對數、解析幾何和微積分被公認是17世紀數學的三大重要成就， 恩格斯讚譽它們是“最重要的數學方法”。 伽利略甚至說：“給我空間、時間及對數， 我即可創造一個宇宙。 ”
對數logarithm， 記作x=logaN。 其中， a叫做對數的底數， N叫做真數。 是指數的逆運算。 利用對數可將乘除運算化簡為加減運算。
對數產生於以加減運算代替乘除運算的探索中。
以加（減）代乘（除）的想法早就存在了。 一個簡單的三位數乘法（例如265×438）， 一般需要四次運算才能得出結果， 但同樣數位的加法卻只需一次運算。 涉及的數位越大， 則乘（或除）所需要的運算次數比加（或減）所需的運算次數相差得越多。
16世紀中葉， 由於天文和航海而引起的大數計算日益激增， 這種計算不僅花去了人們大量的精力， 而且難以精確， 於是， 以加（減）代乘（除）的設想再次被提出， 並被作為必須解決的問題加以考慮了。
1614年，
一位英格蘭紳士納皮爾（J.Napier，
1550—1617）出版了一本名為《奇妙的對數表》的著作，
宣告了他的新發現－對數。
對數的基本思想可以追溯到古希臘時代。 早在西元前3世紀， 古希臘數學家阿基米德就已經認識到：一個數的諸次冪所構成數列與它們的指數所構成數列之間存在對應關係。
為了說明指數是什麼， 我們來看兩個數列
第二排數字叫做以2為底數的冪， 就是2*2*2*…。 上標為幾， 就是幾個2相乘， 這個上標就叫做冪的指數。 如16=2*2*2*2=2的4次冪。 特別地， 我們定義2的0次冪為1.顯然， 我們有
這就是說， 指數的和(3+4)、差(7-3)、倍數(2*3)和幾分之一(1/2)分別與冪的乘積、商、乘方和開方相對應。 這就是斯蒂菲爾最早提出的四條法則。 他還將上述的法則推廣到負指數情形。 16世紀許多的法國數學家也知道乘法法則。
然而， 由於一個正整數數次冪所構成數列的相鄰兩項間隔太大，
在對數發明之前， 天文計算一直是利用三角函數來進行的。 16世紀初， 德國天文學家維納為了簡化天文計算， 率先使用了後人以他的名字命名的三角公式：
2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)
2sinAsinB=cos(A-B)-cos(A+B)
例如， 要計算98436*79253， 可設cosA=0.49218， cosB=0.79253。 從三角函數表中查得A和B， 然後又從三角函數表中查得cos(A+B)， cos(A-B)， 根據維納公式， 即得2cosAcosB。 將小數改成整數， 就得到所求的乘積。
這種方法被稱為加減術， 主要為在天文臺從事研究工作的天文學家所使用。 丹麥著名天文學家第谷就曾使用過這種方法。 不過， 1590年以前， 英格蘭人還不知道這種方法。
1590年， 英格蘭國王詹姆斯六世率船隊遠航丹麥， 迎娶丹麥的安妮公主。
詹姆斯六世這次遠航的隨行人員中， 有一位名叫克萊格的御醫。 約在1954年， 克萊格造訪了英格蘭的一位業餘數學家約翰 ·納皮爾爵士， 將“加減術”的方法告訴了他。
3 納皮爾的功績1550年， 納皮爾出生在一個貴族家庭的莊園裡， 後來成了它的第八位領主。 在納皮爾早期的活動中， 他主要的興趣是在宗教方面。 他是位熱忱的新教徒， 堅決反對羅馬教廷， 並捲入了當時的宮廷爭鬥。 納皮爾寫過一本宗教書籍， 非常暢銷， 一共發行了21版！
納皮爾還是個發明家。
如果說納皮爾的名字在歷史上有其地位， 這決不是因為他的暢銷書， 或者他在機械發明上的天分， 而是因為一個花了他20年功夫匯出來的數學工具：對數。
在1954年克萊格造訪前， 納皮爾正在考慮簡化天文計算的問題－如何變乘法為加法。 克萊格告訴他的方法給了他很大的啟示， 也激勵他加倍努力地對簡化計算的方法進行探求。 誰知， 這條求索之路是如此漫長， 一走就是20年。
在《奇妙的對數表》一書的前言裡， 納皮爾介紹了他發明對數的動機：
