“幾何變換思想”的數學（摘錄）

變換是數學中一個帶有普遍性的概念， 代數中有數與式的恒等變換、幾何中有圖形的變化。 在初等幾何中， 圖形變換是一種重要的思想方法， 它以運動變化的觀點來處理孤立靜止的幾何問題， 往往在解決問題的過程中能夠收到意想不到的效果。

兵團教研室楊衛平1、 初等幾何變換的概念

初等幾何變換是關於平面圖形在同一個平面內的變換， 在中小學教材中出現的相似變換、合同變換等都屬於初等幾何變化。 合同變換實際上就是相似比為1的相似變換， 是特殊的相似變換。 合同變換也叫保距變換，

（1） 平移變換。

將平面上任一點P變換到P＇， 使得：（1）射線PP＇的方向一定（2）線段PP＇的長度一定， 則稱這種變換為平移變換。 也就是說一個圖形與經過平移變換後的圖形上的任意一對對應點的連線相互平行且相等。

平移變換有以下一些性質；

①圖形變為與之全等的圖形， 因而面積和周長不變。

②在平移變換之下兩點之間的方向保持不變。 如任意兩點A與B， 變換後的對應點為A＇B＇， 則有AB//A＇B＇。

③在平移變換之下兩點之間的距離保持不變。 如任意兩點A和B， 變換後的對應點A＇和B＇， 則有AB=A＇B＇。

在解初等幾何問題時， 常利用平移交換使分散的條件集中在一起， 具有更緊湊的位置關係或變換成更簡單的基本圖形。

（2） 旋轉變換

在同一平面內， 使原點O變換到它的自身， 其他任何點X變換到X＇， 使得：（1）OX＇=OX；（2）∠XOX＇=＠(定角)；則稱這樣的變換為旋轉變換。 O為旋轉中心， 定角＠為旋轉角。 當＠＞0時， 為逆時針方向旋轉；當＠＜0時， 為順時針旋轉。 當＠等於平角時， 旋轉變換就是中心對稱。 通俗的說就是一個圖形圍繞一個定點在不變的情況下轉動一個角度的運動， 就是旋轉。 在旋轉變換下， 圖形的方位可能有變化。

旋轉變換有以下一些性質：

① 把圖形變為與之全等的圖形， 因而面積和周長不變。

② 在旋轉變換下， 任意兩點A和B， 變換後的兩點為A′和B′,則有直線AB和直線A′B′所成的角為＠.

③ 在旋轉變換下,任意兩點A和B變換後的對應點為A′和B′,則有AB=A′B′.

在解決幾何問題時旋轉的作用是使原有的圖形的性質得以保持,但通過改變其位置,組合成新的圖形,便於計算和證明.

(3)反射變換

在同一平面內,若存在一條定直線L,使對於平面上的任意一點P及其對應點P′,其連線PP′的中垂線都是L,則稱這種變換為反射變換,也就是常說的軸對稱,定直線L稱為對稱軸,也叫反射軸.

軸對稱有如下性質:

① 把圖形變為與之全等的圖形,因而面積和周長不變.

② 在反射變換下,任意兩點A和B,變換後的兩點為A′和B′,則有直線AB和直線A′和B′所成的角的平分線為L.

③ 兩點之間的距離保持不變,任意兩點A和B,變換後的兩點為A′和B′,則有AB=A′B′.

如果一個圖形沿某一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個圖形就叫做軸對稱圖形.

如果一個圖形沿某一條直線折疊,如果它能與另一圖形重合,那麼就說這兩個圖形關於這條直線對稱.

軸對稱變換和軸對稱圖形是兩個不同的概念,前者是指圖形之間的關係或折疊運動,後者是指一個圖形.中小學數學中的很多圖形中都是軸對稱圖形,利用這些圖形的軸對稱關係,可以幫助我們解決一些計算和證明的幾何問題.

(4)相似變換

在同一平面內,圖形中的任意兩點A.B,變換後的兩點為A′B′,也就是任意線段AB變換成A′B′,總有A′B′=K·AB(K＞O,且為常數),則稱為相似變換.通俗地說就是一個圖形按照一定比例放大或縮小,圖形的形狀不變.其中的k稱為相似比或相似係數,當k=1時,即為合同變換.相似變換有以下一些性質:

① 兩個圖形的周長的比等於相似比.

