怎樣求曲線x²和直線x=0、x=10、x軸圍成的面積？
就是把不規則的圖形分割為n個小的規則(梯形或矩形）的圖形，
如果是這樣的一塊田地， 測量人員要去測量的話， 他們會怎樣做呢？一般會通過一個三角形去近似。 會量一個底為10， 高為70左右的一個三角形， 面積大概是350左右。
如果將區間[0,10]分成10個小區間，
小區間求和的Σ的形式就是：
=0.5²+1.5²+2.5²+3.5²+4.5²+5.5²+6.5²+7.5²+8.5²+9.5²=332.5
2 極限或無窮的方法引用極限或無窮的概念， 如果上述的dx→0（n→∞）， ξi取每個小區間的右端點：
有
當n→∞， 上述＝1000/3
3 定積分的方法也可以用定積分的形式表示：
dx表示引數在區間[0,10]的微分， x²dx表示整個面積的微分， 符號∫是英文“sum"首字母“s”的拉長， 表示面積微分的累加。
下面我們就一般情形來討論定積分的近似計算問題。
若函數f(x)在區間[a,b]上連續， 則下式定積分存在。
我們將區間[a,b]分成n個長度相等的小區間
每個小區間的長度均為dx=(b-a)/n，
（上限無窮分割或定積分的方法不一定能求出極限值。 ）
4 由定積分變上限積分的面積函數上面的定積分所計算出的都是一個特定的值（注意“定”這個字）， 不是一般的函數關聯運算式。 我們需要研究一般規律的函數關聯運算式（不包含符號∫， 這樣就可以不是每次都用極限的方法而用代入的方法可以直接求出）。 能不能找到一個關於x的面積函數， 也就是曲線x²和直線x取任意值、x軸圍成的面積函數， 給出x的值， 即可求出面積。
這樣的面積函數的積分運算式可以表示為：
面積函數F(x)如何用沒有∫符號的運算式表示？可以考慮的思路是， F(x)肯定與曲線函數x²有相關關係。
我們可以考慮x²曲線以外的一般情形y=f(t)，
關鍵在於找出F(x)或A(x)的一般運算式， 這個運算式是積分運算式的替代， 從積分運算式可以看出， 與面積微分f(t)dx或f(x)dx肯定有關係， 是什麼關係呢？
5 由變上限積分的面積函數到一般運算式的面積函數當積分的上限為x， 在此基礎上， 做引數x和面積函數的微分， 引數x增加一個極小值h（dt）：
上圖淡紅色的陰影部分, 當 h 很小的時候幾乎為小豎條, 所以可以用計算長方形面積的方法來估算該豎條的面積, 它的底從x 到x+h, 高從0 到f(x), 所以面積是 h*f(t) , 也就是:
運算式h·f(x)就是面積函數F(x)的微分，函數的微分/引數的微分稱為微商，也稱為導函數或導數，用F‘(x)表示。導數的形式在一定情形比微分的形式更簡潔，微分也可以由導數迂回求得，如上式可有如下推導：
由此可見，曲線函數f(x)的反導數就是面積函數F(x)，這就是微積分的基本定理。
上述黑色部分的面積可以表示為：F(x)-F(a)，這就是微積分的基本公式。
函數的導數是一個函數的因變數相對於引數變化的快慢，即“變化率”。可以用來求函數的最值、曲線在某一點的切線的斜率、變速運動的瞬時速度。
導數中引入了無窮小與極限的概念，但近似的運算式中卻可以去掉無窮小與極限的符號，讓運算式變得更簡潔，如：
類似的
再回到下式：
x²的反導數為1/3x³，所以上述所需求出的面積為：F(10)-F(0)＝1000/3。
當然如果想求曲線x²和直線x=5、x=10、x軸圍成的面積：F(10)-F(5)=1000/3－125/3=875/3=291.6。
設物體沿一直線做變速運動，在時間t時，其路程函數為s(t)，速度函數為v(t)，則在時間段[T1,T2]內，由定積分定義可知，物體經過的路程為
另一方面，S也可用路程函數s(t)的增量ΔS=S(T2)-S(T1)來表示，從而有關係式
由於S‘(t)=v(t)，即路程函數是速度函數v(t)的反導數，定積分由無限求和變成了求差。
如v(t)=t(8-t)
由(t(8-t))'=8-2t＝0，求得當t=4m時，物體的最大速度是16m/s。速度v∈[0,16]，時間[0,8]，路程S粗略估計應該小於16*8=128m。
S(t)=F(t)=∫(t(8-t)dt=4t²-1/3t³
上式符號∫表示不定積分，運算式∫(t(8-t)dt表示求函數t(8-t)的反導數或不定積分。
S=4t²-1/3t³=4*8²-1/3*8³=85.33m
reference:
「微積分基本定理」圖解普林斯頓微積分讀本14
3blue1brown.com：微積分的本質，積分，導數的基本定理
3blue1brown.com：積分與微積分基本定理，積分是什麼？
微積分基本定理（一）
之微積分基本定理（二）
單維彰：微積分入門
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引數x增加一個極小值h（dt）：
上圖淡紅色的陰影部分, 當 h 很小的時候幾乎為小豎條, 所以可以用計算長方形面積的方法來估算該豎條的面積, 它的底從x 到x+h, 高從0 到f(x), 所以面積是 h*f(t) , 也就是:
運算式h·f(x)就是面積函數F(x)的微分，函數的微分/引數的微分稱為微商，也稱為導函數或導數，用F‘(x)表示。導數的形式在一定情形比微分的形式更簡潔，微分也可以由導數迂回求得，如上式可有如下推導：
由此可見，曲線函數f(x)的反導數就是面積函數F(x)，這就是微積分的基本定理。
上述黑色部分的面積可以表示為：F(x)-F(a)，這就是微積分的基本公式。
函數的導數是一個函數的因變數相對於引數變化的快慢，即“變化率”。可以用來求函數的最值、曲線在某一點的切線的斜率、變速運動的瞬時速度。
導數中引入了無窮小與極限的概念，但近似的運算式中卻可以去掉無窮小與極限的符號，讓運算式變得更簡潔，如：
類似的
再回到下式：
x²的反導數為1/3x³，所以上述所需求出的面積為：F(10)-F(0)＝1000/3。
當然如果想求曲線x²和直線x=5、x=10、x軸圍成的面積：F(10)-F(5)=1000/3－125/3=875/3=291.6。
設物體沿一直線做變速運動，在時間t時，其路程函數為s(t)，速度函數為v(t)，則在時間段[T1,T2]內，由定積分定義可知，物體經過的路程為
另一方面，S也可用路程函數s(t)的增量ΔS=S(T2)-S(T1)來表示，從而有關係式
由於S‘(t)=v(t)，即路程函數是速度函數v(t)的反導數，定積分由無限求和變成了求差。
如v(t)=t(8-t)
由(t(8-t))'=8-2t＝0，求得當t=4m時，物體的最大速度是16m/s。速度v∈[0,16]，時間[0,8]，路程S粗略估計應該小於16*8=128m。
S(t)=F(t)=∫(t(8-t)dt=4t²-1/3t³
上式符號∫表示不定積分，運算式∫(t(8-t)dt表示求函數t(8-t)的反導數或不定積分。
S=4t²-1/3t³=4*8²-1/3*8³=85.33m
reference:
「微積分基本定理」圖解普林斯頓微積分讀本14
3blue1brown.com：微積分的本質，積分，導數的基本定理
3blue1brown.com：積分與微積分基本定理，積分是什麼？
微積分基本定理（一）
之微積分基本定理（二）
單維彰：微積分入門
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