近代數學的興起始於16世紀， 首先是代數學， 如三角學從天文學中分離出來， 透視法產生射影幾何， 對數的發明改進了計算， 但其主要的成就應是三次和四次代數方程求解的突破， 代數的符號化。
2 解析幾何的誕生進入17世紀以後， 各式各樣的數學理論和分支如雨後春筍般茁壯成長。 從本質上講， 近代數學是關於變數的數學。 文藝復興以來資本主義生產力的發展， 對科學技術提出了全新的要求。 例如， 機械的普遍使用引發了對機械運動的研究；由貿易帶動的航海業的發展要求更精確和便捷地測定船舶的位置，
變數數學的第一個里程碑是解析幾何的發明。 作為幾何學的一個分支， 解析幾何的基本思想是在平面中引進座標的概念， 因此它又被稱為座標幾何。 用解析幾何的方法， 我們可以將任何一個形如f(x,y)=0的代數方程（通過方程的解）與平面上的一條曲線對應起來。 這樣一來， 一方面， 幾何問題也就可以轉化為代數問題， 再通過對代數問題的研究就可以發現新的幾何問題。 另一方面， 代數問題也就有了幾何意義的解釋。
3 微積分學的先驅微積分特別是積分學的萌芽，
微積分的創立， 主要是為了解決17世紀面臨的科學問題。 17世紀上半葉， 歐洲接連取得了天文學和力學領域的重大進展。 首先是荷蘭的一位眼鏡商發明了望遠鏡， 得知這一消息的義大利人伽利略（Galileo Galilei, 1546-1642）迅速造出了高倍望遠鏡，
哥白尼也好， 第穀也好， 都以為行星的運動軌道是圓的（伽利略也未曾否定這一點）， 開普勒的第一行星運動定律卻認定“行星的運動軌道是橢圓的， 太陽位於該橢圓軌道的一個焦點上”。 據說有一次他買東西， 對商人們粗糙地估計酒桶的體積十分不滿，
相比這下， 義大利人卡瓦列利（B.Cavalieri, 1598-1647）對數學的研究更為專一， 他一生的主要成就就是發展了所謂的“不可分量”理論， 即線、面、立體分別是由無限多個點、線和平面組成。 不過， 卡瓦列利也僅能求出冪函數x^n的定積分， 這裡n必須是正整數。 英國數學家沃利斯則考慮把n換成分數p/q， 但他僅得到了p=1時的結果。
沿著微積分的路線追溯， 我們也可以追溯微積分理論發現之前三位前輩的工作，
17世紀所面臨的新的科學問題，
與微積分的關係非常密切。
例如，
曲線的切線既可以用來確定運動物體在某一點的運動方向，
也可能求出光線進入透鏡時與法線的夾角；函數的極值既可以用來計算炮彈最大射程的發射角，
也可以求得行星離開太陽的最近和最遠的距離。此外，還有這樣一個問題：已知物體移動的距離可表示為時間的函數，求該物體在任何時刻的速度和加速度。可以說，正是這個並不複雜的動力學問題及其逆問題促使牛頓創立了微積分。
解析幾何不僅把代數方法應用於幾何，也把變數引入了數學，為微積分的創立開闢了道路，但真正起關鍵作用的還是函數概念的建立。1642年，即笛卡爾發表解析幾何原理的5年以後，牛頓（I.Newton, 1642-1727）出生在英格蘭林肯郡的一個小村莊，那一年伽利略出世了。
