在數學的發展史上， 直角坐標系的出現給幾何的研究帶來了新的工具， 直角坐標系與幾何圖形相結合， 也就是把幾何圖形放在座標平面上， 使得幾何圖形上的每個點都可以用直角坐標系裡的座標（有序實數對）來表示， 這樣可以用代數的量化的運算的方法來研究圖形的性質， 堪稱數形結合的完美體現。
王永春（課程教材研究所）
1.數形結合思想的概念數形結合思想就是通過數和形之間的對應關係和相互轉化來解決問題的思想方法。 數學是研究實現世界的數量關係與空間形式的科學， 數和形之間是既對立又統一的關係， 在一定的條件下可以相互轉化。 這裡的數是指數、代數式、方程、函數、數量關係式等， 這裡的形式是指幾何圖形和函數圖像。 數形結合思想的核心應是代數與幾何的對立統一和完美結合， 就是要善於把握什麼時候運用代數方法解決幾何問題是最佳的、什麼時候運用幾何方法解決代數問題是最佳的。
數形結合思想可以使抽象的數學問題直觀化、使繁難的數學問題簡捷化，
數形結合思想在數學中應用大致分為兩種情形：一是借助於數的精確性、程式性和可操作性來闡明形的某些屬性， 可稱之為“以數解形”；二是借助形的幾何直觀性來闡明某些概念及數之間的關係， 可稱之為“以形助數”。 數形結合思想在中學數學的應用主要體現在以下幾個方面：（1）實數與數軸上的點的對應關係；（2）函數與圖像的對應關係；（3）曲線與方程的對應關係；（4）與幾何有關的知識， 如三角函數、向量等；（5）概率統計的圖形表示；（6）在數軸上表示不等式的解集；（7）數量關係式具有一定的幾何意義， 如s=100t。
數形結合思想在小學數學的四大領域知識的學習都有非常普遍和廣泛的應用，主要體現在以下幾個方面：一是利用“形”作為各種直觀工具幫助學生理解和掌握知識、解決問題，如從低年級借助直線認識數的順序，到高年級的畫線段圖幫助學生理解實際問題的數量關係。二是數軸及平面直角坐標系在小學的滲透，如數軸、位置、正反比例關係圖像等，使學生體會代數與幾何之間的聯繫。這方面的應用雖然比較淺顯，但這正是數形結合思想的重點所在，是中學數學的重要基礎。三是統計圖本身和幾何概念模型都是數形結合思想的體現，統計圖表把抽象的、枯燥的資料直觀地表示出來，便於分析和決策。四是用代數（算術）方法解決幾何問題。如角度、周長、面積和體積等的計算，通過計算三角形內角的度數，可以知道它是什麼樣的三角形等等。
數形結合思想的教學，應注意一些幾個問題。
第一，如何正確理解數形結合思想。數形結合中的形是數學意義上的形，是幾個圖形和圖像。有些老師往往容易把利用各種圖形作為直觀手段説明學生理解知識，與數形結合思想中的“以形助數”混淆起來，彼“形”非此“形”，小學數學中實物和圖片作為理解抽象知識的直觀手段，很多時候是生活意義上的形，並不都是數形結合思想的應用，如6+1=7，可以通過擺各種實物和幾何圖形幫助學生理解加法的算理，這裡的幾何圖片並不是數形結合的形，因為這裡並不關心幾何圖片的形狀和大小，用什麼形狀和大小的圖片都行，並沒有賦予圖片本身形狀和大小的量化的特徵，甚至不用圖片用小棒等材料也能起到相同的作用，因而它更是生活中的形。如果結合數軸（低年級往往用類似於數軸的尺子或直線）來認識數的順序和加法，那麼就把數和形（數軸）建立了——對應的關係，便於比較數的大小和進行加減法計算，這是真正的數形結合。由於在解決實際問題時，通過畫線段圖幫助學生分析數量關係是老師和學生都非常熟悉的內容。因此在案例中不再出現這方面素材。
