數學壓軸題（3月20日）適用年級：初一、初二、初三
初一年級
探索：在圖1至圖3中，
（1）如圖1，延長△ABC的邊BC到點D，使CD=BC，連接DA．若△ACD的面積為S1，則S1=（用含a的代數式表示）
（2）如圖2，延長△ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CD=BC，AE=CA，連接DE．若△DEC的面積為S2，則S2=（用含a的代數式表示）
（3）在圖2的基礎上延長AB到點F，使BF=AB，連接FD，FE，得到△DEF（如圖3）．若陰影部分的面積為S3，則S3=（用含a的代數式表示），並運用上述（2）的結論寫出理由．
發現：像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連接所得端點，得到△DEF（如圖3），此時，我們稱△ABC向外擴展了一次．可以發現，
應用：要在一塊足夠大的空地上栽種花卉，工程人員進行了如下的圖案設計：首先在△ABC的空地上種紅花，然後將△ABC向外擴展三次（圖4已給出了前兩次擴展的圖案）．在第一次擴展區域內種黃花，第二次擴展區域內種紫花，第三次擴展區域內種藍花．如果種紅花的區域（即△ABC）的面積是10平方米，請你運用上述結論求出：
（1）種紫花的區域的面積；
（2）種藍花的區域的面積．
初二年級：
鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個菱形，餘下一個四邊形，稱為第一次操作；在餘下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，又剩下一個四邊形，稱為第二次操作；…依此類推，若第n次操作餘下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為n階准菱形．如圖1，
（1）判斷與推理：
①鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是階准菱形；
②小明為了剪去一個菱形，進行了如下操作：如圖2，把▱ABCD沿BE折疊（點E在AD上），使點A落在BC邊上的點F，得到四邊形ABFE．請證明四邊形ABFE是菱形．
（2）操作、探究與計算：
①已知▱ABCD的鄰邊長分別為1，a（a＞1），且是3階准菱形，請畫出▱ABCD及裁剪線的示意圖，並在圖形下方寫出a的值；
②已知▱ABCD的鄰邊長分別為a，b（a＞b），滿足a=6b+r，b=5r，請寫出▱ABCD是幾階准菱形．
初三年級：
1.已知函數y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐標系中．
（1）若函數y1的圖像過點（﹣1，0），函數y2的圖像過點（1，2），求a，b的值．
（2）若函數y2的圖像經過y1的頂點．
①求證：2a+b=0；
②當1＜x＜3/2時，比較y1，y2的大小．
2.在線段AB的同側作射線AM和BN，若∠MAB與∠NBA的平分線分別交射線BN，AM於點E，F，AE和BF交於點P．如圖，點點同學發現當射線AM，
①∠APB=120°；②AF+BE=AB．
那麼，當AM∥BN時：
（1）點點發現的結論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請求出∠APB的度數，寫出AF，BE，AB長度之間的等量關係，並給予證明；
（2）設點Q為線段AE上一點，QB=5，若AF+BE=16，四邊形ABEF的面積為32√3，求AQ的長．
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