合情推理是從有的事實出發， 憑藉經驗和直覺， 通過歸納和類化等推測某些結果。 合情推理的常用形式有：歸納推理和類比推理。 當前提為真是， 合情推理所得的結論可能為真也可能為假。
王永春（課程教材研究所）
1.推理思想的概念推理是從一個或幾個已有的判斷得出另一個新判斷的思維形式。 推理所根據的判斷叫前提， 根據前提所得到的判斷叫結論。 推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。 演繹推理是根據一般性的真命題（或邏輯規則）推出特殊性命題的推理。 演繹推理的特徵是：當前題為真時， 結論必然為真。 演繹推理的常用形式有：三段論、選言推理、假言推理、關係推理等。
（1）演繹推理。
三段論， 有兩個前提和一個結論的演繹推理， 叫做三段論。 三段論是演繹推理的一般模式， 包括：大前提——已知的一般原理， 小前提——所研究的特殊情況， 結論——根據一般原理，
選言推理， 分為相容選言推理和不相容選言推理。 這裡只介紹不相容選言推理：大前提是個不相容的選言判斷， 小前提肯定其中的一個選言支， 結論則否定其他選言支；小前提否定除其中一個以外的選言支， 結論則肯定剩下的那個選言支。 例如：一個三角形， 要麼是銳角三角形， 要麼是直角三角形， 要麼是鈍角三角形。 這個三角形不是銳角三角形和直角三角形， 所以它是個鈍角三角形。
假言推理， 假言推理的分類較為複雜， 這裡簡單介紹一種充分條件假言推理：前提有一個充分條件假言判斷， 肯定前件就要肯定後件， 否定後件就要否定前件。
關係推理， 是前提中至少有一個是關係命題的推理。 下面簡單舉例說明幾種常用的關係推理：（1）對稱性關係推理， 如1米=100釐米， 所以100釐米=1米；（2）反對稱性關係推理， a大於b,所以b不大於a；（3）傳遞性關係推理， a>b,b>c,所以a>c。 關係推理在數學學習中應用比較普遍， 如在一年級學習數的大小比較時， 把一些數按從小到大或從大到小的順序排列， 實際上都用了關係推理。
（2）合情推理。
歸納推理， 是從特殊到一半的推理方法， 即依據一類事物中部分物件的相同性質推出該類事物都具有這種性質的一般性結論的推理方法。
類比推理， 是從特殊到特殊的的推理方法， 即依據兩類事物的相似性， 用一類事物的性質去推測另一類事物也具有該性質的推理方法。 依據該方法得到的結論可能為真也可能為假， 需要進一步證明結論的可靠性。
我國數學教育幾十年來的主要優勢或者說成果就是重視培養學生的運算能力、推理能力和空間想像能力。傳統的《數學教學大綱》比較強調邏輯推理而忽視了合情推理；而現行的《數學課程標準》又矯枉過正，過於強調合情推理，在邏輯推理能力方面有所淡化。近年來課程改革的實踐證明，二者不可偏廢。就學好數學或者培養人的智力而言，邏輯推理和合情推理都是不可或缺的。據瞭解《數學課程標準（修改稿）》在這方面有比較合理的處理，明確了推理的範圍及作用“推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們在學習生活中經常使用的思維方式。推理一般包括和清理和演繹推理。……在解決問題的過程中，合情推理有助於探索解決問題的思路，發現結論；演繹推理用於證明結論的正確性”。
數學在當今市場經濟和資訊化社會有比較廣泛的應用，人們在利用數學解決各種實際問題的過程中，雖然大量的計算和推理可以通過電腦來完成，但是救人的思維能力構成而言，推理能力仍然是至關重要的能力之一，因而培養推理能力仍然是數學教育的主要任務之一。
