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相似三角形
所謂的相似三角形,就是它們的形狀相同,但大小不一樣,然而只要其形狀相同,不論大小怎樣改變他們都相似,所以就叫做相似三角形。
三角對應相等， 三邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形。
相似三角形的判定方法有：
平行與三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交,所構成的三角形與原三角形相似，
如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等,那麼這兩個三角形相似，
如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等,並且相應的夾角相等,那麼這兩個三角形相似，
如果兩個三角形的三組對應邊的比相等,那麼這兩個三角形相似，
直角三角形相似判定定理1：斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。
直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似， 並且分成的兩個直角三角形也相似。
射影定理
相似三角形的性質
1.相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等)的比等於相似比。
2.相似三角形周長的比等於相似比。
3.相似三角形面積的比等於相似比的平方
三角形的三邊關係定理及推論：
（1）三角形三邊關係定理：三角形的兩邊之和大於第三邊。
推論：三角形的兩邊之差小於第三邊。
（2）三角形三邊關係定理及推論的作用：
①判斷三條已知線段能否組成三角形；
②當已知兩邊時， 可確定第三邊的範圍；
③證明線段不等關係。
三角形的三邊關係：
在三角形中， 任意兩邊和大於第三邊， 任意兩邊差小於第三邊。
設三角形三邊為a,b,c
則
a+b>c
a+c>b
b+c>a
a-b a-c b-c 在直角三角形中，
設a、b為直角邊，
c為斜邊。
則兩直角邊的平方和等於斜邊平方。
在等邊三角形中，
a=b=c 在等腰三角形中，
在三角形ABC的內角A、B、C所對邊分別為a、b、c的情況下，
c2=a2+b2-2abcosc 相似三角形的判定方法 由於從定義出發判斷兩個三角形是否相似，
需考慮6個元素，
即三組對應角是否分別相等，
三組對應邊是否分別成比例，
顯然比較麻煩。
所以我們曾經給出過如下幾個判定兩個三角形相似的簡單方法： （1）如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，
並且夾角相等，
那麼這兩個三角形相似； （2）如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，
那麼這兩個三角形相似； （3）如果一個三角形的兩個角和另一個三角形兩個角對應相等，
那麼這兩個三角形相似。
與三角形有關的線段 1、三角形的邊 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
頂點是A、B、C的三角形，
記作“△ABC”，
讀作“三角形ABC”。
三角形兩邊的和大於第三邊。
2、三角形的高、中線和角平分線 3、三角形的穩定性 三角形具有穩定性。
與三角形有關的角 1、三角形的內角 三角形的內角和等於180。
2、三角形的外角 三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，
叫做三角形的外角。
三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和。
三角形的一個外角大於與它不相鄰的任何一個內角。
三角形的穩定性 我們在學習三角形的知識中，
老師經常會提到的一句話就是：三角形具有穩定性。
穩定性證明 任取三角形兩條邊，
∵第三條邊不可伸縮或彎折 ，
∴兩端點距離固定 ，
∴這兩條邊的夾角固定;
∵這兩條邊是任取的 ，
∴三角形三個角都固定， 進而將三角形固定，
∴三角形有穩定性 。
任取n邊形(n≥4)兩條相鄰邊， 則兩條邊的非公共端點被不止一條邊連接
∴兩端點距離不固定 ，
∴這兩邊夾角不固定 ，
∴n邊形(n≥4)每個角都不固定， 所以n邊形(n≥4)沒有穩定性。
如果不看上面的證明過程， 我們就沒有辦法清晰的理解三角形穩定性的所有定理。
角平分線的性質及判定：
性質定理：角平分線上的點到該角兩邊的距離相等。
判定定理：到角的兩邊距離相等的點在該角的角平分線上
全等圖形、全等三角形：
1.全等圖形：能夠完全重合的兩個圖形就是全等圖形。
2.全等圖形的性質：全等多邊形的對應邊、對應角分別相等。
3.全等三角形： 三角形是特殊的多邊形，因此，全等三角形的對應邊、對應角分別相等。同樣，如果兩個三角形的邊、角分別對應相等，那麼這兩個三角形全等。
說明：全等三角形對應邊上的高，中線相等，對應角的平分線相等；全等三角形的周長，面積也都相等。
這裡要注意：（1）周長相等的兩個三角形，不一定全等；（2）面積相等的兩個三角形，也不一定全等。
全等三角形的判定：
1.一般三角形全等的判定
（1）邊邊 邊公理：三邊對應相等的兩個三角形全等（“邊邊邊”或“SSS”）。
（2）邊角公理：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等(“邊角邊”或“SAS”)。
（3）角邊角公理： 兩個角和它們的夾邊分別對應相等的兩個三角形全等(“角邊角”或“ASA”)。
（4）角角邊定理：有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(“角角邊”或“AAS”)。
2.直角三角形全等的判定
利用一般三角形全等的判定都能證明直角三角形全等．
斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(“斜邊、直角邊”或“HL”)．
注意：兩邊一對角(SSA)和三角(AAA)對應相等的兩個三角形不一定全等。
區分三角形的中位線和中線：
三角形的中位線是連結三角形兩邊中點的線段；
三角形的中線是連結一個頂點和它的對邊中點的線段。
三角形的中位線
連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
（1）三角形共有三條中位線，並且它們又重新構成一個新的三角形。
（2）要會區別三角形中線與中位線。
三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，並且等於它的一半。
三角形中位線定理的作用：