② 兩個圖形的面積的比的平方.

③ 兩條直線的夾角保持不變.

生活中的許多現象都滲透著相似變換的思想,如物體和圖形在光線下的投影、照片和圖片的放大和縮小、零件的圖紙等等,因而利用相似變換可以解決生活中的一些幾何問題.

2.幾何變換思想的重要意義

課程改革以來,幾何的教學已經由傳統的注重圖形的性質,周長,面積和體積等的計算,演繹推理能力轉變為培養空間觀念,計算能力,推理能力及觀察,操作,實驗能力並重的全面的,和諧的發展.其中推理不僅僅重視演繹推理,還特別強調合情推理.也就是說,新課程的理念在幾何的育人功能方面注重空間觀念,創新精神,探索能力,推理能力,計算能力,幾何模型等全面,和諧的發展.而圖形變換作為幾何領域的重要內容和思想方法之一,在幾何的育人方面發揮著非常重要的作用.圖形變換來源於生活中物體的平移,旋轉和軸對稱的這些運動現象,因而瞭解圖形的變換,有利於我們認識生活中豐富多彩的生活空間和形成初步空間觀念.利用圖形變換把靜止的幾何問題通過運動變化,找到更加簡捷的解決問題的方法.

圖形變換作為空間與圖形領域的重要內容之一,在圖形的性質的認識,面積公式的推倒,面積得計算,圖形設計和欣賞,幾何的推理證明等方面都有重要的應用.

小學數學中幾何變換思想的應用如下表.

思想方法

知識點

應用舉例

軸對稱

畫簡單的軸對稱圖形

認識軸對稱圖形,畫一個簡單的軸對稱圖形

平移變換

認識平移,把簡單圖形平移,

判斷生活中物體的運動那些是平移現象;畫出一個簡單圖形沿水準方向,豎直方向平移後的圖形

旋轉變換

感知旋轉現象

判斷生活中物體的運動那些是旋轉現象

把簡單的圖形旋轉90°

畫出一個簡單圖形順時針或逆時針旋轉90°後的圖形

合同變換

圖形的性質,面積的計算

平行四邊形,三角形,梯形和圓的面積公式的推導等都滲透了幾何變換思想

圖案的欣賞和設計

判斷一些圖案是由一些基本圖形經過什麼變化得到的;利用平移,旋轉,軸對稱等變換,設計美麗的圖案

相似變換

把簡單圖形放大或縮小

畫出長方形,正方形,三角形等簡單的圖形按照一定的比例放大或縮小的圖形

4.幾何變換思想的教學

(1)課程標準關於圖形變換的數學要求.

課程標準關於圖形變換的內容和目標分為以下幾個層次;

學段

內容和目標

第一 學段

結合生活實例,感知平移,旋轉和軸對稱現象

在方格紙上畫出一個簡單圖形沿水準方向,豎直方向平移後的圖形

認識軸對稱圖形,在方格紙上畫出一個簡單軸對稱圖形

第二學段

認識圖形的平移和旋轉,體會圖形的相似

確定軸對稱圖形的對稱軸, 在方格紙上畫出一個簡單軸對稱圖形

在方格紙上畫出一個簡單圖形平移或旋轉90°後的圖形在方格紙上畫出一個簡單圖形,按一定比例放大或縮小後的圖形

判斷一些圖案是由一些基本圖形經過什麼變化得到的,利用平移,旋轉和軸對稱等變換,設計圖案

(2)教學中需要注意的問題.

圖形變換在大綱時代的小學幾何中只學習了軸對稱,而且不是幾何中的主要內容.課程標準與大綱相比,在第一,二學段的空間與圖形圖形的圖形變換方面,新增加了平移,旋轉和相似變換.這些內容雖然難度不大,但是對概念的準確性和教學要求比較難把握,給一些教師的備課和教學帶來一定的困饒.下面談一談如何把握相關的概念和教學要求.

第一,對一些概念的準確把握.

