問問大多數人， 看他們知道有關牛頓的什麼事情， 你很可能會聽到他們告訴你一個蘋果從樹上掉下來的故事。
還有一個同樣未經證實的傳說則與此相反；該傳說於1858年第一次訴諸文字， 是在英格蘭一個名叫《注釋與詢問》的有趣雜誌上首次披露的。 根據一位元名叫“W”的作者陳述， 當時最負盛名的數學大家卡爾·弗裡德里希·高斯以如下方式否定了前面一個傳說：“有關蘋果的歷史實在太荒唐了。 事情無疑是這樣發生的：有一次， 一個喜歡糾纏不休的糊塗人找上了牛頓， 一定要牛頓告訴他， 引力定律這一偉大成果是如何被‘一舉命中’的。 牛頓發現眼前這人其蠢無比， 就想快點擺脫他。 於是牛頓告訴他， 這是因為有一隻蘋果‘一舉命中’了他的鼻子；這傢伙一聽就立刻全明白了， 然後便滿意地走了。 ”
人們應該怎樣理解這類傳說？實際上，
這一故事可由兩個來源加以證實， 其一是著名的法國作家伏爾泰， 他親耳聽牛頓的侄女說起。 很難說他跟高斯想像中的“喜歡糾纏不休的糊塗人”有什麼相近的地方！人們或許會把這個故事想像成實際發生的狀況經過高密編碼之後生成的版本。
是有一棵蘋果樹嗎？不錯。 這棵樹就在英格蘭的烏爾索普， 在以撒·牛頓家的老宅田產內。 他在那裡一直住到1661年， 然後去劍橋三一學院就讀。 而最重要的是， 1665年， 英格蘭爆發了最後一次大瘟疫， 是年牛頓回返故鄉， 並在田園靜謐中度過了差不多兩年時光。 就在這期間， 他發展了微積分的基礎， 並開始思考行星運動的問題。 牛頓寫道：“那時我正處於發明創造的高潮；我對數學與哲學的關注超過了那以後的任何時候。 ”
然而牛頓並不需要一個掉落下來的蘋果來啟發他，
如果需要， 那又是什麼呢？亞里斯多德認為， 構成天體的物質與地球不同， 而且它們的自然運動軌跡是圓形的。 開普勒認為需要一種推動力才能讓行星保持在軌道上。 笛卡兒或多或少贊同這一點；在他精心發展的理論中， 宇宙是由旋流組成的；是這些旋流掃過了在軌道上運行的行星。 作為一位青年學者， 牛頓會對當時主要的科學辯論之一給予熱情的關注， 這是天經地義的。 他設計了一個體系， 在這一體系中， 蘋果與行星受到了同樣的力作用。 （因此蘋果才會有如此重要的地位！在這一點上牛頓並沒有苟同亞里斯多德。 ）讓人注目的是，行星也始終在自由下落；它們並不需要推動力。（在這一點上牛頓沒有苟同笛卡兒和開普勒。）
上圖為以撒牛頓於1668年製造的第一台反射式望遠鏡；圖中背景是牛頓的《自然哲學的數學原理》手稿
雖說蘋果這個故事有一定的價值，但它無法解釋牛頓最後是怎樣讓整個科學界接受了他的理論的。他的傑作，《自然哲學的數學原理》（經常按其拉丁名簡稱《原理》）對物理學的重要意義等同于歐幾裡得的《幾何原本》對幾何學的意義。在該書開宗明義第一部分中，牛頓就敘述了三個公理，即世間萬物的運動遵循的三個定律，無論它們是蘋果或者是衛星。後來他又加上了萬有引力定律，這一定律定量說明了物體是怎樣通過引力相互吸引的。單從這些原理出發，他證明了行星圍繞太陽的運動服從開普勒三定律。
其實，開普勒第一定律或許就是牛頓寫作《原理》的主要原因。其他幾位物理學家，其中尤其是牛頓的競爭者羅伯特·胡克，以及建築師克裡斯多菲·雷恩、荷蘭物理學家克利斯蒂安·惠更斯，已經在17世紀80年代初摸到了“牛頓”萬有引力定律的門檻。但他們無法證明這一定律是讓行星的軌道呈橢圓形的原因；他們只能應付數學上簡單得多的圓形軌道的情況。1684年，牛頓的朋友埃德蒙頓·哈雷問牛頓能否證明行星的軌道是橢圓。牛頓說他能，然後哈雷便用盡了千條妙計，最終說服牛頓發表他的論證。三年後結果發表，但這遠遠超出了解決一個問題的水準；它為將來的一切物理學書籍定下了基調。
埃德蒙頓·哈雷英國天文學家、地理學家、數學家、物理學家，計算出哈雷彗星的公轉軌道，並預測其回歸
哈雷慷慨解囊，為牛頓巨著的付印支付了部分費用；他的這一義舉最終以一種非常獨特的方式得到了回報：除了對蘋果和行星以外，牛頓的理論也可應用於彗星。其實這正是牛頓本人強調指出的一點。因為彗星的軌道是橢圓，所以它們一定會一次又一次地回歸。哈雷意識到，人們曾多次觀察到一顆特定彗星，它以大約75年的週期回歸：1456年、1531年、1606年和1682年。於是他正確地預測了這顆彗星將會在1758年（那時他早已離世）再次回歸。從那時起，這顆彗星每隔75至76年就會回歸一次，人們現在稱它為哈雷彗星。