位置關係：可以證明兩條直線平行。
數量關係：可以證明線段的倍分關係。
常用結論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：
結論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。
結論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。
結論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。
結論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。
結論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。
三角形的內角和定理及推論：
三角形的內角和定理：三角形三個內角和等於180°。
推論：
（1）直角三角形的兩個銳角互餘。
（2）三角形的一個外角等於和它不相鄰的來兩個內角的和。
（3）三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。
注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。
三角形的外角：
三角形的一條邊的延長線和另一條相鄰的邊組成的角，叫做三角形的外角。
三角形的外角特徵：
①頂點在三角形的一個頂點上，如∠ACD的頂點C是△ABC的一個頂點；
②一條邊是三角形的一邊，如∠ACD的一條邊AC正好是△ABC的一條邊；
③另一條邊是三角形某條邊的延長線如∠ACD的邊CD是△ABC的BC邊的延長線。
性質：
①. 三角形的外角與它相鄰的內角互補。
②. 三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和。
③. 三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。
④. 三角形的外角和等於360°。
設三角形ABC 則三個外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。
定理：三角形的一個外角等於不相鄰的兩個內角和。
定理：三角形的三個內角和為180度。
三角形全等的證明極易出錯典型例題
2.全等圖形的性質：全等多邊形的對應邊、對應角分別相等。
3.全等三角形： 三角形是特殊的多邊形，因此，全等三角形的對應邊、對應角分別相等。同樣，如果兩個三角形的邊、角分別對應相等，那麼這兩個三角形全等。
說明：全等三角形對應邊上的高，中線相等，對應角的平分線相等；全等三角形的周長，面積也都相等。
這裡要注意：（1）周長相等的兩個三角形，不一定全等；（2）面積相等的兩個三角形，也不一定全等。
全等三角形的判定：
1.一般三角形全等的判定
（1）邊邊 邊公理：三邊對應相等的兩個三角形全等（“邊邊邊”或“SSS”）。
（2）邊角公理：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等(“邊角邊”或“SAS”)。
（3）角邊角公理： 兩個角和它們的夾邊分別對應相等的兩個三角形全等(“角邊角”或“ASA”)。
（4）角角邊定理：有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(“角角邊”或“AAS”)。
2.直角三角形全等的判定
利用一般三角形全等的判定都能證明直角三角形全等．
斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(“斜邊、直角邊”或“HL”)．
注意：兩邊一對角(SSA)和三角(AAA)對應相等的兩個三角形不一定全等。
區分三角形的中位線和中線：
三角形的中位線是連結三角形兩邊中點的線段；
三角形的中線是連結一個頂點和它的對邊中點的線段。
三角形的中位線
連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
（1）三角形共有三條中位線，並且它們又重新構成一個新的三角形。
（2）要會區別三角形中線與中位線。
三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，並且等於它的一半。
三角形中位線定理的作用：
位置關係：可以證明兩條直線平行。
數量關係：可以證明線段的倍分關係。
常用結論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：
結論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。
結論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。
結論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。
結論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。
結論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。
三角形的內角和定理及推論：
三角形的內角和定理：三角形三個內角和等於180°。
推論：
（1）直角三角形的兩個銳角互餘。
（2）三角形的一個外角等於和它不相鄰的來兩個內角的和。
（3）三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。
注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。
三角形的外角：
三角形的一條邊的延長線和另一條相鄰的邊組成的角，叫做三角形的外角。
三角形的外角特徵：
①頂點在三角形的一個頂點上，如∠ACD的頂點C是△ABC的一個頂點；
②一條邊是三角形的一邊，如∠ACD的一條邊AC正好是△ABC的一條邊；
③另一條邊是三角形某條邊的延長線如∠ACD的邊CD是△ABC的BC邊的延長線。
性質：
①. 三角形的外角與它相鄰的內角互補。
②. 三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和。
③. 三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。
④. 三角形的外角和等於360°。
設三角形ABC 則三個外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。
定理：三角形的一個外角等於不相鄰的兩個內角和。
定理：三角形的三個內角和為180度。
三角形全等的證明極易出錯典型例題