微積分(Calculus)是高等數學中研究函數的微分（Differentiation）、積分(Integration)以及有關概念和應用的數學分支。 是數學的一個基礎學科。
微分學包括求導數的運算， 是一套關於變化率的理論。 它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。
積分學，
包括求積分的運算，
為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。
目錄
1 函數與引數的關係
2 對數函數指數函數的關係
3 自然常數e
4 單位弧度
5 一個完整的圓的弧度
6 介值定理
7 速度的圖像闡釋
7 導函數
8 二階導數和更高階導數
9 切線方程
10 直接畫出導函數的圖像
11 單位圓的切線斜率
12 全域極值和局部極值
13 羅爾定理
14 中值定理(Mean Value Theorem)
15 二階導數和圖像
16 一個最優化的例子
17 微分(The differential)
18 牛頓法
19 速度曲線下的面積
20 定積分
21 用其他函數的積分來表示的函數
22 微積分的第一基本定理(The First Fundamental Theorem)
1 函數與引數的關係函數，
從字面理解就是包含引數，
與引數有對應關系的變數。
對數函數與指數函數互為反函數。
e 是描述增長率的自然常量, 並且 e^x 還是唯一具有下面性質的函數:
這個函數曲線上的每一個點的 y 值, 在該點的斜率和曲線下面積三者都是相同值.
特別是當 x =1 時, 函數值就等於 e. 斜率也是 e, 而曲線下的面積也是 e.
也正是因為這個主要性質, 使得它成為了微積分中最喜聞樂見的符號(微積分也正是描述變化率, 極限求和的數學). 所以當在微積分課程中, 每每遇到 e 的計算, 你覺得計算應該會簡單很多.
單位弧度：圓弧長度等於半徑時對應的圓心角。
一周的弧度數為2πr/r=2π， 360°角=2π弧度， 因此， 1弧度約為57.3°， 即57°17'44.806''， 1°為π/180弧度， 近似值為0.01745弧度， 周角為2π弧度， 平角（即180°角）為π弧度， 直角為π/2弧度。 在具體計算中， 角度以弧度給出時， 通常不寫弧度單位，
介值定理， 又名中間值定理， 是閉區間連續函數的重要性質之一。 在數學分析中， 介值定理表明， 如果定義域為[a， b]的連續函數f， 那麼在區間內的某個點， 它可以在f（a）和f（b）之間取任何值， 也就是說， 介值定理是在連續函數的一個區間內的函數值肯定介於最大值和最小值之間。
當 t+h 趨於 t 時, Q 點就越來越接近點 P 點. 由於瞬時速度是割線在 h 趨於 0 時的極限. 於是瞬時速度就等於通過點 P 的切線的斜率.
導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。當函數y=f(x)的引數x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與引數增量Δx的比值在Δx趨於0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'(x0)或df(x0)/dx。
對f 關於變數x求導得到函數 f' , 也即是
函數 f 取其導數得到一個新的函數 f', 實際上可以採用這個新的函數, 再次求導. 最終得到導數的導數, 這被稱為二階導, 寫作 f''.
求導的一個好處就是可以使用導數來求所給曲線的切線方程. 求出過該點的切線的斜率是 f' (x), 使用點斜式來得到切線方程.
假設有一個函數的圖像, 你不知道它的方程, 但又想要畫出其導函數的圖像, 這就需要你對微分有一個很好的理解. 這裡製作一個動圖來加深對導函數的印象.
考慮方程 x^2+y^2=4 , 圖像就是半徑為2、圓心位於原點的單位圓.
圓上點(x, y) 處的切線的斜率是 −x/y.
通過函數的導數可以找到函數的極值。
羅爾定理(Rolle's Theorem)假設函數 f 在閉區間 [a,b] 內連續, 在開區間 (a, b) 內可導. 如果 f(a) = f(b); 那麼在開區間 (a,b) 內至少存在一點 c, 使得 f'(c) = 0.
中值定理:假設函數 f 在閉區間 [a,b] 內連續, 在開區間 (a,b) 內可導, 那麼在開區間 (a,b) 內至少有一點 c 使得 f(b)−f(a)b−a=f'(c)f(b)−f(a)b−a=f'(c).
