項來構造二次項逼近。 記這個新二次多項式為

5 泰勒多項式

6 泰勒定理

設f在包含a的開區間I上有直到n+1階的連續導數。 對I內的所有x,

7 泰勒級數和麥克勞林級數

8 總結

8.1 理解泰勒級數一定要理解冪函數(x-a)^n或x^a。

8.2 對於泰勒級數中的(x-a)^n。 x必須是在a附近很小的範圍內取值, 如果x-a的取值為-1

8.3 對於麥克勞林級數中的x^n。x必須是在0附近很小的範圍內取值,如果x的取值為-1

8.4 如你想求一個函數在1.997或2.003處的值,你就可以設置中心為2,則x-2就是一個介於-1和1之間的很小的值。

8.5 如想求√(18)的值,可以設f(x)=√x,選擇中心為16。

8.6 需要注意的是,n階導數除了是正數外,有可能是負數或0。

8.7 對於一個函數在某點a附近(也就是x-a)的近似求法,可以轉換為函數在點a的值+Σ函數在點a處的n階微分。在我們的教科學中,有n階導數、n階積分,沒有n階微分一說,在這裡,n階微分可能理解為:

8.8 如是兩個函數在某點的值相等,且在某點的n階導數相等(暗含n階微分相等),那兩個函數在該點附近的值是近似的。

-End-

則(x-a)^n的值是同n單調遞減的。

8.3 對於麥克勞林級數中的x^n。x必須是在0附近很小的範圍內取值,如果x的取值為-1

8.4 如你想求一個函數在1.997或2.003處的值,你就可以設置中心為2,則x-2就是一個介於-1和1之間的很小的值。

8.5 如想求√(18)的值,可以設f(x)=√x,選擇中心為16。

8.6 需要注意的是,n階導數除了是正數外,有可能是負數或0。

8.7 對於一個函數在某點a附近(也就是x-a)的近似求法,可以轉換為函數在點a的值+Σ函數在點a處的n階微分。在我們的教科學中,有n階導數、n階積分,沒有n階微分一說,在這裡,n階微分可能理解為:

8.8 如是兩個函數在某點的值相等,且在某點的n階導數相等(暗含n階微分相等),那兩個函數在該點附近的值是近似的。

-End-

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