方程和函數思想的關係（摘錄）

方程、函數這兩個術語在中小學數學組十分常見，也是大多數孩子們最為頭疼的兩個詞，不止一次的問自己：這兩個到底是什麼東東，它認識我，我不認識它。

王永春（課程教材研究所）

1、方程和函數思想的概念

方程和函數是初等數學代數領域的主要內容，也是解決實際問題的重要工具，他們都可以用來描述現實世界的數量關係，而且他們之間有著密切的聯繫，因此，本文將二者放在一起進行討論。

（1）方程思想。

含有未知數的等式叫方程，判斷一個式子是不是方程，只需要同時滿足兩個條件;一個是含有未知數，另一個必須是等式。如有些小學老師經常有疑問的判斷題;x=0和x=1是不是方程？根據方程的定義，他們滿足方程的條件，都是方程。方程按照未知數的個數和未知數的最高次數，可以分為一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，

這些都是初等數學代數領域中最基本的內容。方程思想的核心是將問題中未知量用數位以外的數學符號（常用x、y等字母）表示，根據數量關係之間的相等關係構建方程模型。方程思想體現了已之與未知數的對立統一。

(2) 函數思想。

設集合ab是兩個非空數集，如果按照某種確定的對立關係f，如果對於集合a中的任意一個數x,在集合b中都有唯一確定的數y和它的對應，那麼就稱y是x的函數，記作y=f(x)。其中x叫做引數， x的取值範圍a叫做函數的定義域；y叫做函數或因變數，與x相對應的y的值叫做函數值， y的取值範圍b叫做值域。以上函數的定義是從初等數學的角度出發的，引數只有一個與之對應的函數值也是唯一的。這樣的函數研究的是兩個變數之間的關係，

一個變數的取值發生了變化，另一個變數的取值也相應發生了變化，中學裡學習的正比例函數、一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數和三角函數都是這類函數。實際現實中變數的變化而相應變化，這樣的函數是多元函數。雖然在中小學裡不學習多元函數，但只機上它是存在的，如圓柱的體積與底面半徑r和圓柱的高的關係;v=πr2 h.半徑和高有一對取值；也就是說，體積隨半徑和高的變化而變化，通過對這種變化的探究找出對應關係之間的法則，從而構建函數模型。函數思想體現了運動變化的、普遍性的觀點。

2．方程和函數的區別

從小學數學到中學數學，數與代數領域經歷了從算數到方程。

算術研究具體確定的常數以及他們之間的數量關係。方程研究確定的常數與未知的數量之間的關係。函數研究變數之間的數量關係。

方程和函數雖然都是表示數量關係的，但是他們有本質的區別。如二元一次的不定方程中的未知數往往是常量，而一次函數中的引數和因變數一定是量變，因此二者有本質的不同。方程必須有未知數，未知數是常量，而且一定用等式的形式呈現，二者缺一不可，如2x-4=6。而函數至少要有兩個變數，兩個變數依據一定的法則相對應，呈現的形式可以有解析式、圖像法和清單法等，如集合a為大小等於1、小於等於10的整數，集合b為小於20的正偶數。那麼兩個集合的數之間的對應關係可以用y=2x表示，

還可以用如下的表格表示。

人們運用方程思想，一邊關注的是通過設未知數如何找出數量之間的相等關係構建方程並求出方程的解，從而解決數學問題和實際問題。人們運用函數思想，一般更加關注數量之間的對應關係，通過構建函數模型並研究函數的一些性質來解決數學問題和實際問題。方程中的未知數往往是靜態的，而函數的變數則是動態的。方程已經有3000多年的歷史，而函數概念的產生不過才300年。

（2）方程和函數的關係。

（3）方程和函數雖然有本質的區別，但是他們同屬代數領域，也有密切的關係。如二元一次不定方程ax+by+c=0和一次函數y=kx+b，如果方程的解在實數範圍內，函數的定義域和值域都是實數，那麼方程ax+by+c=0和經過變換可轉化為y=-a/bx-c/b,它們在直角坐標系裡畫出來的圖像是一條直線。因此可以說一個一元一次方程對應一個一次函數.如果使一次函數y=kx+b，中的函數植等於0,那麼一次函數轉化為kx+b=0,這就是一元一次方程.因此,可以說求這個一元一次方程的解,實際上就是求使函數值偽的引數的值,或者說求一次函數圖像與X軸交點的橫坐標的值.

一般地,就初等數學而言,如今令函數值為0,那麼這個函數就轉化為含有一個未知數的方程;求方程的解,就是求使函數值為0的引數的值,或者說求函數圖像與X軸交點的橫坐標的值.