3.推理思想的具體應用推理思想作為數學的一個重要的思想方法，無論在小學還是在中學都有著廣泛的應用，尤其是合情推理作為數學發現的一種重要方法，在小學教學的探究學習和再創造學習中應用更為廣泛。在小學數學中雖然沒有初中類似於數學證明等嚴密規範的演繹推理，但是在很多結論的推導過程中間接的應用了演繹推理。如推導出平行四邊形的面積公式後，三角形面積公式的推導過程是先把兩個同樣的三角形拼成一個平行四邊形，再根據平行四邊形的面積公式推出三角形的面積公式。這個過程實際上是應用了演繹推理，如下：平行四邊形的面積等於底乘高，兩個同樣的三角形的面積等於平行四邊形的面積，所以兩個同樣的三角形的面積等於底乘高；因而一個三角形的面積就等於底乘高的積除以2。小學數學中推理思想的應用如下表。
思想方法
知識點
應用舉例
不 完 全 歸 納 法
找規律
找數列和圖形的規律
整數計算
四則計算法則的總結
運算定律
加法交換律a+b=b+a
加法結合律
乘法交換律
乘法結合律
乘法分配律
除法
商不變的規律
分數
分數的基本性質
面積
長方形面積公式推導
體積
長方體體積公式推導
圓柱體積公式推導
圓錐體積公式推導
完全歸納法
三角形
三角形內角和的推導
類 比 推 理
整書讀寫法
億以內及億以上數的讀寫
整數的運算
四則計算的法則：多位數加減法與兩位元數加減法相類比，多位數乘多位數與多位數乘一位元數相類比，除數是多位數的除法與除數是一位數的除法相類比。
小數的運算
整數的運算法則、順序和定律推廣到小數
分數的運算
整數的運算順序和運算定律推廣到分數
除法、分數和比
除法商不變的規律、分數的基本性質和比的基本性質進行類比
面積
與平行四邊形的面積公式推導方法相類比，三角形、梯形面積公式的推導，也用轉化的方法，把它們轉化成平行四邊形推導面積公式。
長度、面積、體積
線、面、體之間的類比：線段有長短，用長度單位來計量；平面圖形有大小，用面積單位來計量；立體圖形占的空間有大小，用體積單位來計量。
問題解決
數量關係相近的實際問題的類比，如分數實際問題與百分數實際問題的類比。
雞兔同籠
不同素材的雞兔同籠問題的類比
抽屜原理
不同素材的抽屜原理問題的類比
三 段 論
多邊形
多邊形內角和的推導
面積
正方形面積公式的推導
平行四邊形面積公式的推導
三角形面積公式的推導
梯形面積公式的推導
圓面積公式的推導
體積
正方體體積公式的推導
選言推理
類似於人教版二年級上冊數學廣角中的“猜一猜”
假言推理
根據概念、性質等進行判斷的一些問題
關係推理
大小比較、恒等變形、等量代換等等
就演繹推理和合情推理的關係及教學建議，《數學課程標準（修改稿）》指出“推理貫穿於數學教學的始終，推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程。義務教育階段要注重學生思考的條理性，不要過分強調推理的形式。……教師在教學過程中，應該設計適當的學習活動，引導學生通過觀察、嘗試、估算、歸類、類比、畫圖等活動發現一些規律，猜測某些結論，發展合情推理能力；通過實例使學生逐步意識到，結論的正確性需要演繹推理的確認，可以根據學生的年齡特徵提出不同程度的要求”。
根據以上《數學課程標準》關於推理思想的理念和要求，在小學數學教學中要注意把握以下幾點。
第一，推理是重要的思想方法之一，是數學的基本思維方式，要貫穿於數學教學的始終。在小學數學中，除了運算是數學的基本方法外，推理也是常用的數學方法。無論是低年級的找規律、總結計算法則，還是高年級的面積、體積公式的推導，無不用到推理的思想方法。因而，廣大教師要牢記推理思想從一年級就要開始滲透和應用，是一個長期的培養過程。
第二，合情推理和演繹推理二者不可偏廢。合情推理多用於根據特殊的事實去發現和總結一般性的結論，演繹推理往往用於根據已有的一般性的結論去證明和推導新的結論。二者在數學中的作用都是很重要的。
第三，推理能力的培養與四大內容領域的教學要有機的結合。推理能力的發展與各領域知識的學習是一個有機的結合過程，因而在教學過程中要給學生提供各個領域的豐富的、有挑戰性的觀察、實驗、猜想、驗證等活動，去發現結論，培養推理能力。