中值定理和羅爾定理這兩個定理的條件幾乎是相同的. 在兩個定理中, 函數f 都要求在閉區間 [a,b] 內連續, 在開區間 (a,b) 內可導. 但羅爾定理還要求 f(a) = f(b), 中值定理則沒要求這一點.
15 二階導數和圖像如果把二階導數看作導數的導數, 那麼可以把二階導數寫為 (f')'(x) > 0. 這意味著導函數 f'(x) 始終是增函數.
觀察下面圖中不同的 (0,2) 與 (7.5, 10)範圍二階導數 f''(x) > 0 (凹向上, 如碗型: 凸函數Convex function), 所以導函數 f'(x) 始終是增函數;而在 (2,7.5) 區間二階導數 f''(x) < 0(凹向下: 凹函數Concave function), 所以導函數 f'(x) 始終是減函數.
原函數凹凸性改變的地方,稱之為拐點(inflection point), 也是上圖區域顏色改變之處(用紅點標識出來的地方).
16 一個最優化的例子假設只有300 英尺長的籬笆可供使用, 並且農場主想要圍成一個直角三角形的農場, 並且使新圈出的地的面積(下圖綠色三角形區域)盡可能地大. 那麼這塊地的周長和麵積分別為多少？
(1) 首先要識別出一些變數. 設三角形的底邊為 b, 高為 h, 斜邊為H, 並且面積 A. 限制條件籬笆的長度 h+H, 目標最大化 A;
(2) 由題意可知 0<=b<=300, 0<=H<=300, 0<=h<=150;
(3) 列出方程組 A=bh/2, h+H=300, b^2+h^2=H^2;
(4) 消去 b 和 H 得到 A 的方程;
(5) 求導 dA/dh=45(100−h)√900−6h
(6) 求得 h=100 時候, A = 5000√3, 並進行驗證
(7) 得到結論.
17 微分(The differential)微分概念是在解決直與曲的矛盾中產生的，其中心思想是無窮分割。
設函數y = f(x)在x的鄰域內有定義，x及x + Δx在此區間內。函數的增量可表示為Δy = f(x + Δx) - f(x)。
通常把引數x的增量 Δx稱為引數的微分，記作dx，即dx = Δx。於是函數y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數的微分與引數的微分之商等於該函數的導數。因此，導數也叫做微商。
f(x + Δx) - f(x)= f'(x)dx
當x=a時，則f(a + Δx)= f(a)+f'(a)Δx
量df 被稱為 f 在 x=a 處的微分, 它是當 x 從 a 變化為 a+△x 時 f 的變化量的近似. 這意味著 x 的微小變化會引起 y 的變化, 而後者的變化量約為前者的 f'(x) 倍.
18 牛頓法牛頓法是一種在實數域和複數域上近似求解方程的方法。方法使用函數f(x)的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(y)=0的根。
牛頓法假設a 是對方程 f(x) = 0 的解的一個近似. 如果令 b = a - f(a)/f′(a). 則在很多情況下, b 是個比 a 更好的近似.
有時牛頓法也會不起作用.
現在考慮速度為時間 t 的連續函數, 在整個[a, b] 區間內重複這個劃分的過程, 在每個時間段內, 我們都取個樣本速度.
觀察上動圖隨著劃分區間增大, 陰影部分的面積比之前的分區更接近於真實面積了, 但是如果其中的某個分區很大, 對估算結果仍然會有很大的影響.
如果這些分區的最大值趨於 0 , 那麼這個估算的結果就越來越精確了, 就得到了下面的公式:
因為最大區間趨於0, 這樣劃分的數目就會越來越大, 所以上述極限自動包含了n 趨於∞ 這樣一個思想.
如果在不同的劃分中選擇函數的最大值和最小值, 所形成的矩形當然會不同
通過對這兩種情況的分析, 可以得到下和<= 曲線下的實際面積<=上和.
