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霍爾效應“家譜”
經典霍爾效應
如圖所示， 將一個長方體暴露在z方向的勻強磁場中， x方向通電。 由於洛倫茲力， 電子會向左側偏移並聚集在長方體左側邊界處。 當左側聚集了足夠多的電子以後， 形成的y方向的電場可以平衡洛倫茲力,那麼電子便會延x方向流動。
量子整數霍爾效應
1980年馮克利青發現了量子整數霍爾效應：將矽和氧化矽組成的MOSFET二維電子氣體暴露在低溫（1.5K）在垂直Z方向強磁場（18T）下， 霍爾電導σxy與磁場強度的關係圖中出現平臺， 橫向電導σxx與磁場強度的關係圖中出現尖峰。
*霍爾電導是電導張量的xy分量， x方向的電流密度除以y方向的電場強度。 橫向電導是電導張量的xx分量， x方向電流密度除以x方向電場強度。
關於為什麼電導必須是某個最小電導單位的整數倍， 請點擊“閱讀原文”參看附錄。
我們直接給出結論， 量子化電導的運算式是
其中最小電導單位便是e2/h， 霍爾電導必須是它的整數倍。 整數N與體系的Berry相位有關（見附錄， 這個整數就是體系的拓撲不變數， 稱為第一陳數，
量子反常霍爾效應
這裡“反常”的意思就是在不加外磁場時也會有霍爾效應的情況。 1988年Haldane提出了具有反常霍爾效應的模型。 Haldane考慮具有反鐵磁襯底的石墨烯模型， 這個模型中空間反演對稱性和時間反演對稱性都會被打破。 空間反演對稱性的打破是由於Haldane將一個原胞裡的兩個原子規定了不同的化學勢， 而時間反演對稱性的打破是由於引入了反鐵磁， 即原胞中的兩個原子的磁矩反向。 因為整個原胞沒有磁通量但是每個格點有磁通量。 除此之外Haldane模型還要求:
1.理想二維體系。
2.沒有電子自旋以及自選軌道耦合， 沒有相對論效應。
Haldane模型的局限性在於電子不可能沒有自旋且真實世界裡不存在理想二維晶體， 即便如此Haldane模型依然有很重要的參考價值。
*石墨烯不是理想的二維晶體：根據Mermin-Wagner定理， 在空間維數小於等於2且只有短程相互作用的系統中， 連續對稱性在非零溫度下不會自發破缺。 空間平移對稱性是最典型的連續對稱性， 晶體的形成（結晶）由於有了週期性因此破壞了連續的空間平移對稱性， 只保留了離散的空間平移對稱性（按晶格常數的整數倍平移）。 石墨烯的出現貌似違背了這一定理。 然而石墨烯中的熱漲落是長程相互作用。 由於熱漲落的存在， 石墨烯中存在緩慢且穩定增長的原子間距波動， 這種空間褶皺使得系統熵增加，
我們直接給出結論， 在Dirac點（相空間K點）處能隙閉合， 如圖所示。 在系統兩次量子化下的Hamilton量下有參數M為原胞中兩個碳原子對稱破缺項， t2為次鄰近格點即同一磁矩方向之間的原子的跳遷項， φ是次鄰近跳遷項的相因數。 在Dirac點處這三個參量滿足關係：
因此我們可以解出拓撲相圖， 拓撲相的邊界便是布裡淵區的K點和K’點， 至於邊界兩邊的拓撲不變數（第一陳數）如何取， 我們直接給出結論， 這裡第一陳數只能取0,1， -1三種。 感興趣的讀者可以參看Haldane的文章。
第一陳數的幾何直觀