案例1：8197; 8197;8197;++++……=
分析：此題很難用小學算術的知識直接計算，因為它有無窮多個數相加，如果是有限個數相加，用等式的性質進行恒等變換可以計算。從題中數的特點來看，每一項的分子都是1，每一項的分母都是它前一項分母的2倍，或者說第幾項的分母就是2的幾次方，第n項就是2的n次方。聯想到分數的計算可用幾何直觀圖表示，那麼現在可構造一個長度或者面積是1的線段或者正方形，不妨構造一個面積是1的正方形，如下圖所示。先取它的一半作為二分之一，再取餘下的一半的一半作為四分之一，如此取下去……當取的次數非常大時，餘下部分的面積已經非常小了，用極限的思想來看，當取的次數趨向于無窮大時，餘下部分的面積趨向於0，因而，最後取的面積就是1。也就是說，上面算式的得數是1。
第二，適當拓展數形結合思想的應用。數形結合思想中的以數解形在中學應用的較多，小學數學中常見的就是計算圖形的周長、面積和體積等內容。除此之外，還可以創新求變，在小學幾何的範圍內深入挖掘素材，在學生已有知識的基礎上適當拓展，豐富小學數學的數形結合思想。
案例2：用兩個一樣的直角三角形和一個等腰直角三角形（腰等於前兩個直角三角形的斜邊），可以拼一個直角梯形，如下圖。如果直角三角形的邊長分別是3、4、c，5、12、c，根據梯形的面積等於3個三角形的面積之和，比較每個直角三角形的兩個直角邊的平方和，與斜邊的平方之間的大小關係，你能發現什麼？如果直角三角形的邊長分別是、b、c時，你又能發現什麼？
分析：當直角三角形的邊長分別是3、4、c時，梯形的面積是：(3＋4) ×(3＋4)÷2＝24.5，3個三角形的面積和是：3×4÷2×2＋÷2＝24.5，可得＝25，即＝＋。
當直角三角形的邊長分別是5、12、c時，梯形的面積是：(5＋12) ×(5＋12) ÷2＝144.5，3個三角形的面積和是：5×12÷2×2＋÷2＝144.5，可得＝169，即＝＋。
當直角三角形的邊長分別是、、時，也就是說直角三角形的三條邊長可以取任意不同的值的時候，仍然有梯形的面積等於3個三角形面積之和。
梯形的面積是：(＋)×(＋) ÷2，
3個三角形的面積和是：×÷2×2＋÷2＝(2＋)÷2。
(＋)×(＋) ÷2
＝[ (+)+(+)] ÷2
＝(++2)÷2
所以有(++2)÷2＝(2＋)÷2，可得+＝。
根據以上計算結果，由此得出一個重大發現：直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。實際上這是美國第20任總統茄菲爾德發現的證明畢氏定理的方法。
這裡有一個難點就是(＋)×(＋)的計算，這是中學的多項式乘法。在小學學習乘法分配律時已經會計算 (＋）＝＋，那麼計算(＋)×(＋)可以先把左邊的(＋)看作一個數，分別與右邊括弧中的和相乘，再進行計算。
(＋)×(＋)＝ (+) + (+)＝+++＝++2
案例3：把兩個形狀和大小相同的長方體月餅盒包裝成一包，怎樣包裝最省包裝紙？
分析：此題是小學數學比較典型的通過探索活動發現規律的題目，一般情況下教師會給學生足夠的學具進行操作，拼出幾種包裝方法，再通過計算比較表面積的大小找到最佳答案。現在我們從代數思想出發，不用任何操作和具體數量的計算，一般性的，假設長方體的長、寬、高分別為、、，並且＞＞（只要給出三個數的大小順序便可，誰大誰小並不影響用代數方法計算的過程和結論）。
