作者：伊恩·斯圖爾特， 英國瓦立克大學數學教授,因其大量優秀的數學科普作品而響譽世界。
《給年青數學人的信》是作者伊恩·斯圖爾特嘗試部分更新《一個數學家的辯白》，
第一封信 為何學數學？
親愛的梅格!
或許如你所預期， 得知你考慮攻讀數學時， 我非常高興。 不只是因為數個夏天前， 你用數星期反復閱讀《時間的皺紋》（A Wrinkle in Time）的時間並未白費， 同時也不枉我費心對你解釋超立方體和高維空間。
這個問題的答案和許多人所想的不一樣。 我所服務的大學在幾年前對校友進行調查， 發現在種種學位之中， 有數學學位的人平均收入最高。 需要提醒你的是， 雖然這是在他們成立醫學院之前的事， 但至少駁倒一項謬論：學數學的人無法擁有高收入的工作。
事實是我們每天到處都可遇到數學家， 只是很難察覺而已。 我過去的學生有的管理釀酒廠、創立他們自己的電子公司、設計汽車、編寫電腦程式和在股票市場交易期貨， 我們幾乎從未認識到銀行經理或許擁有數學學位， 發明和製造DVD和MP3播放機的人們中有很多是數學家，
我們的社會消費了大量的數學， 但一切只在幕後進行， 原因相當直接：數學屬於幕後。 當駕駛一輛汽車， 你絕對不想考慮所有那些複雜的機械方面的東西， 只想鑽進車子裡將它開走。 瞭解車子機械的基本狀況， 當然對你成為好的駕駛員有所幫助， 但絕不是一定要這樣才行的。
我有時覺得， 要改變人們對於數學的態度， 最好的方式是， 在任何用到數學的東西上貼上寫著“內含數學”的紅色標籤。 當然在每一部電腦上都會貼上一張， 又如果照字面的解釋， 我們也應該在每一位數學老師身上貼上一張。
蔬菜？
是的。 農夫只是照著他們父親和祖先流傳下來的模式耕種， 這種日子早已過去。 幾乎所有你能買到的蔬菜， 都是長期和複雜商業培植計畫的結果。 “實驗設計”數學意義上的整個主題， 在二十世紀早期被發展出來， 用來提供一個系統的方式去評估新種的植物， 遑論基因修改的較新方法。
等等， 這不是生物學嗎？
當然是生物學， 但也是數學。 基因學在生物學裡最早使用數學， 人類基因組計畫之所以成功， 不只是因為生物學家做了許多明智的工作， 也因為發展出強大的數學方法， 用以分析實驗結果， 並且從非常破碎的資料裡重建準確的基因序列。
所以，蔬菜得到一個紅色標籤。如同蔬菜，其他東西也應貼上一個紅色標籤。
你看電影嗎？你喜歡特效嗎？《星球大戰》（Star Wars）和《魔戒》（Lord of the Rings）裡面有數學？ 最早的完全電腦動畫電影《玩具總動員》（Tory Story），促成了大約二十篇數學論文的發表。“電腦繪畫”不只是使用電腦來做畫，也是讓圖畫看起來更真實的數學方法。為了做出這些效果，需要立體幾何的知識、光的數學，以及在起始和完成的影像間內插一連串平滑的動作，等等。“內插”是一個數學的想法，如果沒有許多聰明的數學，內插將不會產生作用——又一個紅色標籤！
當然還包括網際網路，完全是數學運作。目前最主要的搜尋引擎Google使用數學方法，根據矩陣代數、概率理論和網路的組合數學，去尋找最可能包含使用者所需資訊的網頁。
但網際網路的數學較這些更為基本。電話網絡依賴數學，它不像舊時，當時接線生必須手動將電話線路插入總機，而今天這些電話線必須同時傳輸數百萬個資訊。有太多人想要和朋友談話、傳真或上網，以致我們必須分享電話線、海底光纜和衛星中繼器，否則網路無法承受那麼繁忙的交通。所以每一段談話都被分解成數千個小段，只有約1%的小片段被實際傳輸，其餘的99%借著填補間隙的方式盡可能地被復原（之所以行得通，是因為取樣雖短但頻率非常高，以致你聲音的改變比取樣的間距來得慢很多）。噢！整個信號被編碼，以致任何的傳輸錯誤不僅可被檢測出來，也可重新放到正確的接收位置。
如果沒有大量的數學，現代通信系統將無法運作。編碼理論、傅立葉分析（Fourier analysis）、信號處理……
親愛的梅格，這是數學運作的方式。你問我數學家是否都隔絕在大學裡，或是否有部分數學家的工作和實際生活有關。其實你實際生活的全部，就如同一艘在數學海洋裡徜徉的小船，上下擺動。
但很少有人注意到這一點。逃避數學會讓我們感到自在，但卻貶損了數學。這真可恥，這樣一來，人們認為數學沒有用處、不必在意，數學只是智力遊戲而已，沒有真正的重要性。因此，我才想要看見那些紅色標籤。事實上，不用紅色標籤的最佳理由，是大部分的地球都將被紅色標籤所覆蓋。