相空間的Hamilton量是長在相空間曲面（流形）上的向量（纖維叢）。 最近發表在nature news的文章形象直觀的展示了二維情況下的第一陳數， 即曲面上的向量的旋。 圖中圓環的表面沒有旋， 因此是拓撲平凡的絕緣體。 這個所謂的旋其實是向量的捲繞數， winding number。 圖中給出了winding number為0,1， -1的情況。 我們發現在一個沒有旋的向量場中可以生出一對winding number為1， -1的旋， 如同真空中可以激發出正反電子一樣。 兩個winding number相反的旋也可以碰撞在一起最後“湮滅”。 無論局部怎麼激發這鞋正旋和反旋， 系統整體的winding number不變。它不依賴於局部細節，只和拓撲空間的性質有關。
本圖片經nature自然科研授權轉載
圖中所看到的是最簡單的情況，二維布裡淵區，Hamilton量是二維希爾伯特空間向量。然而Hamilton量一般有無窮多個自由度，因此拓撲空間的winding number無法直觀的觀察到。但是陳數或者winding number是同倫不變的。當我們把物理上的拓撲空間映射到數學上的一個高維的閉合曲面加一個奇點上，winding number不變。由此我們簡化了問題，winding number是奇點產生的場穿過這個高維閉合曲面的通量。圖中給出了Haldane模型的相圖和與之對應的winding number。
*數學家們證明了winding number等價於berry曲率流的磁通量，也等價於TKNN不變數。
分數量子霍爾效應
之前講整數量子霍爾效應時忽略了電子與電子相互作用，因為有雜質的存在，電子-雜質相互作用更重要。如果在純淨的樣品中測量霍爾電導會發現電導不僅可以取的整數倍，還可以取分數倍。1982年崔琦，Stormer用高純度AlGaAs/GaAs異質結在極低溫（85mK）和強磁場（0.028T）下觀測到了分數霍爾效應。在電子-雜質相互做變得很小時，電子-電子相互作用變得很重要，在強關聯體系下，應該用多體的波函數求解電導。Laughlin給出了分數電荷的准粒子交換統計理論，解釋了1/3電導。本文不作詳細介紹。
量子自旋霍爾效應
量子自旋霍爾效應中沒有外加磁場，考慮電子自旋。2005年，Kane和Mele研究了受時間反演對稱性約束的絕緣體。他們考慮了類似於Haldane的模型，加上了自旋為二分之一的自旋軌道耦合系統。自選軌道耦合項在時間反演下不變的。第一陳數在時間反演對稱的體系中是零，因為Berry曲率中的磁場項在時間反演變換下反號。第一陳數為零並不代表體系是拓撲平凡的的，考慮了自旋和自選軌道耦合以後我們用新的拓撲不變數標定。
*時間反演變換並不意味著時間的倒流，而是運動方向的倒轉，所以並不違背因果律。由於時間反演算符是反么正的，因此它並不導致某個守恆量，而是導致一個反應過程與其逆過程的概率存在一定聯繫，還可能導致某種選擇定則和能級簡並，如Kramer簡並對。
量子自旋霍爾效應的兩大特點是Kramer簡並對和手性邊緣螺旋態的存在。時間反演對稱性的約束起著至關重要的作用。
1930年，Hans.Kramer發現對於任何一個受時間反演約束的自旋為半整數的系統來說，所有的能級都至少存在一個簡並對。什麼是簡並對呢？當我們進行時間反演變換時，電子的運動方向被反轉，自旋也變為相反方向，但是電子的能量不變。這個電子與進行變換前的電子就組成了一對簡並對。簡單來說，就是由於T-1HT=H，所以當H|n>=En|n>，HT|n>=EnT|n>。布裡淵區中，一條能帶上每個k點的電子都有一個與之對應的簡並對，時間反演變換後動量和自旋反號，這個簡並對的晶格動量為-k，兩者能量一樣，自旋相反。