牛頓建立的微積分的方法稱為“流數術”，他在劍橋大學上學時便開始研究，在回到家鄉林肯郡躲避鼠疫的兩年時間裡取得了突破。據牛頓本人說，他是在1665年11月發明了“正流數術”（微分學），在次年5月發明了“反流數術“（積分學）。也就是說，牛頓與之前所有的探求微積分學的同行們不同，他把微分和積分作為矛盾的對立面一起考慮並加以解決（他的競爭者萊布尼茨也是如此）。
1669年，回到劍橋的牛頓在朋友們中間散發了題為”運用無窮多項方程的分析學“的小冊子（此前，他曾從運動學的角度出發做過類似的探討），像那個時候的其他學者一樣，他也是用拉丁文寫的。
牛頓假定，有一條曲線y，它下方的面積是：
z=ax^n
其中n可以是整數或分數。給定x的無限小增量叫o，由x軸、y軸、曲線和x+o處的縱坐標圍成的面積，他用z+oy表示，其中oy是面積的增量，那麼，
z+oy=a(x+o)^n
利用他自己發明的二項式展開定理，上式等號右邊是一個無窮級數。將這個方程與前面的方程相減，用o除以方程的兩邊，略去仍然含有o的項，得到
y=nax^(n-1)
用現代的語言講就是，面積在任意x點的變化率是曲線在x處的y值；反之，如果曲線是y=nax^(n-1)，那麼它下方的面積就是z=ax^n，這正是微分學和積分學的雛形。兩年以後，牛頓在一本《流數法與無窮級數》的書裡給出了更廣泛且明確的說明。他把變數叫做“流”（fluent），把變數的變化率叫做“流數”（fluxion），“流數術”一說由此而來。
與此同時，牛頓也將他的正、反流數術應用於切線、曲率、拐點、曲線長度、引力和引力中心等問題的計算。
5 萊布尼茨的微積分萊布尼茨（G.W.Leibniz, 1646-1710）在1672～1676年四年居留巴黎期間，與荷蘭數學家物理學家惠更斯的結識交流，激發了他對數學的興趣，開始了對求曲線的切線以及面積和體積等微積分問題的研究。萊布尼茨的微積分是從幾何學的角度出發的。確切地說，他最初（1673）是從帕斯卡的一篇談論圓的論文中獲得靈感的。
萊布尼茨創立微積分首先是出於對幾何問題的思考，尤其是對特徵三角形的研究，於1673年萊布尼茨提出了自己的“特徵（直角）三角形”。萊布尼茨是這樣考慮的：
如圖上圖所示，設曲線c通過原點，P(x，y)為曲線c上的任一點，過P作法線交x軸於N，從P點的垂足H到N的距離V（稱為次法線）是x的函數，則從o到x的面積為1/2y^2。
在P點的無窮小鄰近曲線上取一點Q，以PQ為“斜邊”作一“特徵（直角）三角形△PQR”，其兩段PR, RQ為無窮小變化量dx和dy，則Rt△PQR～Rt△PNH，於是有dy/v=dx/y，即vdx=ydy，求和得
若以ds表特徵三角形的斜邊，過P點的法線長為n，則有ds/n=dx/y，即yds= ndx，求和得∫yds=∫ndx②
由此可得曲線c繞x軸旋轉所得旋轉體的表面積為s=∫2πyds-∫2πndx
因當時還沒有積分符號，萊布尼茨是這樣用語言來描述他這一重要結果的：
“由一條曲線的法線形成的圖形，即將這些法線（在圓中即為半徑），按縱坐標方向置於軸上所形成的圖形，其面積與曲線繞軸旋轉而成的立體的面積成正比。”
早在1666年，萊布尼茨就在《論組合的藝術》一文中考察過下列平方數數列：
0，1，4，9，16，25，36，...
其一階差是
1，3，5，7，9，11，...
二階差是
2,2,2,2,2,...