第四，把握好推理思想教學的層次性和差異性。推理能力的培養要結合具體知識的學習，同時要考慮學生的認知水準和接受能力。綜合現行課程標準及其修改稿關於“數學思考”分析段的目標要求，推理能力在小學段的要求可參考下表。
學段
推理能力教學目標
第一學段
初步學會選擇有用資訊進行簡單的歸納和類比
第二學段
在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚的表達自己的思考過程與結果
下面再結合案例談談幾種在小學數學中應用較多的推理思想的教學。
（1）類比思想。無論是學習新知識，還是利用已有知識解決新問題，如果能夠把新知識和新問題與已有的相類似的知識進行類比，進而找到解決問題的方法，這樣就實現了知識和方法的正遷移。因此，要引導學生在學習數學的過程中善於利用類比思想，提高解決問題的能力。有些類比比較直接，如有整數的運算定理遷移到小數、分數的運算定律，問題解決中數量關係相近的問題的類比等。而有些類比比較隱蔽，需要在分析的基礎上才能實現。如抽屜原理，變式練習有很多，難度較大，解決此類問題的關鍵就是通過類比找到抽屜。應用類比的思想方法，關鍵在於發現兩類事物相似的性質，因此，觀察與聯想是類比的基礎。另外，中學數學與小學數學教學可以類比的知識有很多，如果打好小學數學的知識基礎和掌握類比思想，對於初中數學的學習會有較大的益處。如在代數中，與整數的運算順序和運算定律相類比，可以到處有理數和整式的運算順序和運算定律；與分數的基本性質相類比，可以匯出分式也具有類似的性質，並且可以推出它和分數一樣能夠進行化簡和運算。
案例1：計算並觀察下面的算式，你能發現什麼規律？
1=12
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=
……
1+3+5+7+…+99=
分析：此題石油從開始的奇數組成的系列加法算式，每一組算式比前一組多一個後繼的奇數。通過計算並觀察每組算式的得數，1是一個奇數，等於一1的平方；（1+3）是前兩個奇數的相加，等於2的平方；（1+3+5）是前3個奇數相加，，等於3的平方；（1+3+5+7）是前4個奇數相加，通過與前面算式進行類比，猜想應該等於4的平方；（1+3+5+7）＝16。42=16，猜想正確，那麼最後的算式是前50個奇數相加等於50的平方。因此可以歸納出一般的規律：前n個奇數相加的和等於n的平方。
（2）歸納思想。不完全歸納法在小學數學的教學中應用比較廣泛。小學數學中很多去處法則、公式、定律等的推導，都是在例舉幾個特殊例子的基礎上得出的。如根據40+56＝56+40，28+37＝37+28，120+80＝80+120等幾個有限的例子，得出加法交換律。《數學課程標準》特別強調培養學生探索圖形和數的排列規律，探索規律的過程就是一個應用不完全歸納法的過程。
案例2：觀察下面的一組算式，你能發現什麼規律？
14+41＝55，34+43＝77，27+72＝99，46+64＝110，38+83＝121
分析：通過觀察版式，能夠發現這樣一些規律：所有的版式都是兩位數加兩位數，每個版式的兩個加數中的一個加數的個位和十位數互換，變成另一個加數。再進一步觀察，所算式的得數有兩位數也有三位數，它們有什麼共同的規律呢？把它們分別分解質因數發現，每個數是者11的倍數。這樣就可以大膽猜想並歸納結論：兩個互換個位數和十位數的兩位數相加，結果是11的倍數。再舉例驗證：57+75＝132＝11×12，69+96＝165＝11×15，初步驗證猜想是正確的。那麼如何進行嚴密的數學證明呢？可高任意一個兩位數是ab=(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b),從而證明了結論的正確。