牛頓第一定律說運動物體將永遠保持勻速直線運動，除非有外力將其停止或者改變其運動方向。乍聽起來這似乎相當令人吃驚：不管怎麼說，高爾夫球不會永遠向前，行星的運行軌道也不是直線。在這兩種情況下，原因都出在作用在物體身上的外力上面。作用在高爾夫球身上的外力是地球的吸引力、在空中時風的阻力、落地後與地面的摩擦力。對於行星來說，這個看不見的力是太陽的吸引力。
牛頓第二定律稱，作用在物體上的力等於其動量的變化率。我們可以用微積分的語言將其寫為
回想一下，d/dt 代表變化率，而 mv（其中 m 是物體的品質，v 是其速度）代表動量。在絕大多數實際條件下，物體的品質不會改變；在這種情況下牛頓第二定律即為 F＝ma（即力等於品質乘以加速度）；今天，每一個開始學習物理的學生對此都耳熟能詳。
牛頓第三定律為：“對於任何一個作用力，都存在著一個與它大小相等方向相反的反作用力。” 物理學家們不像使用前兩個定律那樣經常使用這一定律，但它能解釋許多現象，其中包括火箭為什麼能工作。火箭通過噴嘴噴出推進尾氣，因此產生了反作用力：這使火箭具有相反方向的加速度。
這三大定律共同解釋了所有的力是如何影響一切固體的運動的。另一方面，牛頓引力定律只能應用於一種力：引力。這一定律稱，在品質分別為 M 與 m 的兩個物體之間存在的引力的大小為：
分母 r2 表示引力的強度與行星和太陽之間的距離r的平方成反比。（這是胡克、雷恩和惠更斯已經猜到的部分。）負號與向量 r∧(讀作“r-帽”)表示力的方向指向太陽。換言之，開普勒和笛卡兒是錯誤的。並不存在沿著軌道推動行星運行的力，而只是一個側向的引力，即朝向太陽的引力。
牛頓真正獨樹一幟的成就是他運用微積分把引力定律和他的運動定律結合，從而建立並隨之解決了描述行星軌道的方程的能力。當人們不僅可以觀察，而且可以預測和控制行星的運動，以及最終可以觀察、預測與控制火箭與太空船的運動的時候，牛頓的物理洞察力與數學工具便一起引導了天體動力學新時代的來臨。
(完)
上文節選自《無言的宇宙：隱藏在24個數學公式背後的故事》, 已獲出版社許可. [遇見數學] 特此表示感謝!
《無言的宇宙：隱藏在24個數學公式背後的故事》（精裝珍藏版）由北京聯合出版公司2018年1月出版。這是一本數學史話，用詩意的文字講述了公式之美，將科普性、知識性和故事性完美結合。中文版一經出版，便深受廣大讀者所歡迎,獲得了“中國科普作協優秀科普作品”科普書類金獎。並由著名科學家李淼、數學才子顧森連袂推薦，是中國金融博物館書院推薦讀物。
書中這些故事既長知識又有趣，比如：發現世界上最簡單的方程，這意味著什麼；如果世間未曾有過“0”這個概念，將會怎樣；牛頓運動定律如是何使人類做到這一切的——從建設橋樑到預測天氣；一根劣質雪茄如何改變了量子力學的進程；為什麼鯨魚（如果它們能和我們交流的話）會教給我們完全不同的幾何概念？
）讓人注目的是，行星也始終在自由下落；它們並不需要推動力。（在這一點上牛頓沒有苟同笛卡兒和開普勒。）
上圖為以撒牛頓於1668年製造的第一台反射式望遠鏡；圖中背景是牛頓的《自然哲學的數學原理》手稿
雖說蘋果這個故事有一定的價值，但它無法解釋牛頓最後是怎樣讓整個科學界接受了他的理論的。他的傑作，《自然哲學的數學原理》（經常按其拉丁名簡稱《原理》）對物理學的重要意義等同于歐幾裡得的《幾何原本》對幾何學的意義。在該書開宗明義第一部分中，牛頓就敘述了三個公理，即世間萬物的運動遵循的三個定律，無論它們是蘋果或者是衛星。後來他又加上了萬有引力定律，這一定律定量說明了物體是怎樣通過引力相互吸引的。單從這些原理出發，他證明了行星圍繞太陽的運動服從開普勒三定律。