首先要明確的是，問題所求怎樣包裝最省包裝紙，實際上就是求怎樣拼才能使拼成的大長方體的表面積最小。每個長方體有6個面，兩個長方體拼成一個大長方體後仍然有6個面，但這6個面的面積是原來長方體的10個面的面積，其中有兩個面是原來長方體的面，另4個面分別是原來的相同的兩個面拼成的；也就是說，大長方體的表面積已經不是原來兩個長方體的12個面的面積直接相加的和了，而是它們的和再減去拼在一起的兩個面的面積和。原來兩個長方體的12個面的面積和是恒定不變的，因而大長方體的面積的大小，取決於減去的（拼在一起的）兩個面的面積和的大小，減去的兩個面的面積和越大，大長方體的表面積就越小。根據已知條件可知，＞＞，所以把最大的兩個側面貼在一起包裝最省包裝紙。列成公式為：S＝4(＋＋)－2。
如s=100t。數形結合思想在小學數學的四大領域知識的學習都有非常普遍和廣泛的應用，主要體現在以下幾個方面：一是利用“形”作為各種直觀工具幫助學生理解和掌握知識、解決問題，如從低年級借助直線認識數的順序，到高年級的畫線段圖幫助學生理解實際問題的數量關係。二是數軸及平面直角坐標系在小學的滲透，如數軸、位置、正反比例關係圖像等，使學生體會代數與幾何之間的聯繫。這方面的應用雖然比較淺顯，但這正是數形結合思想的重點所在，是中學數學的重要基礎。三是統計圖本身和幾何概念模型都是數形結合思想的體現，統計圖表把抽象的、枯燥的資料直觀地表示出來，便於分析和決策。四是用代數（算術）方法解決幾何問題。如角度、周長、面積和體積等的計算，通過計算三角形內角的度數，可以知道它是什麼樣的三角形等等。
數形結合思想的教學，應注意一些幾個問題。
第一，如何正確理解數形結合思想。數形結合中的形是數學意義上的形，是幾個圖形和圖像。有些老師往往容易把利用各種圖形作為直觀手段説明學生理解知識，與數形結合思想中的“以形助數”混淆起來，彼“形”非此“形”，小學數學中實物和圖片作為理解抽象知識的直觀手段，很多時候是生活意義上的形，並不都是數形結合思想的應用，如6+1=7，可以通過擺各種實物和幾何圖形幫助學生理解加法的算理，這裡的幾何圖片並不是數形結合的形，因為這裡並不關心幾何圖片的形狀和大小，用什麼形狀和大小的圖片都行，並沒有賦予圖片本身形狀和大小的量化的特徵，甚至不用圖片用小棒等材料也能起到相同的作用，因而它更是生活中的形。如果結合數軸（低年級往往用類似於數軸的尺子或直線）來認識數的順序和加法，那麼就把數和形（數軸）建立了——對應的關係，便於比較數的大小和進行加減法計算，這是真正的數形結合。由於在解決實際問題時，通過畫線段圖幫助學生分析數量關係是老師和學生都非常熟悉的內容。因此在案例中不再出現這方面素材。
案例1：8197; 8197;8197;++++……=
分析：此題很難用小學算術的知識直接計算，因為它有無窮多個數相加，如果是有限個數相加，用等式的性質進行恒等變換可以計算。從題中數的特點來看，每一項的分子都是1，每一項的分母都是它前一項分母的2倍，或者說第幾項的分母就是2的幾次方，第n項就是2的n次方。聯想到分數的計算可用幾何直觀圖表示，那麼現在可構造一個長度或者面積是1的線段或者正方形，不妨構造一個面積是1的正方形，如下圖所示。先取它的一半作為二分之一，再取餘下的一半的一半作為四分之一，如此取下去……當取的次數非常大時，餘下部分的面積已經非常小了，用極限的思想來看，當取的次數趨向于無窮大時，餘下部分的面積趨向於0，因而，最後取的面積就是1。也就是說，上面算式的得數是1。