（3）三段論。在人們的傳統觀念中，小學幾何是實驗幾何，很難在演繹推理證明方面有所滲透。同時，在實踐階段，培養學生的演繹推理能力是重要的教學目標之一；然而對於部分初中學生而言，這部分知識又是學習中的難點。那麼，在小學高年級，能否進行演繹推進思想的滲透，從而使剛升入初中的學生的演繹推理的初步經驗呢？下面的安全也許能說明問題。
案例3：如下左圖，兩條直線相交形成4個角，你能說明∠2＝∠4嗎？
分析：此題在初中要根據“同角的補角相等”來證明對頂角相等，那麼，在小學階段，如何根據已有知識進行簡單的證明呢？我們已經知道平角等於180度，再根據等量代換等知識就可以證明。下面給出最簡單的證明：
因為∠1和∠2、∠1和∠4分別組成平角，所以∠1+∠2=180°、∠1+∠4=180°，根據加減法各部分間的關係，可得∠2=180°-∠1、∠4=180°-∠1，根據等量代換，可得∠2=∠4。
再看右上圖，在初中要證明三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和，在小學階段同樣可以類似得到證明。
2.推理思想的重要意義我國數學教育幾十年來的主要優勢或者說成果就是重視培養學生的運算能力、推理能力和空間想像能力。傳統的《數學教學大綱》比較強調邏輯推理而忽視了合情推理；而現行的《數學課程標準》又矯枉過正，過於強調合情推理，在邏輯推理能力方面有所淡化。近年來課程改革的實踐證明，二者不可偏廢。就學好數學或者培養人的智力而言，邏輯推理和合情推理都是不可或缺的。據瞭解《數學課程標準（修改稿）》在這方面有比較合理的處理，明確了推理的範圍及作用“推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們在學習生活中經常使用的思維方式。推理一般包括和清理和演繹推理。……在解決問題的過程中，合情推理有助於探索解決問題的思路，發現結論；演繹推理用於證明結論的正確性”。
數學在當今市場經濟和資訊化社會有比較廣泛的應用，人們在利用數學解決各種實際問題的過程中，雖然大量的計算和推理可以通過電腦來完成，但是救人的思維能力構成而言，推理能力仍然是至關重要的能力之一，因而培養推理能力仍然是數學教育的主要任務之一。
3.推理思想的具體應用推理思想作為數學的一個重要的思想方法，無論在小學還是在中學都有著廣泛的應用，尤其是合情推理作為數學發現的一種重要方法，在小學教學的探究學習和再創造學習中應用更為廣泛。在小學數學中雖然沒有初中類似於數學證明等嚴密規範的演繹推理，但是在很多結論的推導過程中間接的應用了演繹推理。如推導出平行四邊形的面積公式後，三角形面積公式的推導過程是先把兩個同樣的三角形拼成一個平行四邊形，再根據平行四邊形的面積公式推出三角形的面積公式。這個過程實際上是應用了演繹推理，如下：平行四邊形的面積等於底乘高，兩個同樣的三角形的面積等於平行四邊形的面積，所以兩個同樣的三角形的面積等於底乘高；因而一個三角形的面積就等於底乘高的積除以2。小學數學中推理思想的應用如下表。
思想方法
知識點
應用舉例
不 完 全 歸 納 法
找規律
找數列和圖形的規律
整數計算
四則計算法則的總結
運算定律
加法交換律a+b=b+a
加法結合律
乘法交換律
乘法結合律
乘法分配律
除法
商不變的規律
分數
分數的基本性質
面積
長方形面積公式推導
體積
長方體體積公式推導
圓柱體積公式推導
圓錐體積公式推導
完全歸納法
三角形
三角形內角和的推導
類 比 推 理
整書讀寫法
億以內及億以上數的讀寫
整數的運算
四則計算的法則：多位數加減法與兩位元數加減法相類比，多位數乘多位數與多位數乘一位元數相類比，除數是多位數的除法與除數是一位數的除法相類比。