20 定積分定積分就是求函數f(X)在區間[a,b]中的圖像包圍的面積。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所圍成圖形的面積。把函數在某個區間上的圖像[a,b]分成n份，用平行於y軸的直線把其分割成無數個矩形，再求當n→+∞時所有這些矩形面積的和。
一個使用定義的例子：
需要把 [0,2] 區間分成n 個小區間, 每個小區間的長度是相等的. 因為總長度為2, 共有n 個區間, 所以每個區間的長度為2/n.
注：(1/3x^3)'=x^2
考慮積分下面積分式子實際上是一個以積分上線 x 為變數的函數, 這就有
觀看下面的動畫:
微積分的第一基本定理揭示了定積分與被積函數的原函數或者不定積分之間的聯繫。
如果函數f 在閉區間 [a,b] 上是連續的, 定義F 為
則 F 在開區間 (a,b) 內是可導函數, 而且 F'(x)=f(x)
觀察下麵的圖形:
上圖淡紅色的陰影部分, 當 h 很小的時候幾乎為小豎條, 所以可以用計算長方形面積的方法來估算該豎條的面積, 它的底從x 到x+h, 高從0 到f(x), 所以面積是 h*f(x) , 也就是:
Reference：《圖解普林斯頓微積分讀本》http://www.toutiao.com/a6480520623834530318/
－End－
當 t+h 趨於 t 時, Q 點就越來越接近點 P 點. 由於瞬時速度是割線在 h 趨於 0 時的極限. 於是瞬時速度就等於通過點 P 的切線的斜率.
導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。當函數y=f(x)的引數x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與引數增量Δx的比值在Δx趨於0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'(x0)或df(x0)/dx。
對f 關於變數x求導得到函數 f' , 也即是
函數 f 取其導數得到一個新的函數 f', 實際上可以採用這個新的函數, 再次求導. 最終得到導數的導數, 這被稱為二階導, 寫作 f''.
求導的一個好處就是可以使用導數來求所給曲線的切線方程. 求出過該點的切線的斜率是 f' (x), 使用點斜式來得到切線方程.
假設有一個函數的圖像, 你不知道它的方程, 但又想要畫出其導函數的圖像, 這就需要你對微分有一個很好的理解. 這裡製作一個動圖來加深對導函數的印象.
考慮方程 x^2+y^2=4 , 圖像就是半徑為2、圓心位於原點的單位圓.
圓上點(x, y) 處的切線的斜率是 −x/y.
通過函數的導數可以找到函數的極值。
羅爾定理(Rolle's Theorem)假設函數 f 在閉區間 [a,b] 內連續, 在開區間 (a, b) 內可導. 如果 f(a) = f(b); 那麼在開區間 (a,b) 內至少存在一點 c, 使得 f'(c) = 0.
中值定理:假設函數 f 在閉區間 [a,b] 內連續, 在開區間 (a,b) 內可導, 那麼在開區間 (a,b) 內至少有一點 c 使得 f(b)−f(a)b−a=f'(c)f(b)−f(a)b−a=f'(c).
中值定理和羅爾定理這兩個定理的條件幾乎是相同的. 在兩個定理中, 函數f 都要求在閉區間 [a,b] 內連續, 在開區間 (a,b) 內可導. 但羅爾定理還要求 f(a) = f(b), 中值定理則沒要求這一點.
15 二階導數和圖像如果把二階導數看作導數的導數, 那麼可以把二階導數寫為 (f')'(x) > 0. 這意味著導函數 f'(x) 始終是增函數.
觀察下面圖中不同的 (0,2) 與 (7.5, 10)範圍二階導數 f''(x) > 0 (凹向上, 如碗型: 凸函數Convex function), 所以導函數 f'(x) 始終是增函數;而在 (2,7.5) 區間二階導數 f''(x) < 0(凹向下: 凹函數Concave function), 所以導函數 f'(x) 始終是減函數.
原函數凹凸性改變的地方,稱之為拐點(inflection point), 也是上圖區域顏色改變之處(用紅點標識出來的地方).