“沒有什麼比大數的乘、除、開平方或開立方運算更讓數學工作者頭痛、更阻礙計算者的了。這不僅浪費時間，而且容易出錯。因此，我開始考慮怎樣消除這些障礙。經過長久的思索，我終於找到了一些漂亮的簡短法則…”而且闡述了這個發明的思想過程：
假定有兩個質點P和Q，分別沿著線段AZ和射線A'Z'以同樣的初速運動，其中Q保持初速不變，而P作減速運動，其速度與這個點離Z的距離成正比，現在，如果當P位於某點B時，Q位於B'，那麼，A'B'就是BZ的對數！同樣的A'C'是CZ的對數，等等（如下圖）．
建立了這個模型以後，耐普爾通過代入具體的數位得出BZ、CZ、DZ、EZ、FZ…一系列數值為：
以及作為它們的對數的A'B'，A'C'，A'D'，A'E'，A'F'，…一系列數值為： 1，2，3，4，5，…
顯然，這也是一組相互對應的等比數列和等差數列，因此耐普爾實質是把等差數列中的數定義為對應的等比數列中的數的對數！這說明，耐普爾借助于質點運動建立起來的對數概念，其原理仍不外乎等比數列與等差數列關係的合理運用。
有趣的是，幾乎同一時間，瑞士的一個鐘錶匠喬伯斯特·別爾基 (Jobst Burgi,1552-1632)也獨立發明了對數。他花了8年時間編出了世界上最早的對數表，但卻一直未發表。他花了8年時間編出了世界上最早的對數表，但卻一直未發表。直到1620年，他才在開普勒的懇求下將其發表出來，這時納皮爾的對數早已聞名全歐洲了。
4 常用對數表的誕生1614年，英國數學家、倫敦格雷舍姆學院首任幾何學教授布裡格斯（Briggs1561-1630）讀到了納皮爾的《奇妙的對數表》。此前，布裡格斯正從事天文學研究，繁重的天文計算正是他試圖克服的困難，納皮爾的書給他帶來了極大的震撼。
布裡格斯在閱讀納皮爾的著作後，開始考慮對納皮爾的對數進行改進，並且引入課堂教學。在其著作《對數的算術》（1624年）的序言中，布裡格斯寫下了這樣一段話：
“我本人在倫敦格雷舍姆學院向學生講解這個理論時曾說，把0作為整個正弦（sin90°=10000000）的對數，要方便得多…我就立即寫信給作者本人；暑期一來臨，我就去了愛丁堡。在那裡，他（納皮爾）十分熱情地接待了我。我整整呆了一個月。當我們談到對對數作改進時，他說他也有同樣的想法並且希望完成它。”
1624年，布裡格斯出版了他的著作《對數的算術》，書中包含從1到20000以及從90000到100000的14位對數表。1628年，弗拉克補充了從20000到90000的對數，出版完整的常用對數表。
常用對數表使用方法請參考：《三大最重要的數學方法》
5 尋找合適的底由於對數運算有換底公式
所以只要選擇一個適當的底，用這個底製作出對數表，則關於其他底的對數表就很容易製作出來了。那麼以什麼數作為底最合適呢？
首先，對數表需要滿足一個基本條件：表中對數的間隔要充分小，而真數的間隔也要充分小（例如為0.0001）。這樣當我們從真數求對數時，很容易在表中找到這個真數的精確值或近似值，從而很快在同一行讀出它的對數值；而當我們從對數求真數時，也很容易在表中找到這個對數的精確值或近似值，從而很快在同一行讀出它的真數值。
5.1 第一次嘗試
因為我們使用的是10進制，所以先試一下以10作為底是否合適。
注：上表中10000√10表示10的10000次方根。
這個表的左邊對數部分的間隔很小，是0.0001，但右邊真數部分的計算非常困難，需要對10，100，1000，10000等數求10000次根，這簡直是無法計算的。
5.2 第二次嘗試
為了避免求上述的開10000次根的運算，我們應該取某個數的10000次冪為底，那麼我們先取10^10000作為底來試一下。
現在這個表右邊真數部分的計算不困難了，但這個表不符合我們的要求，雖然對數的間隔比較小（0.0001），但是真數的間隔太大，而且增加太快。
5.3 第三次嘗試
我們把底縮小一點試一下，取2^10000作為底。
底縮小後，真數這一列間隔也縮小了，但是仍然太大，而且增加也很快。
5.4 第四次嘗試
我們把底再縮小一點試一下，取(1+1/2)^10000作為底。
從以上幾張表我們可以發現，我們取的底應該是一個指數形式，指數是一個比較大的數，如10000，而底越接近1，真數這一列的間隔就越小。