第二，適當拓展數形結合思想的應用。數形結合思想中的以數解形在中學應用的較多，小學數學中常見的就是計算圖形的周長、面積和體積等內容。除此之外，還可以創新求變，在小學幾何的範圍內深入挖掘素材，在學生已有知識的基礎上適當拓展，豐富小學數學的數形結合思想。
案例2：用兩個一樣的直角三角形和一個等腰直角三角形（腰等於前兩個直角三角形的斜邊），可以拼一個直角梯形，如下圖。如果直角三角形的邊長分別是3、4、c，5、12、c，根據梯形的面積等於3個三角形的面積之和，比較每個直角三角形的兩個直角邊的平方和，與斜邊的平方之間的大小關係，你能發現什麼？如果直角三角形的邊長分別是、b、c時，你又能發現什麼？
分析：當直角三角形的邊長分別是3、4、c時，梯形的面積是：(3＋4) ×(3＋4)÷2＝24.5，3個三角形的面積和是：3×4÷2×2＋÷2＝24.5，可得＝25，即＝＋。
當直角三角形的邊長分別是5、12、c時，梯形的面積是：(5＋12) ×(5＋12) ÷2＝144.5，3個三角形的面積和是：5×12÷2×2＋÷2＝144.5，可得＝169，即＝＋。
當直角三角形的邊長分別是、、時，也就是說直角三角形的三條邊長可以取任意不同的值的時候，仍然有梯形的面積等於3個三角形面積之和。
梯形的面積是：(＋)×(＋) ÷2，
3個三角形的面積和是：×÷2×2＋÷2＝(2＋)÷2。
(＋)×(＋) ÷2
＝[ (+)+(+)] ÷2
＝(++2)÷2
所以有(++2)÷2＝(2＋)÷2，可得+＝。
根據以上計算結果，由此得出一個重大發現：直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。實際上這是美國第20任總統茄菲爾德發現的證明畢氏定理的方法。
這裡有一個難點就是(＋)×(＋)的計算，這是中學的多項式乘法。在小學學習乘法分配律時已經會計算 (＋）＝＋，那麼計算(＋)×(＋)可以先把左邊的(＋)看作一個數，分別與右邊括弧中的和相乘，再進行計算。
(＋)×(＋)＝ (+) + (+)＝+++＝++2
案例3：把兩個形狀和大小相同的長方體月餅盒包裝成一包，怎樣包裝最省包裝紙？
分析：此題是小學數學比較典型的通過探索活動發現規律的題目，一般情況下教師會給學生足夠的學具進行操作，拼出幾種包裝方法，再通過計算比較表面積的大小找到最佳答案。現在我們從代數思想出發，不用任何操作和具體數量的計算，一般性的，假設長方體的長、寬、高分別為、、，並且＞＞（只要給出三個數的大小順序便可，誰大誰小並不影響用代數方法計算的過程和結論）。
首先要明確的是，問題所求怎樣包裝最省包裝紙，實際上就是求怎樣拼才能使拼成的大長方體的表面積最小。每個長方體有6個面，兩個長方體拼成一個大長方體後仍然有6個面，但這6個面的面積是原來長方體的10個面的面積，其中有兩個面是原來長方體的面，另4個面分別是原來的相同的兩個面拼成的；也就是說，大長方體的表面積已經不是原來兩個長方體的12個面的面積直接相加的和了，而是它們的和再減去拼在一起的兩個面的面積和。原來兩個長方體的12個面的面積和是恒定不變的，因而大長方體的面積的大小，取決於減去的（拼在一起的）兩個面的面積和的大小，減去的兩個面的面積和越大，大長方體的表面積就越小。根據已知條件可知，＞＞，所以把最大的兩個側面貼在一起包裝最省包裝紙。列成公式為：S＝4(＋＋)－2。