其實，開普勒第一定律或許就是牛頓寫作《原理》的主要原因。其他幾位物理學家，其中尤其是牛頓的競爭者羅伯特·胡克，以及建築師克裡斯多菲·雷恩、荷蘭物理學家克利斯蒂安·惠更斯，已經在17世紀80年代初摸到了“牛頓”萬有引力定律的門檻。但他們無法證明這一定律是讓行星的軌道呈橢圓形的原因；他們只能應付數學上簡單得多的圓形軌道的情況。1684年，牛頓的朋友埃德蒙頓·哈雷問牛頓能否證明行星的軌道是橢圓。牛頓說他能，然後哈雷便用盡了千條妙計，最終說服牛頓發表他的論證。三年後結果發表，但這遠遠超出了解決一個問題的水準；它為將來的一切物理學書籍定下了基調。
埃德蒙頓·哈雷英國天文學家、地理學家、數學家、物理學家，計算出哈雷彗星的公轉軌道，並預測其回歸
哈雷慷慨解囊，為牛頓巨著的付印支付了部分費用；他的這一義舉最終以一種非常獨特的方式得到了回報：除了對蘋果和行星以外，牛頓的理論也可應用於彗星。其實這正是牛頓本人強調指出的一點。因為彗星的軌道是橢圓，所以它們一定會一次又一次地回歸。哈雷意識到，人們曾多次觀察到一顆特定彗星，它以大約75年的週期回歸：1456年、1531年、1606年和1682年。於是他正確地預測了這顆彗星將會在1758年（那時他早已離世）再次回歸。從那時起，這顆彗星每隔75至76年就會回歸一次，人們現在稱它為哈雷彗星。
牛頓第一定律說運動物體將永遠保持勻速直線運動，除非有外力將其停止或者改變其運動方向。乍聽起來這似乎相當令人吃驚：不管怎麼說，高爾夫球不會永遠向前，行星的運行軌道也不是直線。在這兩種情況下，原因都出在作用在物體身上的外力上面。作用在高爾夫球身上的外力是地球的吸引力、在空中時風的阻力、落地後與地面的摩擦力。對於行星來說，這個看不見的力是太陽的吸引力。
牛頓第二定律稱，作用在物體上的力等於其動量的變化率。我們可以用微積分的語言將其寫為
回想一下，d/dt 代表變化率，而 mv（其中 m 是物體的品質，v 是其速度）代表動量。在絕大多數實際條件下，物體的品質不會改變；在這種情況下牛頓第二定律即為 F＝ma（即力等於品質乘以加速度）；今天，每一個開始學習物理的學生對此都耳熟能詳。
牛頓第三定律為：“對於任何一個作用力，都存在著一個與它大小相等方向相反的反作用力。” 物理學家們不像使用前兩個定律那樣經常使用這一定律，但它能解釋許多現象，其中包括火箭為什麼能工作。火箭通過噴嘴噴出推進尾氣，因此產生了反作用力：這使火箭具有相反方向的加速度。
這三大定律共同解釋了所有的力是如何影響一切固體的運動的。另一方面，牛頓引力定律只能應用於一種力：引力。這一定律稱，在品質分別為 M 與 m 的兩個物體之間存在的引力的大小為：
分母 r2 表示引力的強度與行星和太陽之間的距離r的平方成反比。（這是胡克、雷恩和惠更斯已經猜到的部分。）負號與向量 r∧(讀作“r-帽”)表示力的方向指向太陽。換言之，開普勒和笛卡兒是錯誤的。並不存在沿著軌道推動行星運行的力，而只是一個側向的引力，即朝向太陽的引力。
牛頓真正獨樹一幟的成就是他運用微積分把引力定律和他的運動定律結合，從而建立並隨之解決了描述行星軌道的方程的能力。當人們不僅可以觀察，而且可以預測和控制行星的運動，以及最終可以觀察、預測與控制火箭與太空船的運動的時候，牛頓的物理洞察力與數學工具便一起引導了天體動力學新時代的來臨。
(完)
上文節選自《無言的宇宙：隱藏在24個數學公式背後的故事》, 已獲出版社許可. [遇見數學] 特此表示感謝!
《無言的宇宙：隱藏在24個數學公式背後的故事》（精裝珍藏版）由北京聯合出版公司2018年1月出版。這是一本數學史話，用詩意的文字講述了公式之美，將科普性、知識性和故事性完美結合。中文版一經出版，便深受廣大讀者所歡迎,獲得了“中國科普作協優秀科普作品”科普書類金獎。並由著名科學家李淼、數學才子顧森連袂推薦，是中國金融博物館書院推薦讀物。
書中這些故事既長知識又有趣，比如：發現世界上最簡單的方程，這意味著什麼；如果世間未曾有過“0”這個概念，將會怎樣；牛頓運動定律如是何使人類做到這一切的——從建設橋樑到預測天氣；一根劣質雪茄如何改變了量子力學的進程；為什麼鯨魚（如果它們能和我們交流的話）會教給我們完全不同的幾何概念？