5.5 第五次嘗試
於是自然地想到以1.0001^10000作為底試一下。
我們發現這張表已經滿足我們前面提出的要求了：真數和對數都按照單調增加的序列排列，而且間隔都非常小。
從以上討論可以得出這樣的結論：為了造第一張對數表時便於計算，必須取形如(1+1/n)^n的數為底，其中n為一個較大的整數，如n=1000，10000等，n越大，所造的表越精確。
別爾基造的對數表就是用數1.0001^10000做底的，這張表在1620年出版，稱為“算術級數和幾何級數表”。別爾基從1603年到1611年共用了八年的時間來造表，為什麼要用這麼多時間呢？你們可以想一下，表中對數的間隔是0.0001，從0到1就要計算10000個真數的值。製作整個對數表，別爾基總共做了230,000,000個以上的數依次乘以1.0001的乘法計算。
別爾基造的對數表沒有得到廣泛的推廣，因為在1620年，納皮爾出版了比別爾基造的表完善得多的對數表，稱為“珍奇對數表”。納皮爾的對數表是以1.0000001^1000000做底的，因此更加精確。為了製作這張表，納皮爾用了20年的時間。隨著牛頓（Newton，1643-1727）和萊布尼茲（Leibniz，1646-1716）創立了微積分，柯西（Cauchy，1789-1857）和魏爾斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）等人奠定了微積分的基礎，建立了嚴格的極限理論，人們發現當n無限增加時，數列(1+1/n)^n極限存在，這個極限是一個無理數，等於2.71828182845……，數學家把這個數用字母e來表示，是為了紀念偉大的瑞士數學家歐拉（Euler，1707-1783）。但為了紀念納皮爾，這個數也叫作“納皮爾數”。
因此，現在用的對數有兩種，一種叫自然對數，它以數e為底，另一種叫常用對數，它以10為底。
“沒有什麼比大數的乘、除、開平方或開立方運算更讓數學工作者頭痛、更阻礙計算者的了。這不僅浪費時間，而且容易出錯。因此，我開始考慮怎樣消除這些障礙。經過長久的思索，我終於找到了一些漂亮的簡短法則…”而且闡述了這個發明的思想過程：
假定有兩個質點P和Q，分別沿著線段AZ和射線A'Z'以同樣的初速運動，其中Q保持初速不變，而P作減速運動，其速度與這個點離Z的距離成正比，現在，如果當P位於某點B時，Q位於B'，那麼，A'B'就是BZ的對數！同樣的A'C'是CZ的對數，等等（如下圖）．
建立了這個模型以後，耐普爾通過代入具體的數位得出BZ、CZ、DZ、EZ、FZ…一系列數值為：
以及作為它們的對數的A'B'，A'C'，A'D'，A'E'，A'F'，…一系列數值為： 1，2，3，4，5，…
顯然，這也是一組相互對應的等比數列和等差數列，因此耐普爾實質是把等差數列中的數定義為對應的等比數列中的數的對數！這說明，耐普爾借助于質點運動建立起來的對數概念，其原理仍不外乎等比數列與等差數列關係的合理運用。
有趣的是，幾乎同一時間，瑞士的一個鐘錶匠喬伯斯特·別爾基 (Jobst Burgi,1552-1632)也獨立發明了對數。他花了8年時間編出了世界上最早的對數表，但卻一直未發表。他花了8年時間編出了世界上最早的對數表，但卻一直未發表。直到1620年，他才在開普勒的懇求下將其發表出來，這時納皮爾的對數早已聞名全歐洲了。
4 常用對數表的誕生1614年，英國數學家、倫敦格雷舍姆學院首任幾何學教授布裡格斯（Briggs1561-1630）讀到了納皮爾的《奇妙的對數表》。此前，布裡格斯正從事天文學研究，繁重的天文計算正是他試圖克服的困難，納皮爾的書給他帶來了極大的震撼。
布裡格斯在閱讀納皮爾的著作後，開始考慮對納皮爾的對數進行改進，並且引入課堂教學。在其著作《對數的算術》（1624年）的序言中，布裡格斯寫下了這樣一段話：