小數的運算
整數的運算法則、順序和定律推廣到小數
分數的運算
整數的運算順序和運算定律推廣到分數
除法、分數和比
除法商不變的規律、分數的基本性質和比的基本性質進行類比
面積
與平行四邊形的面積公式推導方法相類比，三角形、梯形面積公式的推導，也用轉化的方法，把它們轉化成平行四邊形推導面積公式。
長度、面積、體積
線、面、體之間的類比：線段有長短，用長度單位來計量；平面圖形有大小，用面積單位來計量；立體圖形占的空間有大小，用體積單位來計量。
問題解決
數量關係相近的實際問題的類比，如分數實際問題與百分數實際問題的類比。
雞兔同籠
不同素材的雞兔同籠問題的類比
抽屜原理
不同素材的抽屜原理問題的類比
三 段 論
多邊形
多邊形內角和的推導
面積
正方形面積公式的推導
平行四邊形面積公式的推導
三角形面積公式的推導
梯形面積公式的推導
圓面積公式的推導
體積
正方體體積公式的推導
選言推理
類似於人教版二年級上冊數學廣角中的“猜一猜”
假言推理
根據概念、性質等進行判斷的一些問題
關係推理
大小比較、恒等變形、等量代換等等
就演繹推理和合情推理的關係及教學建議，《數學課程標準（修改稿）》指出“推理貫穿於數學教學的始終，推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程。義務教育階段要注重學生思考的條理性，不要過分強調推理的形式。……教師在教學過程中，應該設計適當的學習活動，引導學生通過觀察、嘗試、估算、歸類、類比、畫圖等活動發現一些規律，猜測某些結論，發展合情推理能力；通過實例使學生逐步意識到，結論的正確性需要演繹推理的確認，可以根據學生的年齡特徵提出不同程度的要求”。
根據以上《數學課程標準》關於推理思想的理念和要求，在小學數學教學中要注意把握以下幾點。
第一，推理是重要的思想方法之一，是數學的基本思維方式，要貫穿於數學教學的始終。在小學數學中，除了運算是數學的基本方法外，推理也是常用的數學方法。無論是低年級的找規律、總結計算法則，還是高年級的面積、體積公式的推導，無不用到推理的思想方法。因而，廣大教師要牢記推理思想從一年級就要開始滲透和應用，是一個長期的培養過程。
第二，合情推理和演繹推理二者不可偏廢。合情推理多用於根據特殊的事實去發現和總結一般性的結論，演繹推理往往用於根據已有的一般性的結論去證明和推導新的結論。二者在數學中的作用都是很重要的。
第三，推理能力的培養與四大內容領域的教學要有機的結合。推理能力的發展與各領域知識的學習是一個有機的結合過程，因而在教學過程中要給學生提供各個領域的豐富的、有挑戰性的觀察、實驗、猜想、驗證等活動，去發現結論，培養推理能力。
第四，把握好推理思想教學的層次性和差異性。推理能力的培養要結合具體知識的學習，同時要考慮學生的認知水準和接受能力。綜合現行課程標準及其修改稿關於“數學思考”分析段的目標要求，推理能力在小學段的要求可參考下表。
學段
推理能力教學目標
第一學段
初步學會選擇有用資訊進行簡單的歸納和類比
第二學段
在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚的表達自己的思考過程與結果
下面再結合案例談談幾種在小學數學中應用較多的推理思想的教學。