平移,旋轉,軸對稱變換變換與生活中物體的平移,旋轉和軸對稱現象不是一個概念.數學來源於生活,但不等於生活,是生活現象的抽象和概括.生活中的平移和旋轉現象往往都是物體的運動,如推拉窗,傳送帶,電梯,鐘擺,旋轉門等物體的運動,都可以稱為平移現象或旋轉現象.而中小學中的幾何變換都是指平面圖形在同一平面的變換,也就是說原圖形和變換後的圖形都是平面圖形,而且都在同一平面內.幾何中的平移,旋轉和軸對稱現象,如果把生活中這些物體畫成平面圖形,並且在同一平面上運動,就可以說是幾何中的平移,旋轉和軸對稱變換了.

一個變換是不是合同變換或相似變換,要依據概念進行判斷.如課程標準要求小學階段的平移限於水準方向和豎直方向,實際上也可以沿斜線方向平移,只要滿足平移的兩個條件.如高山索道,滑雪等都可以看成平移現象,畫成平面圖形就是平移變換.再如旋轉象旋轉門,螺旋槳,水龍頭等都可以看成旋轉現象,但是要注意它的嚴密性:一是旋轉中心必須固定,二是物體不能變形,三是旋轉的角度可大可小可以是1度,也可以是300度.這樣的旋轉運動畫成平面圖形在同一平面的運動才是旋轉變換.另外幾何意義上的變換都是從圖形的對應點及其連線的幾何性質進行描述的,與圖形的顏色等無關.

案例1:一輛汽車在筆直平坦的道路上行駛,這輛汽車的運動是平移麼?如果這輛汽車急刹車,輪胎抱死在道路上滑行是平移麼?

分析:嚴格來說,物體胡平移應該保證物體不變形而且物體上的點在物體上地位置是固定的,輪胎在轉動時汽車的運動就不是平移了,輪胎抱死滑行就是平移,因此,前者不是平移,後者是平移.

案例2:一架直升飛機在按一定速度飛行時螺旋槳在轉動,但是它的旋轉中心一直在移動,沒有固定,因此不能看成幾何意義上的旋轉,只能說是生活中的旋轉現象.當它停在陸地上時螺旋槳的轉動就可以看成旋轉了.

案例3:下麵的圖形是軸對稱圖形嗎?

分析:一個圖形沿一條直線折疊,直線兩邊的部分能夠完全重合,這樣的圖形才是軸對稱圖形,而光有四周或輪廓重合椒不夠的.圖(1)從三角形的頂點向底邊作一條垂線,垂線的兩邊的輪廓能夠重合,但是小方格沒有對應的重合的部分,因此,它不是軸對稱圖形.圖(2)是軸對稱圖形.

第二.注意圖形變換與其它幾何知識的聯繫.

小學幾何中的很多平面圖形都是軸對稱圖形,如長方形,正方形,等腰三角形,等邊三角形,等腰梯形,菱形,圓等.一方面要在學習軸對稱時加強對這些圖形的對稱軸和軸對稱的有關性質的認識,另一方面要在學習軸對稱時加強對這些圖形的概念和性質時進一步體會它們的軸對稱特點.

在推導平行四邊形,三角形和梯形的面積公式時,包括在計算組合圖形的面積時,都用到了變換思想.如三角形面積公式的推導,是把任意兩個完全相同三角形拼成一個平行四邊形,再利用三角形和平行四邊形的關係,求出三角形的面積公式.這實際上是把任意一個三角形旋轉180度,再沿著一條邊平移,就組合成了一個平行四邊形.也就是說,把任意一個三角形經過旋轉和平移變換,就變換成了平行四邊形.梯形面積公式的推導也是利用了這個原理.我國古代數學家劉徽利用出入相補原理求三角形和梯形的面積,實際上也利用到了旋轉變換.

案例4:小明家的院子裡有一塊長 30米,寬20米的長方形菜地,地裡有兩條相互垂直而且寬都是1米的小路,這塊地實際種菜的面積是多少?

分析:此題對於小學生來說,並不是難題,可以有多種方法,這裡可以運用平移原理,把小路向底邊和右邊平移.這時實際種菜的面積就轉化為求29米,寬19米的長方形面積,用長乘寬就可求出面積.

案例5.如圖所示,三個同心圓的最大的圓的兩條直徑相互垂直,最大的圓的半徑是2㎝,求陰影部分的面積.