如果系統的布裡淵區本身不是鏡面對稱，簡並對能帶在同一個k點的能量就不一定相同。用3維拓撲絕緣體Bi2Se3來舉例，Bi2Se3的布裡淵區本身是鏡面對稱的，所以它的bulk裡所有簡並能帶都是重疊的。但是由於Bi2Se3表面沒有鏡面對稱保護，它的表面態的Kramer 對是分開的，只有在TRIM點（TRIM點是對於簡並對晶格動量相同的點，比如原點和布裡淵區的邊界點）才是簡並的。雖然Kramer簡並對是拓撲絕緣體的一個先決條件，但是並不是所有時間反演保護的系統都是拓撲絕緣體。圖（a）和圖（b）分別展示了一個拓撲數平凡（一個普通絕緣體）和一個拓撲數不平凡（拓撲絕緣體）的表面態能帶。一個拓撲絕緣體的表面態的導帶和價帶兩對Kramer簡並對在TRIM互相交叉，互換了他們的對子，所以表面態的導帶和價帶就被連結起來形成類似狄拉克錐的導電結構。
表面態的電子可以導電，但是它們的運動方向和自旋是聯繫起來的。因為它們互為Kramer簡並對。在Kane和Mele的模型中，表面態可以用下面這張圖來表示。我們看到上下表面導電的電子運動方向和自旋是綁定的，並且同一表面上向左移動的電子和向右移動的電子自旋相反。這個現象被稱為手性邊緣螺旋態。而這種表面態的電子電導要比一般電子高。其原因在於手性邊緣螺旋態無法發生背散射。所謂背散射是指電子被雜質散射，運動方向反轉180度。我們可以把這個想像成電子繞著以雜質為中心，z方向旋轉了180度，但是實空間的轉動並不會作用到電子自旋的內稟空間，因此電子自旋並沒有發生改變。根據手性邊緣螺旋態，運動方向反轉的電子的自旋必須也反轉，所以背散射過程是被禁止的，電子的導電性提高。
我們發現了哪些拓撲絕緣體材料
聽了前面的介紹，讀者們一定對拓撲絕緣體有了一些理論上的理解，現在讓我們來瞭解下現實中的拓撲絕緣體材料。
CdTe/HgTe/CdTe 量子阱是第一個被實驗驗證的二維拓撲絕緣體，它是由在兩層CdTe材料中間疊加一層HgTe構成的。由於HgTe的量子勢低於CdTe，兩種材料相鄰的介面上會形成一個量子阱，原本可以在三維空間自由移動的電子便被困在這個二維的介面上。當我們不斷增加中間HgTe材料的厚度，材料的性質就會發生改變，由一個普通的絕緣體變為一個拓撲絕緣體。讓我們從原子層面來理解下這種變化。Hg和Te都是原子數較大的元素，除了通常的電子和原子核的相互作用外，原子數越大的元素自旋-軌道耦合作用也越強。在大部分半導體材料裡，能量最低的導帶和能量最高的價帶分別是由s軌道電子和p軌道電子構成的，而耦合作用的能量大小正比於電子軌道的軌道角動量，s軌道的角動量為零，p軌道的角動量為一，所以只有p軌道會受到自旋-軌道耦合作用的影響，軌道的能量被抬高。在HgTe裡，p軌道構成的價帶由於自旋-軌道耦合的影響能量高於了導帶，所以導致了圖中所示的導帶價帶互換，產生了拓撲相變。
在2009年，Bi2Se3被證實是一種三維拓撲絕緣體材料。它的表面態接近于一個完美的狄拉克錐（如下圖）。它是由Bi和Se兩種材料間或堆疊形成的，每五層被稱為一個quintuple layer，這是它的單位晶胞。每一層中Bi或Se原子都是按照等邊五邊形排列的。和CdTe/HgTe/CdTe 量子阱的情況類似，由於Bi和Se原子受自旋-軌道耦合的影響較大，來源於Bi的導帶能量低於來源於Se的價帶能量。兩條能帶交叉導致了拓撲相變。
作者簡介
盧海昌，2014年畢業於北京大學電子系，現劍橋大學電子工程系博士。主要研究方向是2維電子材料第一性原理計算。
張可欣，2014年畢業于劍橋大學nature science系，現劍橋大學物理系博士。主要研究方向是拓撲絕緣體計算。
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編輯：zkai