16 一個最優化的例子假設只有300 英尺長的籬笆可供使用, 並且農場主想要圍成一個直角三角形的農場, 並且使新圈出的地的面積(下圖綠色三角形區域)盡可能地大. 那麼這塊地的周長和麵積分別為多少？
(1) 首先要識別出一些變數. 設三角形的底邊為 b, 高為 h, 斜邊為H, 並且面積 A. 限制條件籬笆的長度 h+H, 目標最大化 A;
(2) 由題意可知 0<=b<=300, 0<=H<=300, 0<=h<=150;
(3) 列出方程組 A=bh/2, h+H=300, b^2+h^2=H^2;
(4) 消去 b 和 H 得到 A 的方程;
(5) 求導 dA/dh=45(100−h)√900−6h
(6) 求得 h=100 時候, A = 5000√3, 並進行驗證
(7) 得到結論.
17 微分(The differential)微分概念是在解決直與曲的矛盾中產生的，其中心思想是無窮分割。
設函數y = f(x)在x的鄰域內有定義，x及x + Δx在此區間內。函數的增量可表示為Δy = f(x + Δx) - f(x)。
通常把引數x的增量 Δx稱為引數的微分，記作dx，即dx = Δx。於是函數y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數的微分與引數的微分之商等於該函數的導數。因此，導數也叫做微商。
f(x + Δx) - f(x)= f'(x)dx
當x=a時，則f(a + Δx)= f(a)+f'(a)Δx
量df 被稱為 f 在 x=a 處的微分, 它是當 x 從 a 變化為 a+△x 時 f 的變化量的近似. 這意味著 x 的微小變化會引起 y 的變化, 而後者的變化量約為前者的 f'(x) 倍.
18 牛頓法牛頓法是一種在實數域和複數域上近似求解方程的方法。方法使用函數f(x)的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(y)=0的根。
牛頓法假設a 是對方程 f(x) = 0 的解的一個近似. 如果令 b = a - f(a)/f′(a). 則在很多情況下, b 是個比 a 更好的近似.
有時牛頓法也會不起作用.
現在考慮速度為時間 t 的連續函數, 在整個[a, b] 區間內重複這個劃分的過程, 在每個時間段內, 我們都取個樣本速度.
觀察上動圖隨著劃分區間增大, 陰影部分的面積比之前的分區更接近於真實面積了, 但是如果其中的某個分區很大, 對估算結果仍然會有很大的影響.
如果這些分區的最大值趨於 0 , 那麼這個估算的結果就越來越精確了, 就得到了下面的公式:
因為最大區間趨於0, 這樣劃分的數目就會越來越大, 所以上述極限自動包含了n 趨於∞ 這樣一個思想.
如果在不同的劃分中選擇函數的最大值和最小值, 所形成的矩形當然會不同
通過對這兩種情況的分析, 可以得到下和<= 曲線下的實際面積<=上和.
20 定積分定積分就是求函數f(X)在區間[a,b]中的圖像包圍的面積。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所圍成圖形的面積。把函數在某個區間上的圖像[a,b]分成n份，用平行於y軸的直線把其分割成無數個矩形，再求當n→+∞時所有這些矩形面積的和。
一個使用定義的例子：
需要把 [0,2] 區間分成n 個小區間, 每個小區間的長度是相等的. 因為總長度為2, 共有n 個區間, 所以每個區間的長度為2/n.
注：(1/3x^3)'=x^2
考慮積分下面積分式子實際上是一個以積分上線 x 為變數的函數, 這就有
觀看下面的動畫:
微積分的第一基本定理揭示了定積分與被積函數的原函數或者不定積分之間的聯繫。
如果函數f 在閉區間 [a,b] 上是連續的, 定義F 為
則 F 在開區間 (a,b) 內是可導函數, 而且 F'(x)=f(x)
觀察下麵的圖形:
上圖淡紅色的陰影部分, 當 h 很小的時候幾乎為小豎條, 所以可以用計算長方形面積的方法來估算該豎條的面積, 它的底從x 到x+h, 高從0 到f(x), 所以面積是 h*f(x) , 也就是:
Reference：《圖解普林斯頓微積分讀本》http://www.toutiao.com/a6480520623834530318/
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