【向量場: 空間中每一點到向量的映射】圖解高等數學

向量場(Vector Fields)

平面或空間區域上的向量場是個函數, 即區域內的每一個點都對應一個向量.

如果各個分量函數 M,N,P 是連續的, 則這個場是連續. 並且三分量是可微的話, 則向量場是可微場.

下面先來看幾個向量場的圖形, 繪製向量 {2,1} 的向量場圖, 也就是每個地方都存在向量 (2,1).

再看下面的向量圖, 只有向量的水準分量, 也即是說這個向量場總是水準的, 並且向量的長度取決於 x .

下面這個向量場中的向量同時有兩個分量, 其實就是從原點呈放射狀, 並且向量大小隨著與原點的距離增大而增大.

一旦我們理解平面的情況, 我們就可以來看三維的向量場圖, 在空間中的每一點處都有一個向量. 每個有x,y,z三個分量表示出來, 其中每個分量都是 x,y,z 的函數.

空間中向量場看起來很難有直觀的感覺, 為了看的更清楚繪製切片曲面上的三維向量圖, 這樣四維的視覺化會更能清晰表示在三維區域上的向量值. 比如從下面圖形可以看到整個圖形是由 {0,0} 向外背離原點, 且越靠外邊, 向量長度越大

梯度場

如下面繪製馬鞍曲面上梯度構成的向量場圖.