“我本人在倫敦格雷舍姆學院向學生講解這個理論時曾說，把0作為整個正弦（sin90°=10000000）的對數，要方便得多…我就立即寫信給作者本人；暑期一來臨，我就去了愛丁堡。在那裡，他（納皮爾）十分熱情地接待了我。我整整呆了一個月。當我們談到對對數作改進時，他說他也有同樣的想法並且希望完成它。”
1624年，布裡格斯出版了他的著作《對數的算術》，書中包含從1到20000以及從90000到100000的14位對數表。1628年，弗拉克補充了從20000到90000的對數，出版完整的常用對數表。
常用對數表使用方法請參考：《三大最重要的數學方法》
5 尋找合適的底由於對數運算有換底公式
所以只要選擇一個適當的底，用這個底製作出對數表，則關於其他底的對數表就很容易製作出來了。那麼以什麼數作為底最合適呢？
首先，對數表需要滿足一個基本條件：表中對數的間隔要充分小，而真數的間隔也要充分小（例如為0.0001）。這樣當我們從真數求對數時，很容易在表中找到這個真數的精確值或近似值，從而很快在同一行讀出它的對數值；而當我們從對數求真數時，也很容易在表中找到這個對數的精確值或近似值，從而很快在同一行讀出它的真數值。
5.1 第一次嘗試
因為我們使用的是10進制，所以先試一下以10作為底是否合適。
注：上表中10000√10表示10的10000次方根。
這個表的左邊對數部分的間隔很小，是0.0001，但右邊真數部分的計算非常困難，需要對10，100，1000，10000等數求10000次根，這簡直是無法計算的。
5.2 第二次嘗試
為了避免求上述的開10000次根的運算，我們應該取某個數的10000次冪為底，那麼我們先取10^10000作為底來試一下。
現在這個表右邊真數部分的計算不困難了，但這個表不符合我們的要求，雖然對數的間隔比較小（0.0001），但是真數的間隔太大，而且增加太快。
5.3 第三次嘗試
我們把底縮小一點試一下，取2^10000作為底。
底縮小後，真數這一列間隔也縮小了，但是仍然太大，而且增加也很快。
5.4 第四次嘗試
我們把底再縮小一點試一下，取(1+1/2)^10000作為底。
從以上幾張表我們可以發現，我們取的底應該是一個指數形式，指數是一個比較大的數，如10000，而底越接近1，真數這一列的間隔就越小。
5.5 第五次嘗試
於是自然地想到以1.0001^10000作為底試一下。
我們發現這張表已經滿足我們前面提出的要求了：真數和對數都按照單調增加的序列排列，而且間隔都非常小。
從以上討論可以得出這樣的結論：為了造第一張對數表時便於計算，必須取形如(1+1/n)^n的數為底，其中n為一個較大的整數，如n=1000，10000等，n越大，所造的表越精確。
別爾基造的對數表就是用數1.0001^10000做底的，這張表在1620年出版，稱為“算術級數和幾何級數表”。別爾基從1603年到1611年共用了八年的時間來造表，為什麼要用這麼多時間呢？你們可以想一下，表中對數的間隔是0.0001，從0到1就要計算10000個真數的值。製作整個對數表，別爾基總共做了230,000,000個以上的數依次乘以1.0001的乘法計算。
別爾基造的對數表沒有得到廣泛的推廣，因為在1620年，納皮爾出版了比別爾基造的表完善得多的對數表，稱為“珍奇對數表”。納皮爾的對數表是以1.0000001^1000000做底的，因此更加精確。為了製作這張表，納皮爾用了20年的時間。隨著牛頓（Newton，1643-1727）和萊布尼茲（Leibniz，1646-1716）創立了微積分，柯西（Cauchy，1789-1857）和魏爾斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）等人奠定了微積分的基礎，建立了嚴格的極限理論，人們發現當n無限增加時，數列(1+1/n)^n極限存在，這個極限是一個無理數，等於2.71828182845……，數學家把這個數用字母e來表示，是為了紀念偉大的瑞士數學家歐拉（Euler，1707-1783）。但為了紀念納皮爾，這個數也叫作“納皮爾數”。
因此，現在用的對數有兩種，一種叫自然對數，它以數e為底，另一種叫常用對數，它以10為底。