你的第三個問題最為重要，也最令人哀傷。你問我是否必須放棄對美的感受以研讀數學，是否所有事情將變得只剩下數字、方程式、定理和公式。梅格，敬請寬心，我不會怪你問這個問題。可惜這是個非常普遍卻錯得離譜的想法，和真相恰好相反。
數學對我而言如下：它讓我以全新的方式知覺這個我所居住的世界，讓我對自然的定律和模式開了眼界，並提供全新的關於美的經驗。例如，當我看見彩虹，我不僅是看到一道光亮多彩的圓弧，也不僅是看到雨滴對陽光的影響，雨滴將白色日光還原為構成日光的色彩成分。我發現彩虹既美麗又啟發靈感，對彩虹不僅只是光線的折射而心存感激，這些顏色就像紅色（還有綠色和藍色）的鯡魚。彩虹的形狀和亮度需要解釋：為何是圓弧狀？ 為何光線如此之亮？
或許你尚未想過這些問題。你已經知道，當陽光受到雨滴的折射時會出現彩虹，因為陽光的每一種顏色會朝稍微不同的角度轉向，並從雨滴反射進入我們的雙眼。但事情不是如此簡單，為何數以萬計雨滴折射產生的數以萬計有色光線，不會重疊並模糊掉呢？
答案在於彩虹的幾何學。當光線在雨滴內部進行反射，雨滴的球狀形體導致光線聚焦於某一特定方向，每一滴雨滴發射出明亮的圓錐形光線，或是說每一種顏色的光形成自己的圓錐體，而每一種顏色形成之圓錐體的角度稍有不同。當我們望向彩虹，我們的眼睛只能偵測到位於特定方向的圓錐體，每一種顏色的方向在天空形成一個圓弧。所以我們看到許多同心圓，每一種顏色形成一個同心圓。你所見到的彩虹和我所見到的，是由不同的雨滴所形成。我們的眼睛位於不同的位置，所以我們偵測到由不同的雨滴所產生的不同圓錐體。
彩虹是個人經驗。
某些人認為這樣的理解會“破壞”情感的體驗，因為它會產生對美感滿足的某種壓抑，但我認為這是無聊的想法。做這樣聲明的人通常喜歡假裝自己充滿詩意，對世界奇妙事物抱持開放的態度，但事實上他們嚴重缺乏好奇心：拒絕承認世界比他們自身的有限想像來得更奇妙。自然永遠比你所想的更深邃、更豐富、更有趣，數學提供你一個非常有用的方式去欣賞自然的美。理解的能力是人類和其他動物最大的不同，我們應該珍視。許多動物都有情緒，但只有人類能理性思考。我必須要說，我對彩虹幾何學的理解，為它的美增加了新的光彩，而情感的體驗卻一點也不會因此變少。
彩虹只是一個例子。我觀察動物也和常人的角度不同，因為我注意到動物移動時對應的數學模式。當我注視一塊水晶，我留意到原子晶格和外在色彩的美麗。在波浪、沙丘、太陽起落、雨滴落在水坑濺起漣漪，甚至停在電話線上的鳥，我也都能看到數學。此外，如同望向彌漫大霧的海洋，我模糊瞭解到，這些日常奇妙的事物充滿無限的未知。
數學的內在美麗也不應該被輕視、被忽略，數學研究本身就已非常美麗優雅。數學的內在美並不是我們在學校裡使用的“加法”。雖然加法背後的一般原則自有其美麗之處，但它們大多難看又無定形。數學的內在美麗存在於：想法、普遍性、突然一閃而過的靈感，以及使用直尺和圓規嘗試三等分某個角度就等同於去證明3是一個偶數；我們無法建構一個等邊七邊形，但可建構一個等邊十七邊形；沒有方法可以解開單結；為何某些無限大比其他還大，而某些應該較大的無限大結果卻相等；等於連續平方之和（1+4+9…）的唯一平方數為4900（1除外）。
梅格，因為你有一個合乎邏輯和追根究底的心靈，你有成為優秀數學家的潛力。你不會滿意於模糊的論點，你想要看到細節並親自檢查，你不只是想知道如何讓事物運作，而且也想知道為何事物能夠運作。此外，你的來信讓我企盼，將來你能和我目前一樣，能夠看到數學的有趣和美麗——以一種獨特的看待世界的方式。
我希望，這為你研讀數學建立了所需要的背景。
-----這裡是數學思維的聚集地------
“超級數學建模”（微信號supermodeling），每天學一點小知識，輕鬆瞭解各種思維，做個好玩的理性派。50萬數學精英都在關注！
並且從非常破碎的資料裡重建準確的基因序列。所以，蔬菜得到一個紅色標籤。如同蔬菜，其他東西也應貼上一個紅色標籤。
你看電影嗎？你喜歡特效嗎？《星球大戰》（Star Wars）和《魔戒》（Lord of the Rings）裡面有數學？ 最早的完全電腦動畫電影《玩具總動員》（Tory Story），促成了大約二十篇數學論文的發表。“電腦繪畫”不只是使用電腦來做畫，也是讓圖畫看起來更真實的數學方法。為了做出這些效果，需要立體幾何的知識、光的數學，以及在起始和完成的影像間內插一連串平滑的動作，等等。“內插”是一個數學的想法，如果沒有許多聰明的數學，內插將不會產生作用——又一個紅色標籤！