他注意到一階差的和對應于原數列，求和與求差成互逆關係，由此他聯想到微分與積分的關係。利用笛卡爾坐標系，他把曲線上無窮多個點的縱坐標表示成y的數列，相應的橫坐標的點就是x的數列。如果以x作為確定縱坐標的次序，再考慮任意兩個相繼的y值之差的數列，萊布尼茨驚喜地發現，“求切線不過是求差，求積不過是求和”。
求曲線的切線，依賴於縱坐標的差值與橫坐標的差值，當這些差值變成無限小時之比；而求曲線下的面積，則依賴於無限小區間上的縱坐標之和（亦即寬度為無限小的矩形面積之和），並看到了這兩類問題的互逆性。萊布尼茨在給洛必達的一封信中總結說：“求切線不過是求差，求積不過是求和”。
對於求和，在萊布尼茨1675年10月29日的一份手稿中，首先使用了符號“∫”，這是將“sum”的首個字母“s”的拉長。在11月11目的手稿中又引進了“dx”表示兩相鄰x值的差。l 676年11月萊布尼茨已能給出冪函數的微分與積分公式：
其中e不一定是正整數。
1677年，萊布尼茨在手稿中明確陳述了微積分基本定理。為了求出在縱坐標為y的曲線下的面積，只需求出一條縱坐標為z的曲線，使其切線的斜率為dz/dx=y，這樣原曲線下的面積為∫ydx=∫dz=z。如果是在區間[a，b]上，便得到面積
萊布尼茨於1684年發表了他的第一篇微分學論文《一種求極大與極小值和求切線的新方法》（簡稱新方法），也是數學史上第一篇微分文獻，刊登在萊比錫的《教師學報》上。
文中引進微分式，並給出了微分式的和、差、積、商乘冪與方根的微分公式：
d(u±v)=du±dv; d(uv)=udv+vdu;
1686年，萊布尼茨發表他的第一篇積分學論文《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》，文中論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關係，並得出擺線方程：
亦即某些超越曲線也可寫出其方程。
萊布尼茨引進的符號“d”和“∫”體現了微分與積分的“差”與“和”的實質，獲得普遍承認，一直沿用至今。
也可以求得行星離開太陽的最近和最遠的距離。此外，還有這樣一個問題：已知物體移動的距離可表示為時間的函數，求該物體在任何時刻的速度和加速度。可以說，正是這個並不複雜的動力學問題及其逆問題促使牛頓創立了微積分。解析幾何不僅把代數方法應用於幾何，也把變數引入了數學，為微積分的創立開闢了道路，但真正起關鍵作用的還是函數概念的建立。1642年，即笛卡爾發表解析幾何原理的5年以後，牛頓（I.Newton, 1642-1727）出生在英格蘭林肯郡的一個小村莊，那一年伽利略出世了。
牛頓建立的微積分的方法稱為“流數術”，他在劍橋大學上學時便開始研究，在回到家鄉林肯郡躲避鼠疫的兩年時間裡取得了突破。據牛頓本人說，他是在1665年11月發明了“正流數術”（微分學），在次年5月發明了“反流數術“（積分學）。也就是說，牛頓與之前所有的探求微積分學的同行們不同，他把微分和積分作為矛盾的對立面一起考慮並加以解決（他的競爭者萊布尼茨也是如此）。
1669年，回到劍橋的牛頓在朋友們中間散發了題為”運用無窮多項方程的分析學“的小冊子（此前，他曾從運動學的角度出發做過類似的探討），像那個時候的其他學者一樣，他也是用拉丁文寫的。
牛頓假定，有一條曲線y，它下方的面積是：
z=ax^n
其中n可以是整數或分數。給定x的無限小增量叫o，由x軸、y軸、曲線和x+o處的縱坐標圍成的面積，他用z+oy表示，其中oy是面積的增量，那麼，
z+oy=a(x+o)^n
利用他自己發明的二項式展開定理，上式等號右邊是一個無窮級數。將這個方程與前面的方程相減，用o除以方程的兩邊，略去仍然含有o的項，得到
y=nax^(n-1)
用現代的語言講就是，面積在任意x點的變化率是曲線在x處的y值；反之，如果曲線是y=nax^(n-1)，那麼它下方的面積就是z=ax^n，這正是微分學和積分學的雛形。兩年以後，牛頓在一本《流數法與無窮級數》的書裡給出了更廣泛且明確的說明。他把變數叫做“流”（fluent），把變數的變化率叫做“流數”（fluxion），“流數術”一說由此而來。