分析:此題從表面上看,陰影部分比較分散,沒有足夠的資料計算每部分陰影的面積.根據兩條直徑相互垂直可以得出每個圓都被平分了4份,每一份都被旋轉90°都可以與相鄰的部分重合.因此可以把最外圈陰影部分的四分之一大圓繞圓心順時針旋轉90°,把中間陰影部分的四分之一圓繞圓心逆時針旋轉90度,使陰影經過旋轉集中在右上角四分之一大的圓裡.陰影的面積為:1／4×π×2的平方=π(㎝ )的平方

以上解題思路告訴我們,在計算一個圖形尤其是組合圖形的面積時,利用變換原理可以使原有的圖形得到新的組合圖形,轉化為易於計算計算面積的圖形,從而簡化計算的步驟.

第三,對教學要求和解題方法的準確把握.

如前所述,課程標準對圖形變換的內容和教學要求有比較清晰的描述,尤其是要把握好兩個學段的內容,教學要求和解題方法.

首先像直觀判斷題,例如,一個平面內有若干圖形,要判斷哪些圖形經過平移可以互相重合,對於小學生來說很難用任何一對對應點的連線平行且相等來判斷,只能通過直觀感受判斷,也就是說直觀感受原圖形在沒有任何轉動的情況下,通過水準,豎直或者沿斜線滑動能夠與另一個圖形重合,借住方格紙可以幫助我們理解其中的道理.如在方格紙上原圖形中點A(2,3),經過平移後它的對應點為A(8,10).那麼原圖形可以通過先向右平移6格,在向上平移7格;或者先向上平移7格,再向右平移6格,得到平移後的圖形.

其次像作圖題,例如,畫出一個圖形沿著一個方向平移幾格後的圖形,應讓學生明確,一個圖形沿著一個方向平移幾格,那麼這個圖形上的任何一點和線段都沿著相同的方向平移幾格.可重點掌握以下幾個步驟找出圖形的關鍵幾個點;明確平移的方向和距離,畫出平移後關鍵點的對應點;按照原圖形地順序連接各個點.再如,畫出一個圖形旋轉90度後的圖形,應讓學生明確,一個圖形繞一個點沿一個方向旋轉多少度,那麼這個圖形上的任何一個點和線段都圍繞該點都沿著相同的方向旋轉相同的度數.可重點掌握以下幾個步驟:確定旋轉中心,旋轉方向;找出圖形的關鍵的幾個點;畫出旋轉後關鍵點的對應點,按照原圖形的順序連接各個點.其中的難點是,圖形的關鍵點與旋轉中心的連線是斜線的時候如何旋轉90°,可以先畫能夠確定旋轉90度的線段,再根據原圖形的形狀特點來確定其它的關鍵點.

另外,在學習利用平行線畫平行四邊形之前,還可以利用平移在方格紙上畫平行四邊形,在方格紙上先任意畫出頂點在方格交叉點上的相鄰兩條邊,再根據平移的原理畫出相對的兩條邊.

圖形變換作為空間與圖形領域的重要內容之一,在圖形的性質的認識,面積公式的推倒,面積得計算,圖形設計和欣賞,幾何的推理證明等方面都有重要的應用.

小學數學中幾何變換思想的應用如下表.

思想方法

知識點

應用舉例

軸對稱

畫簡單的軸對稱圖形

認識軸對稱圖形,畫一個簡單的軸對稱圖形

平移變換

認識平移,把簡單圖形平移,

判斷生活中物體的運動那些是平移現象;畫出一個簡單圖形沿水準方向,豎直方向平移後的圖形

旋轉變換

感知旋轉現象

判斷生活中物體的運動那些是旋轉現象

把簡單的圖形旋轉90°

畫出一個簡單圖形順時針或逆時針旋轉90°後的圖形

合同變換

圖形的性質,面積的計算

平行四邊形,三角形,梯形和圓的面積公式的推導等都滲透了幾何變換思想

圖案的欣賞和設計

判斷一些圖案是由一些基本圖形經過什麼變化得到的;利用平移,旋轉,軸對稱等變換,設計美麗的圖案

相似變換

把簡單圖形放大或縮小

畫出長方形,正方形,三角形等簡單的圖形按照一定的比例放大或縮小的圖形

4.幾何變換思想的教學

(1)課程標準關於圖形變換的數學要求.

