球體半徑R， 把球平行地切成許多圓形薄片， 每個圓形薄片的半徑r=√(R²-x²)（x是該薄片到球心的距離， 更準確地說是橫向座標， 範圍是-R到R）。
因此薄片的面積是π(R²-x²)，
球體體積=薄片體積的和=薄片面積的和×薄片厚度d
相當於對π(R²-x²)這個式子， 讓x從-R到+R以間距d走一遍求和， 再乘以d
相當於求積分：
如果看不懂積分， 就寫成求和式計算， 再讓d趨於無窮小。
求圓表面積公式從幾何思考， 半徑增長一點， 體積增長多少？
把球看成洋蔥那樣一層一層的球殼包起來的， 設球殼厚度是t。
當一個球的半徑從R增加到R+t時， 其體積從4/3πR³增加到了4/3π(R+t)³
同時相當於， 這個球增加了一個厚度為t的殼。
因此dV就是增加的殼的體積， 而dV/t則是殼的表面積：
圓的周長2πr與面積
從以上圖形可以很直觀地看出， 圓的半徑微分為dr， 展開後可以近似為一個以R為底， 2πr為高的三角形， 可得面積為πr²。
如果從定積分的角度去分析， 變數r， 對應直線函數2πr， 則直線下的面積∫2πrdr＝πr²。
輻射積分我們的生活中， 存在輻射現象。 太陽源源不斷的把太陽能輻射到地球， 冬天取暖用的火爐向外輻射能量。 其實數學中也存在這樣的“輻射現象”， 不過我們先要瞭解輻射的特點。 輻射無非就是說， 輻射源不間斷的向四面八方的空間均勻的發射能量；看來它的特點是：輻射源、發射方向四面八方、變化是均勻的。 在幾何中符合輻射條件的幾何空間群有是：圓、圓柱、球。
圓是以圓心為輻射源， 圓柱是以中心軸L為輻射源， 球是以球心為輻射源。 這樣的輻射幾何空間是有定積分的， 把他們的輻射單元求和（積分）就可以得到相應的圓的面積、圓柱和球的體積了， 我把它們這樣形式的定積分稱為輻射積分。
球的體積的導數 = 球的表面；
圓的面積的導數 = 圓的周長；
圓的周長的導數 = 整個圓的圓周角；
因為圓是最特別的圖形。
圓的周長：
= ∑小扇形的弧長
= ∑圓的半徑×小扇形的弧度
= ∑圓的半徑×Δθ
= r∑Δθ
= 2πr
=∫rdθ
= 2πr
圓的面積：
= ∑小圓環的周長×小圓環的寬度
= ∑2πr×Δr
=∫2πrdr
= πr²
球的體積 = ∑小球殼的面積×小球殼的厚度。
= ∑4πr²×Δr
=∫4πr²dr
= 4πr³/3
這些都是積分基本思想、基本方法。
就是：“分割、求和、取極限(過渡到積分)”。
導數是指空間變化率：
如果球體的半徑在變， 對半徑的求導的意義是：
“半徑每變化一個單位所引起的球體體積大小的變化”
它在大小的量值上正好等於球表面的面積。
圓的面積、周長的解釋完全類似。
但對於橢圓(球)、三角形、正方形、立方體...都不成立!
正方體的體積與面積的關係正方體要處理成體積的導數就是表面積， 必須要換求導變數。
原因是方體的原邊x的微小增量是不和體積的增量成表面積變化關係。
先看一下正方體的組成， 它是由6個錐體拼湊而成， 6個錐體的頂點對稱在正方體的空間中心， 它們的底面是6個正方形表面。
正方體體積v=x³， 也就等於6個錐體的體積和(那麼每個錐體體積為vz=1/6*x^3)，
單獨一個錐體的高度h=1/2*x， x為正方體的邊長。
正方體表面積s=6x²,
由h=1/2*x, x=2h,
v=(2h)³=8h³
s=6(2h)²=24h²
dv=s=24h²
h其實就是沿正方體底面到正方體空間中心的距離， （6個錐體的高）。
從視覺上判斷， h的微小變化， 可以導致正方體表體如洋蔥一樣剝離表面。
假設將球鍍上一層非常薄的金屬膜（原球半徑是r， 膜厚度為dr）， 那麼膜的體積就是V(r+dr)-V(r)=V'*dr
又由於膜非常薄， 故體積=面積*dr=S*dr
所以， dV=V'*dr=S*dr
S=V'
球體積是球半徑R的函數， 對R求導數才能得球面表面積。
如果用直徑D來表示的話， 則球體積v(D)=π*D³/6， 對D的導數v'(D)=π*D²/2， 而球的表面積為π*D²， 顯然v'(D)並不是球的表面積。
而對正方體也是如此， 若取正方體邊長的一半做為變數， 則V=（2a）³=8a³， 求導得v'=24a²=表面積。
－End－