與此同時，牛頓也將他的正、反流數術應用於切線、曲率、拐點、曲線長度、引力和引力中心等問題的計算。
5 萊布尼茨的微積分萊布尼茨（G.W.Leibniz, 1646-1710）在1672～1676年四年居留巴黎期間，與荷蘭數學家物理學家惠更斯的結識交流，激發了他對數學的興趣，開始了對求曲線的切線以及面積和體積等微積分問題的研究。萊布尼茨的微積分是從幾何學的角度出發的。確切地說，他最初（1673）是從帕斯卡的一篇談論圓的論文中獲得靈感的。
萊布尼茨創立微積分首先是出於對幾何問題的思考，尤其是對特徵三角形的研究，於1673年萊布尼茨提出了自己的“特徵（直角）三角形”。萊布尼茨是這樣考慮的：
如圖上圖所示，設曲線c通過原點，P(x，y)為曲線c上的任一點，過P作法線交x軸於N，從P點的垂足H到N的距離V（稱為次法線）是x的函數，則從o到x的面積為1/2y^2。
在P點的無窮小鄰近曲線上取一點Q，以PQ為“斜邊”作一“特徵（直角）三角形△PQR”，其兩段PR, RQ為無窮小變化量dx和dy，則Rt△PQR～Rt△PNH，於是有dy/v=dx/y，即vdx=ydy，求和得
若以ds表特徵三角形的斜邊，過P點的法線長為n，則有ds/n=dx/y，即yds= ndx，求和得∫yds=∫ndx②
由此可得曲線c繞x軸旋轉所得旋轉體的表面積為s=∫2πyds-∫2πndx
因當時還沒有積分符號，萊布尼茨是這樣用語言來描述他這一重要結果的：
“由一條曲線的法線形成的圖形，即將這些法線（在圓中即為半徑），按縱坐標方向置於軸上所形成的圖形，其面積與曲線繞軸旋轉而成的立體的面積成正比。”
早在1666年，萊布尼茨就在《論組合的藝術》一文中考察過下列平方數數列：
0，1，4，9，16，25，36，...
其一階差是
1，3，5，7，9，11，...
二階差是
2,2,2,2,2,...
他注意到一階差的和對應于原數列，求和與求差成互逆關係，由此他聯想到微分與積分的關係。利用笛卡爾坐標系，他把曲線上無窮多個點的縱坐標表示成y的數列，相應的橫坐標的點就是x的數列。如果以x作為確定縱坐標的次序，再考慮任意兩個相繼的y值之差的數列，萊布尼茨驚喜地發現，“求切線不過是求差，求積不過是求和”。
求曲線的切線，依賴於縱坐標的差值與橫坐標的差值，當這些差值變成無限小時之比；而求曲線下的面積，則依賴於無限小區間上的縱坐標之和（亦即寬度為無限小的矩形面積之和），並看到了這兩類問題的互逆性。萊布尼茨在給洛必達的一封信中總結說：“求切線不過是求差，求積不過是求和”。
對於求和，在萊布尼茨1675年10月29日的一份手稿中，首先使用了符號“∫”，這是將“sum”的首個字母“s”的拉長。在11月11目的手稿中又引進了“dx”表示兩相鄰x值的差。l 676年11月萊布尼茨已能給出冪函數的微分與積分公式：
其中e不一定是正整數。
1677年，萊布尼茨在手稿中明確陳述了微積分基本定理。為了求出在縱坐標為y的曲線下的面積，只需求出一條縱坐標為z的曲線，使其切線的斜率為dz/dx=y，這樣原曲線下的面積為∫ydx=∫dz=z。如果是在區間[a，b]上，便得到面積
萊布尼茨於1684年發表了他的第一篇微分學論文《一種求極大與極小值和求切線的新方法》（簡稱新方法），也是數學史上第一篇微分文獻，刊登在萊比錫的《教師學報》上。
文中引進微分式，並給出了微分式的和、差、積、商乘冪與方根的微分公式：
d(u±v)=du±dv; d(uv)=udv+vdu;
1686年，萊布尼茨發表他的第一篇積分學論文《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》，文中論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關係，並得出擺線方程：
亦即某些超越曲線也可寫出其方程。
萊布尼茨引進的符號“d”和“∫”體現了微分與積分的“差”與“和”的實質，獲得普遍承認，一直沿用至今。