課程標準關於圖形變換的內容和目標分為以下幾個層次;

學段

內容和目標

第一 學段

結合生活實例,感知平移,旋轉和軸對稱現象

在方格紙上畫出一個簡單圖形沿水準方向,豎直方向平移後的圖形

認識軸對稱圖形,在方格紙上畫出一個簡單軸對稱圖形

第二學段

認識圖形的平移和旋轉,體會圖形的相似

確定軸對稱圖形的對稱軸, 在方格紙上畫出一個簡單軸對稱圖形

在方格紙上畫出一個簡單圖形平移或旋轉90°後的圖形在方格紙上畫出一個簡單圖形,按一定比例放大或縮小後的圖形

判斷一些圖案是由一些基本圖形經過什麼變化得到的,利用平移,旋轉和軸對稱等變換,設計圖案

(2)教學中需要注意的問題.

圖形變換在大綱時代的小學幾何中只學習了軸對稱,而且不是幾何中的主要內容.課程標準與大綱相比,在第一,二學段的空間與圖形圖形的圖形變換方面,新增加了平移,旋轉和相似變換.這些內容雖然難度不大,但是對概念的準確性和教學要求比較難把握,給一些教師的備課和教學帶來一定的困饒.下面談一談如何把握相關的概念和教學要求.

第一,對一些概念的準確把握.

平移,旋轉,軸對稱變換變換與生活中物體的平移,旋轉和軸對稱現象不是一個概念.數學來源於生活,但不等於生活,是生活現象的抽象和概括.生活中的平移和旋轉現象往往都是物體的運動,如推拉窗,傳送帶,電梯,鐘擺,旋轉門等物體的運動,都可以稱為平移現象或旋轉現象.而中小學中的幾何變換都是指平面圖形在同一平面的變換,也就是說原圖形和變換後的圖形都是平面圖形,而且都在同一平面內.幾何中的平移,旋轉和軸對稱現象,如果把生活中這些物體畫成平面圖形,並且在同一平面上運動,就可以說是幾何中的平移,旋轉和軸對稱變換了.

一個變換是不是合同變換或相似變換,要依據概念進行判斷.如課程標準要求小學階段的平移限於水準方向和豎直方向,實際上也可以沿斜線方向平移,只要滿足平移的兩個條件.如高山索道,滑雪等都可以看成平移現象,畫成平面圖形就是平移變換.再如旋轉象旋轉門,螺旋槳,水龍頭等都可以看成旋轉現象,但是要注意它的嚴密性:一是旋轉中心必須固定,二是物體不能變形,三是旋轉的角度可大可小可以是1度,也可以是300度.這樣的旋轉運動畫成平面圖形在同一平面的運動才是旋轉變換.另外幾何意義上的變換都是從圖形的對應點及其連線的幾何性質進行描述的,與圖形的顏色等無關.

案例1:一輛汽車在筆直平坦的道路上行駛,這輛汽車的運動是平移麼?如果這輛汽車急刹車,輪胎抱死在道路上滑行是平移麼?

分析:嚴格來說,物體胡平移應該保證物體不變形而且物體上的點在物體上地位置是固定的,輪胎在轉動時汽車的運動就不是平移了,輪胎抱死滑行就是平移,因此,前者不是平移,後者是平移.

案例2:一架直升飛機在按一定速度飛行時螺旋槳在轉動,但是它的旋轉中心一直在移動,沒有固定,因此不能看成幾何意義上的旋轉,只能說是生活中的旋轉現象.當它停在陸地上時螺旋槳的轉動就可以看成旋轉了.

案例3:下麵的圖形是軸對稱圖形嗎?

分析:一個圖形沿一條直線折疊,直線兩邊的部分能夠完全重合,這樣的圖形才是軸對稱圖形,而光有四周或輪廓重合椒不夠的.圖(1)從三角形的頂點向底邊作一條垂線,垂線的兩邊的輪廓能夠重合,但是小方格沒有對應的重合的部分,因此,它不是軸對稱圖形.圖(2)是軸對稱圖形.

第二.注意圖形變換與其它幾何知識的聯繫.

小學幾何中的很多平面圖形都是軸對稱圖形,如長方形,正方形,等腰三角形,等邊三角形,等腰梯形,菱形,圓等.一方面要在學習軸對稱時加強對這些圖形的對稱軸和軸對稱的有關性質的認識,另一方面要在學習軸對稱時加強對這些圖形的概念和性質時進一步體會它們的軸對稱特點.