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系統整體的winding number不變。它不依賴於局部細節，只和拓撲空間的性質有關。本圖片經nature自然科研授權轉載
圖中所看到的是最簡單的情況，二維布裡淵區，Hamilton量是二維希爾伯特空間向量。然而Hamilton量一般有無窮多個自由度，因此拓撲空間的winding number無法直觀的觀察到。但是陳數或者winding number是同倫不變的。當我們把物理上的拓撲空間映射到數學上的一個高維的閉合曲面加一個奇點上，winding number不變。由此我們簡化了問題，winding number是奇點產生的場穿過這個高維閉合曲面的通量。圖中給出了Haldane模型的相圖和與之對應的winding number。
*數學家們證明了winding number等價於berry曲率流的磁通量，也等價於TKNN不變數。
分數量子霍爾效應
之前講整數量子霍爾效應時忽略了電子與電子相互作用，因為有雜質的存在，電子-雜質相互作用更重要。如果在純淨的樣品中測量霍爾電導會發現電導不僅可以取的整數倍，還可以取分數倍。1982年崔琦，Stormer用高純度AlGaAs/GaAs異質結在極低溫（85mK）和強磁場（0.028T）下觀測到了分數霍爾效應。在電子-雜質相互做變得很小時，電子-電子相互作用變得很重要，在強關聯體系下，應該用多體的波函數求解電導。Laughlin給出了分數電荷的准粒子交換統計理論，解釋了1/3電導。本文不作詳細介紹。
量子自旋霍爾效應
量子自旋霍爾效應中沒有外加磁場，考慮電子自旋。2005年，Kane和Mele研究了受時間反演對稱性約束的絕緣體。他們考慮了類似於Haldane的模型，加上了自旋為二分之一的自旋軌道耦合系統。自選軌道耦合項在時間反演下不變的。第一陳數在時間反演對稱的體系中是零，因為Berry曲率中的磁場項在時間反演變換下反號。第一陳數為零並不代表體系是拓撲平凡的的，考慮了自旋和自選軌道耦合以後我們用新的拓撲不變數標定。
*時間反演變換並不意味著時間的倒流，而是運動方向的倒轉，所以並不違背因果律。由於時間反演算符是反么正的，因此它並不導致某個守恆量，而是導致一個反應過程與其逆過程的概率存在一定聯繫，還可能導致某種選擇定則和能級簡並，如Kramer簡並對。
量子自旋霍爾效應的兩大特點是Kramer簡並對和手性邊緣螺旋態的存在。時間反演對稱性的約束起著至關重要的作用。
1930年，Hans.Kramer發現對於任何一個受時間反演約束的自旋為半整數的系統來說，所有的能級都至少存在一個簡並對。什麼是簡並對呢？當我們進行時間反演變換時，電子的運動方向被反轉，自旋也變為相反方向，但是電子的能量不變。這個電子與進行變換前的電子就組成了一對簡並對。簡單來說，就是由於T-1HT=H，所以當H|n>=En|n>，HT|n>=EnT|n>。布裡淵區中，一條能帶上每個k點的電子都有一個與之對應的簡並對，時間反演變換後動量和自旋反號，這個簡並對的晶格動量為-k，兩者能量一樣，自旋相反。