3.方程和函數思想的重要意義

16世紀以前,人們主要是運用算術和方程方法解決現實生活中的各種實際問題,方程與算術相比,由於未知數參與了等量關係式的夠建,更加便於人理解問題分析數量關係並夠建模型,因而方程在解決以常量為主要的實際問題中發揮了重要作用 ,到了17世紀,隨社會的發展,傳統的研究常量的算術和方程已經不能解決以研究兩個變數之間的關係為主的經濟,科技軍事等領域的重要問題,這時函數變產生了.函數為研究運動變化的數量之間的依存,對應關係和構建模型帶來了方便,從而能夠解決比較複雜的問題.

概括的說,方程和函數思想是中小學數學,尤其是中學數學的重要內容之一.方程和函數在研究和構建現實世界的數量關係模型方面,發揮著重要的不可替代的作用.

4.方程和函數思想的具體運用

小學數學在學習方程之前的問題,都通過算術方法解決,在引入方程之後,小學數學中比較複雜的有關數量關係的問題,都可以通過方程解決,方程思想是小學思想的重要思想,其中一元一次方程是小學數學的必學內容,在小學數學裡沒有學習函數的概念,但是有函數思想的滲透,與正比例函數和反比例函數最接近的正比例函數和反比例函數是小學數學的必學內容.另外,在小學數學的一些知識中也會滲透函數思想,如數與數的一一對應體現了函數思想.方程和函數是小學數學與初中數學銜接的紐帶.

小學數學中方程和函數思想的應用如下表.

思想

方法

知識點

應用舉例

方程

思想

方程

用一元一次方程解決整數和小數等各種問題

分數,百分數和比例

用一元一次方程解決分數,百分數和比例等各種問題

等量代換

二(三)元一次方程思想的滲透

雞兔同籠

用方程解決雞兔同籠問題

函數

思想

加法

一個加數不變,和隨著另一個加數的變化而變化,可表示為Y=KX.滲透正比例函數思想

積的變化規律

一個因數不變,積隨著另一個因數的變化而變化, 表示為Y=KX. 滲透正比例函數關係

商的變化規律

除數不變,商隨著被除數的變化而變化,可表示為Y=XK,滲透正比例函數思想, 被除數不變, 商隨著除數的變化而變化, 可表示為Y=XK, 滲透反比例函數思想

正比例關係

正比例關係改寫成Y=KX,就是正比例函數

反比例關係

反比例函數改寫成Y=XK,就是反比例函數

數列

等差數列,等比數列,一般數列的每一項與序號之間的對應關係,都可以看作是特殊的函數關係.

空間與圖形

長方形,正方形,平行四邊形,三角形,梯形的面積公式,長方體.,正方體,圓柱,圓錐的體積公式,圓的周長和面積公式都滲透了函數思想

統計圖表

函數的清單法與統計表都有相似之處

4方程和函數思想的教學.

方程和函數都是義務教育階段重要的數學思想方法.用方程和函數表示數量關係和變化規律,不僅體現方程和函數的思想的價值.也有助於學生形成模型思想.根據課程標準的理念,方程和函數思想的教學應關注以下幾點.

(1) 方程中的字X,Y等代表具體的未知的常數,即未知數,這是代數思想和方程思想的基礎.

(2) 正比例關係和反比例關係等函數關係中的字母X,Y等代表的是變化的量,即變數,而且這兩個量是相關聯的量,一個量的變化,另一個量也會隨著變化,這是函數思想的基礎,要讓學生體會它們的區別.

(3) 結合具體情境,通過分析數量關係來理解等量關係,並用方程表示等量關係,再通過解方程解決問題,從而認識方程的作用.

(4) 結合簡單情境,認識成正比例的量或反比例的量,通過分析數量關係和變化規律建立比例關係式,再通過解比例解決問題.

(5) 能根據給出的有正比例關係的資料在方格紙上畫圖,並根據其中一個量的值估計另一個量的值.

下面再結合案例談談方程和函數思想的教學

案例1:媽媽買了 3千克香蕉和2千克蘋果,一共花了16元.蘋果的價格是香蕉的兩倍多1元,蘋果和香蕉的單價各是多少?

分析：題目涉及的是商品的數量單價和總價的關係,

那麼方程ax+by+c=0和經過變換可轉化為y=-a/bx-c/b,它們在直角坐標系裡畫出來的圖像是一條直線。因此可以說一個一元一次方程對應一個一次函數.如果使一次函數y=kx+b，中的函數植等於0,那麼一次函數轉化為kx+b=0,這就是一元一次方程.因此,可以說求這個一元一次方程的解,實際上就是求使函數值偽的引數的值,或者說求一次函數圖像與X軸交點的橫坐標的值.