（1）類比思想。無論是學習新知識，還是利用已有知識解決新問題，如果能夠把新知識和新問題與已有的相類似的知識進行類比，進而找到解決問題的方法，這樣就實現了知識和方法的正遷移。因此，要引導學生在學習數學的過程中善於利用類比思想，提高解決問題的能力。有些類比比較直接，如有整數的運算定理遷移到小數、分數的運算定律，問題解決中數量關係相近的問題的類比等。而有些類比比較隱蔽，需要在分析的基礎上才能實現。如抽屜原理，變式練習有很多，難度較大，解決此類問題的關鍵就是通過類比找到抽屜。應用類比的思想方法，關鍵在於發現兩類事物相似的性質，因此，觀察與聯想是類比的基礎。另外，中學數學與小學數學教學可以類比的知識有很多，如果打好小學數學的知識基礎和掌握類比思想，對於初中數學的學習會有較大的益處。如在代數中，與整數的運算順序和運算定律相類比，可以到處有理數和整式的運算順序和運算定律；與分數的基本性質相類比，可以匯出分式也具有類似的性質，並且可以推出它和分數一樣能夠進行化簡和運算。
案例1：計算並觀察下面的算式，你能發現什麼規律？
1=12
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=
……
1+3+5+7+…+99=
分析：此題石油從開始的奇數組成的系列加法算式，每一組算式比前一組多一個後繼的奇數。通過計算並觀察每組算式的得數，1是一個奇數，等於一1的平方；（1+3）是前兩個奇數的相加，等於2的平方；（1+3+5）是前3個奇數相加，，等於3的平方；（1+3+5+7）是前4個奇數相加，通過與前面算式進行類比，猜想應該等於4的平方；（1+3+5+7）＝16。42=16，猜想正確，那麼最後的算式是前50個奇數相加等於50的平方。因此可以歸納出一般的規律：前n個奇數相加的和等於n的平方。
（2）歸納思想。不完全歸納法在小學數學的教學中應用比較廣泛。小學數學中很多去處法則、公式、定律等的推導，都是在例舉幾個特殊例子的基礎上得出的。如根據40+56＝56+40，28+37＝37+28，120+80＝80+120等幾個有限的例子，得出加法交換律。《數學課程標準》特別強調培養學生探索圖形和數的排列規律，探索規律的過程就是一個應用不完全歸納法的過程。
案例2：觀察下面的一組算式，你能發現什麼規律？
14+41＝55，34+43＝77，27+72＝99，46+64＝110，38+83＝121
分析：通過觀察版式，能夠發現這樣一些規律：所有的版式都是兩位數加兩位數，每個版式的兩個加數中的一個加數的個位和十位數互換，變成另一個加數。再進一步觀察，所算式的得數有兩位數也有三位數，它們有什麼共同的規律呢？把它們分別分解質因數發現，每個數是者11的倍數。這樣就可以大膽猜想並歸納結論：兩個互換個位數和十位數的兩位數相加，結果是11的倍數。再舉例驗證：57+75＝132＝11×12，69+96＝165＝11×15，初步驗證猜想是正確的。那麼如何進行嚴密的數學證明呢？可高任意一個兩位數是ab=(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b),從而證明了結論的正確。
（3）三段論。在人們的傳統觀念中，小學幾何是實驗幾何，很難在演繹推理證明方面有所滲透。同時，在實踐階段，培養學生的演繹推理能力是重要的教學目標之一；然而對於部分初中學生而言，這部分知識又是學習中的難點。那麼，在小學高年級，能否進行演繹推進思想的滲透，從而使剛升入初中的學生的演繹推理的初步經驗呢？下面的安全也許能說明問題。
案例3：如下左圖，兩條直線相交形成4個角，你能說明∠2＝∠4嗎？
分析：此題在初中要根據“同角的補角相等”來證明對頂角相等，那麼，在小學階段，如何根據已有知識進行簡單的證明呢？我們已經知道平角等於180度，再根據等量代換等知識就可以證明。下面給出最簡單的證明：
因為∠1和∠2、∠1和∠4分別組成平角，所以∠1+∠2=180°、∠1+∠4=180°，根據加減法各部分間的關係，可得∠2=180°-∠1、∠4=180°-∠1，根據等量代換，可得∠2=∠4。
再看右上圖，在初中要證明三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和，在小學階段同樣可以類似得到證明。