如果系統的布裡淵區本身不是鏡面對稱，簡並對能帶在同一個k點的能量就不一定相同。用3維拓撲絕緣體Bi2Se3來舉例，Bi2Se3的布裡淵區本身是鏡面對稱的，所以它的bulk裡所有簡並能帶都是重疊的。但是由於Bi2Se3表面沒有鏡面對稱保護，它的表面態的Kramer 對是分開的，只有在TRIM點（TRIM點是對於簡並對晶格動量相同的點，比如原點和布裡淵區的邊界點）才是簡並的。雖然Kramer簡並對是拓撲絕緣體的一個先決條件，但是並不是所有時間反演保護的系統都是拓撲絕緣體。圖（a）和圖（b）分別展示了一個拓撲數平凡（一個普通絕緣體）和一個拓撲數不平凡（拓撲絕緣體）的表面態能帶。一個拓撲絕緣體的表面態的導帶和價帶兩對Kramer簡並對在TRIM互相交叉，互換了他們的對子，所以表面態的導帶和價帶就被連結起來形成類似狄拉克錐的導電結構。
表面態的電子可以導電，但是它們的運動方向和自旋是聯繫起來的。因為它們互為Kramer簡並對。在Kane和Mele的模型中，表面態可以用下面這張圖來表示。我們看到上下表面導電的電子運動方向和自旋是綁定的，並且同一表面上向左移動的電子和向右移動的電子自旋相反。這個現象被稱為手性邊緣螺旋態。而這種表面態的電子電導要比一般電子高。其原因在於手性邊緣螺旋態無法發生背散射。所謂背散射是指電子被雜質散射，運動方向反轉180度。我們可以把這個想像成電子繞著以雜質為中心，z方向旋轉了180度，但是實空間的轉動並不會作用到電子自旋的內稟空間，因此電子自旋並沒有發生改變。根據手性邊緣螺旋態，運動方向反轉的電子的自旋必須也反轉，所以背散射過程是被禁止的，電子的導電性提高。
我們發現了哪些拓撲絕緣體材料
聽了前面的介紹，讀者們一定對拓撲絕緣體有了一些理論上的理解，現在讓我們來瞭解下現實中的拓撲絕緣體材料。
CdTe/HgTe/CdTe 量子阱是第一個被實驗驗證的二維拓撲絕緣體，它是由在兩層CdTe材料中間疊加一層HgTe構成的。由於HgTe的量子勢低於CdTe，兩種材料相鄰的介面上會形成一個量子阱，原本可以在三維空間自由移動的電子便被困在這個二維的介面上。當我們不斷增加中間HgTe材料的厚度，材料的性質就會發生改變，由一個普通的絕緣體變為一個拓撲絕緣體。讓我們從原子層面來理解下這種變化。Hg和Te都是原子數較大的元素，除了通常的電子和原子核的相互作用外，原子數越大的元素自旋-軌道耦合作用也越強。在大部分半導體材料裡，能量最低的導帶和能量最高的價帶分別是由s軌道電子和p軌道電子構成的，而耦合作用的能量大小正比於電子軌道的軌道角動量，s軌道的角動量為零，p軌道的角動量為一，所以只有p軌道會受到自旋-軌道耦合作用的影響，軌道的能量被抬高。在HgTe裡，p軌道構成的價帶由於自旋-軌道耦合的影響能量高於了導帶，所以導致了圖中所示的導帶價帶互換，產生了拓撲相變。
在2009年，Bi2Se3被證實是一種三維拓撲絕緣體材料。它的表面態接近于一個完美的狄拉克錐（如下圖）。它是由Bi和Se兩種材料間或堆疊形成的，每五層被稱為一個quintuple layer，這是它的單位晶胞。每一層中Bi或Se原子都是按照等邊五邊形排列的。和CdTe/HgTe/CdTe 量子阱的情況類似，由於Bi和Se原子受自旋-軌道耦合的影響較大，來源於Bi的導帶能量低於來源於Se的價帶能量。兩條能帶交叉導致了拓撲相變。
作者簡介
盧海昌，2014年畢業於北京大學電子系，現劍橋大學電子工程系博士。主要研究方向是2維電子材料第一性原理計算。
張可欣，2014年畢業于劍橋大學nature science系，現劍橋大學物理系博士。主要研究方向是拓撲絕緣體計算。
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編輯：zkai
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