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本文是 第二篇（下）
………………
這個難題甚至難倒了瑞士巴塞爾的數學雙雄——伯努利兄弟。 伯努利家族擁有著非凡的數學基因， 家族幾十代人都是數學家或者從事數學領域的事業， 在歐洲享有極高盛名， 以至於幾乎無人不知， 無人不曉。
巴塞爾的萊茵河
如果你還知道萊布尼茨的話， 你也應該知道萊布尼茨的能力， 發明微積分的人對級數操控肯定不是一般人能理解的層次， 萊布尼茨曾對惠更斯宣稱：對於任何收斂的無窮級數， 只要其中各項遵循一定規律， 那麼我就能求出和來。
然後在1673年， 萊布尼茨遇到了英國數學家佩爾（John Pell， 1611-1685）， 佩爾用這個巴塞爾級數， 一下就把血氣方剛的萊布尼茨鎮住了， 萊布尼茨苦思一下午， 最終心有不甘地認輸！
德國數學家&哲學家
直到在1734年， 這個問題突然被伯努利的學生歐拉解決了， 而歐拉所採用的方式相當聰明， 也非常巧妙， 從中我們能看到他那非凡的智慧， 把數學技巧玩轉得淋漓盡致， 甚至他的辦法足以讓一個對數學感興趣的學生看了後“暈過去”。 （後續我會考慮單獨寫一篇歐拉的這個推導過程， 這裡限於篇幅省略）
好了， 我們來看歐拉得到的巴塞爾難題的結果吧！
巴塞爾級數的結果
這個結果在當時震驚整個歐洲數學界， 不僅僅是解決了這個世界性難題， 還有這個結果居然和圓周率相關聯， 這對18世紀的數學家來說是很神奇的， 圓周率本和圓相關， 可這個級數怎麼看， 也和圓搭不上關係啊！當然，
至此， 歐拉名揚天下， 開始了十八世紀後對數學界的統治， 實際上歐拉支配了十八世紀至今的數學， 因為數學的眾多分支， 都是他開創然後獲得進展的。 比如大家可能知道複分析中重要的傅立葉級數分析法， 其基本方程是歐拉初創， 準確的應該叫歐拉-傅立葉方程；現代非對稱加密RAS金鑰所用的重要數學工具， 就是數論中四大定理之一的歐拉定理， 也稱歐拉函數；流體力學的基本方程納維斯托克斯方程， 也是歐拉方程的擴展， 這樣的例子數不勝數……
調和級數
但歐拉所做的不僅僅於此， 他後來繼續研究巴塞爾級數的一般情況， 得到了另一個振舉世界的重大發現， 該發現在數學史上， 絕對堪稱“運用數學技巧達到人類智慧之巔峰”的典範， 該發現直接奠定了黎曼提出黎曼猜想的數學基礎。
因為歐拉對巴塞爾級數的一般形式“調和級數”的研究發現：
歐拉的推導過程
就算該篇文章太長，我也不想省略這個推導過程，如果繼續我們的推導過程，最終，你就能得到開啟黎曼猜想的金鑰匙：
金鑰匙，歐拉乘積式
調和級數擴展式居然和所有素數有著如此漂亮的等價關係，如果你還記得上一篇我們談到“黎曼函數的零點和素數分佈公式相關的話”，這個公式就有暗示，我們令ζ（z）=0，那麼我們在不嚴謹的情況下，稍微發揮點你的數學感覺，結合因式和根的關係，那麼是不是意味著，這個金鑰匙素數項包涵了所有素數的“秘密”呢？
方程所有根的性質
當然，實際情況並非那麼簡單，真實的對應關係是——所有黎曼函數的零點都對每個素數有貢獻（平凡和非平凡我們後續在區分），這一下加大了難度，由於歐拉的時候，虛數概念還未成熟，也沒有複平面的概念，所以下一步，直到黎曼才接過歐拉未完成的事業。
………………
在下一篇中，我們開始講解黎曼函數的定義，以説明大家理解黎曼函數；第四第五篇將會更深入地講解黎曼猜想，並提出黎曼得到的準確的素數分佈公式。
如果你想對黎曼函猜想有個徹底瞭解，可以從第一篇《課外篇》開始閱讀，如果只對部分內容感興趣，那麼單獨閱讀某篇也不會有影響。
………………
另外，謝謝讀者朋友們的關注，也很高興大家喜歡我們的文章！
聲明：本人在頭條上發表的所有文章均為原創，而且也只在頭條上發表！但作者最近發現，某些文章在未被通知的情況下，被其他平臺號冠以“原創”發佈，我覺得這是對作者的不尊重，本人一點都不反對讀者朋友們把我的文章傳播到其他平臺，但完全的複製，然後又冠以自己“原創”這就有點不妥了吧！
至此，後續的文章內容，所有圖片我將手動嵌入外部浮水印，如果這對讀者朋友們的閱讀造成了影響，還請及時回饋給我們，或者讀者朋友需要某些無浮水印圖片，也可以私聊我們，謝謝大家的支援和理解！
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歐拉的推導過程
就算該篇文章太長，我也不想省略這個推導過程，如果繼續我們的推導過程，最終，你就能得到開啟黎曼猜想的金鑰匙：
金鑰匙，歐拉乘積式
調和級數擴展式居然和所有素數有著如此漂亮的等價關係，如果你還記得上一篇我們談到“黎曼函數的零點和素數分佈公式相關的話”，這個公式就有暗示，我們令ζ（z）=0，那麼我們在不嚴謹的情況下，稍微發揮點你的數學感覺，結合因式和根的關係，那麼是不是意味著，這個金鑰匙素數項包涵了所有素數的“秘密”呢？
方程所有根的性質
當然，實際情況並非那麼簡單，真實的對應關係是——所有黎曼函數的零點都對每個素數有貢獻（平凡和非平凡我們後續在區分），這一下加大了難度，由於歐拉的時候，虛數概念還未成熟，也沒有複平面的概念，所以下一步，直到黎曼才接過歐拉未完成的事業。
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