在推導平行四邊形,三角形和梯形的面積公式時,包括在計算組合圖形的面積時,都用到了變換思想.如三角形面積公式的推導,是把任意兩個完全相同三角形拼成一個平行四邊形,再利用三角形和平行四邊形的關係,求出三角形的面積公式.這實際上是把任意一個三角形旋轉180度,再沿著一條邊平移,就組合成了一個平行四邊形.也就是說,把任意一個三角形經過旋轉和平移變換,就變換成了平行四邊形.梯形面積公式的推導也是利用了這個原理.我國古代數學家劉徽利用出入相補原理求三角形和梯形的面積,實際上也利用到了旋轉變換.

案例4:小明家的院子裡有一塊長 30米,寬20米的長方形菜地,地裡有兩條相互垂直而且寬都是1米的小路,這塊地實際種菜的面積是多少?

分析:此題對於小學生來說,並不是難題,可以有多種方法,這裡可以運用平移原理,把小路向底邊和右邊平移.這時實際種菜的面積就轉化為求29米,寬19米的長方形面積,用長乘寬就可求出面積.

案例5.如圖所示,三個同心圓的最大的圓的兩條直徑相互垂直,最大的圓的半徑是2㎝,求陰影部分的面積.

分析:此題從表面上看,陰影部分比較分散,沒有足夠的資料計算每部分陰影的面積.根據兩條直徑相互垂直可以得出每個圓都被平分了4份,每一份都被旋轉90°都可以與相鄰的部分重合.因此可以把最外圈陰影部分的四分之一大圓繞圓心順時針旋轉90°,把中間陰影部分的四分之一圓繞圓心逆時針旋轉90度,使陰影經過旋轉集中在右上角四分之一大的圓裡.陰影的面積為:1／4×π×2的平方=π(㎝ )的平方

以上解題思路告訴我們,在計算一個圖形尤其是組合圖形的面積時,利用變換原理可以使原有的圖形得到新的組合圖形,轉化為易於計算計算面積的圖形,從而簡化計算的步驟.

第三,對教學要求和解題方法的準確把握.

如前所述,課程標準對圖形變換的內容和教學要求有比較清晰的描述,尤其是要把握好兩個學段的內容,教學要求和解題方法.

首先像直觀判斷題,例如,一個平面內有若干圖形,要判斷哪些圖形經過平移可以互相重合,對於小學生來說很難用任何一對對應點的連線平行且相等來判斷,只能通過直觀感受判斷,也就是說直觀感受原圖形在沒有任何轉動的情況下,通過水準,豎直或者沿斜線滑動能夠與另一個圖形重合,借住方格紙可以幫助我們理解其中的道理.如在方格紙上原圖形中點A(2,3),經過平移後它的對應點為A(8,10).那麼原圖形可以通過先向右平移6格,在向上平移7格;或者先向上平移7格,再向右平移6格,得到平移後的圖形.

其次像作圖題,例如,畫出一個圖形沿著一個方向平移幾格後的圖形,應讓學生明確,一個圖形沿著一個方向平移幾格,那麼這個圖形上的任何一點和線段都沿著相同的方向平移幾格.可重點掌握以下幾個步驟找出圖形的關鍵幾個點;明確平移的方向和距離,畫出平移後關鍵點的對應點;按照原圖形地順序連接各個點.再如,畫出一個圖形旋轉90度後的圖形,應讓學生明確,一個圖形繞一個點沿一個方向旋轉多少度,那麼這個圖形上的任何一個點和線段都圍繞該點都沿著相同的方向旋轉相同的度數.可重點掌握以下幾個步驟:確定旋轉中心,旋轉方向;找出圖形的關鍵的幾個點;畫出旋轉後關鍵點的對應點,按照原圖形的順序連接各個點.其中的難點是,圖形的關鍵點與旋轉中心的連線是斜線的時候如何旋轉90°,可以先畫能夠確定旋轉90度的線段,再根據原圖形的形狀特點來確定其它的關鍵點.

另外,在學習利用平行線畫平行四邊形之前,還可以利用平移在方格紙上畫平行四邊形,在方格紙上先任意畫出頂點在方格交叉點上的相鄰兩條邊,再根據平移的原理畫出相對的兩條邊.