數量關係考試：均值不等式在極值問題中的應用

【導讀】

中公事業單位為幫助各位考生順利通過事業單位招聘考試！今天為大家帶來數量關係考試：均值不等式在極值問題中的應用。

均值不等式是數量關係中一個非常好用的公式，

特別是在解決極值問題時，直接利用均值不等的推論比其它方法要方便許多，下面來給大家介紹均值不等式在極值問題中的應用。希望大家認真學習，為事業單位考試做好充足的準備。

解題過程中，我們更多應用的是均值不等式的推論，

下面我們來看一下均值不等式的具體應用。

2、均值不等式的應用

(1)和一定，求積的最大值

例題：若兩個自然數之和為10，求這兩個自然數積的最大值?

解析：兩個自然數和是10，情況數不是很多，我們可以依次寫出來，分別是1+9=10、2+8=10、3+7=10、4+6=10、5+5=10，一共五種情況，這五種情況的乘積分別是1×9=9、2×8=16、3×7=21、4×6=24、5×5=25，不難發現兩個數和為定值時，隨著這兩個數越來越接近，這兩個數的乘積就越來越大，當這兩個數相等時取到最大值，

所以說對於此題，當這兩個數均取5的時候，取到最大值25，即102/4，符合均值不等式的推論，以後可以直接應用。

例題：用60米長的鐵板圍成一個矩形雞窩，問這個雞窩的面積最大為多少平方米?

A.900 B.625 C.500 D.225

答案：D

解析：題幹提供的資訊為矩形的周長一定，求矩形的面積最大是多少，即為長和寬的和一定，求長乘以寬的最大值為多少，符合均值不等式的推論，直接應用。周長是60米，也就是說長加上寬為30米，

則當長=寬=15米時，矩形的面積可以取到最大值，為302/4=225平方米，選擇D。

(2)一元二次函數求極值

以前我們學過許多一元二次函數求極值的方法，有公式法、多因式分解法、求導法等等，但我們都清楚，這些方法相對來講比較複雜，現在我們來用均值不等式來求一元二次函數的極值，大家對比一下，會簡單很多。

例題：某旅行團去外地旅遊，30人起組團，每人單價800元。旅行社對超過30人的團隊給予優惠，

即旅行團每增加一人，每人的單價就降低10元。當旅行團的人數為多少時，旅行社可以獲得最大營業額?

解析：分析題幹，我們發現旅行社的營業額隨著人數的增加和單價的變化而變化，因此我們可以設，超過30人的團隊增加了x人，則每個人的單價就變成了(800-10x)元，因此總的營業額用f(x)表示為，f(x)=(30+x)(800-10x)，也就是一元二次函數，求最大營業額，即求一元二次函數的最大值。對應均值不等式的推論我們發現求兩個數乘積的最大值，

要滿足兩個數的和為定值，但我們發現30+x+800-10x=830-9x，不為定值，我們想用均值不等式，把兩個數的和變為定值即可，因此可以變為f(x)=10(30+x)(80-x)，這樣30+x+80-x=110，和為定值，因此當30+x=80-x時，可以取到最大值，此時x=25，人數為55人時旅行社可取到最大營業額。

例題：將進貨單價為90元的某商品按100元一個出售時，能賣出500個，已知這種商品如果每個漲價1元，其銷售量就會減少10個，為了獲得最大利潤，售價應定為( )元。

A.110 B.120 C.130 D.150

答案：B

解析：設商品每個漲價x元，每個利潤為(10+x)，則銷售量為(500-10x)個，因此利潤為f(x)=(10+x)(500-10x)=10(10+x)(50-x)，則有10+x+50-x=60為定值，因此當10+x=50-x時，能取到最大利潤，此時x=20，則售價為120元，選擇B。

以上為均值不等式在極值問題中的應用，希望對大家有多幫助。

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為了獲得最大利潤，售價應定為( )元。

A.110 B.120 C.130 D.150

答案：B

解析：設商品每個漲價x元，每個利潤為(10+x)，則銷售量為(500-10x)個，因此利潤為f(x)=(10+x)(500-10x)=10(10+x)(50-x)，則有10+x+50-x=60為定值，因此當10+x=50-x時，能取到最大利潤，此時x=20，則售價為120元，選擇B。

以上為均值不等式在極值問題中的應用，希望對大家有多幫助。

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