當然還包括網際網路，完全是數學運作。目前最主要的搜尋引擎Google使用數學方法，根據矩陣代數、概率理論和網路的組合數學，去尋找最可能包含使用者所需資訊的網頁。
但網際網路的數學較這些更為基本。電話網絡依賴數學，它不像舊時，當時接線生必須手動將電話線路插入總機，而今天這些電話線必須同時傳輸數百萬個資訊。有太多人想要和朋友談話、傳真或上網，以致我們必須分享電話線、海底光纜和衛星中繼器，否則網路無法承受那麼繁忙的交通。所以每一段談話都被分解成數千個小段，只有約1%的小片段被實際傳輸，其餘的99%借著填補間隙的方式盡可能地被復原（之所以行得通，是因為取樣雖短但頻率非常高，以致你聲音的改變比取樣的間距來得慢很多）。噢！整個信號被編碼，以致任何的傳輸錯誤不僅可被檢測出來，也可重新放到正確的接收位置。
如果沒有大量的數學，現代通信系統將無法運作。編碼理論、傅立葉分析（Fourier analysis）、信號處理……
親愛的梅格，這是數學運作的方式。你問我數學家是否都隔絕在大學裡，或是否有部分數學家的工作和實際生活有關。其實你實際生活的全部，就如同一艘在數學海洋裡徜徉的小船，上下擺動。
但很少有人注意到這一點。逃避數學會讓我們感到自在，但卻貶損了數學。這真可恥，這樣一來，人們認為數學沒有用處、不必在意，數學只是智力遊戲而已，沒有真正的重要性。因此，我才想要看見那些紅色標籤。事實上，不用紅色標籤的最佳理由，是大部分的地球都將被紅色標籤所覆蓋。
你的第三個問題最為重要，也最令人哀傷。你問我是否必須放棄對美的感受以研讀數學，是否所有事情將變得只剩下數字、方程式、定理和公式。梅格，敬請寬心，我不會怪你問這個問題。可惜這是個非常普遍卻錯得離譜的想法，和真相恰好相反。
數學對我而言如下：它讓我以全新的方式知覺這個我所居住的世界，讓我對自然的定律和模式開了眼界，並提供全新的關於美的經驗。例如，當我看見彩虹，我不僅是看到一道光亮多彩的圓弧，也不僅是看到雨滴對陽光的影響，雨滴將白色日光還原為構成日光的色彩成分。我發現彩虹既美麗又啟發靈感，對彩虹不僅只是光線的折射而心存感激，這些顏色就像紅色（還有綠色和藍色）的鯡魚。彩虹的形狀和亮度需要解釋：為何是圓弧狀？ 為何光線如此之亮？
或許你尚未想過這些問題。你已經知道，當陽光受到雨滴的折射時會出現彩虹，因為陽光的每一種顏色會朝稍微不同的角度轉向，並從雨滴反射進入我們的雙眼。但事情不是如此簡單，為何數以萬計雨滴折射產生的數以萬計有色光線，不會重疊並模糊掉呢？
答案在於彩虹的幾何學。當光線在雨滴內部進行反射，雨滴的球狀形體導致光線聚焦於某一特定方向，每一滴雨滴發射出明亮的圓錐形光線，或是說每一種顏色的光形成自己的圓錐體，而每一種顏色形成之圓錐體的角度稍有不同。當我們望向彩虹，我們的眼睛只能偵測到位於特定方向的圓錐體，每一種顏色的方向在天空形成一個圓弧。所以我們看到許多同心圓，每一種顏色形成一個同心圓。你所見到的彩虹和我所見到的，是由不同的雨滴所形成。我們的眼睛位於不同的位置，所以我們偵測到由不同的雨滴所產生的不同圓錐體。
彩虹是個人經驗。
某些人認為這樣的理解會“破壞”情感的體驗，因為它會產生對美感滿足的某種壓抑，但我認為這是無聊的想法。做這樣聲明的人通常喜歡假裝自己充滿詩意，對世界奇妙事物抱持開放的態度，但事實上他們嚴重缺乏好奇心：拒絕承認世界比他們自身的有限想像來得更奇妙。自然永遠比你所想的更深邃、更豐富、更有趣，數學提供你一個非常有用的方式去欣賞自然的美。理解的能力是人類和其他動物最大的不同，我們應該珍視。許多動物都有情緒，但只有人類能理性思考。我必須要說，我對彩虹幾何學的理解，為它的美增加了新的光彩，而情感的體驗卻一點也不會因此變少。
彩虹只是一個例子。我觀察動物也和常人的角度不同，因為我注意到動物移動時對應的數學模式。當我注視一塊水晶，我留意到原子晶格和外在色彩的美麗。在波浪、沙丘、太陽起落、雨滴落在水坑濺起漣漪，甚至停在電話線上的鳥，我也都能看到數學。此外，如同望向彌漫大霧的海洋，我模糊瞭解到，這些日常奇妙的事物充滿無限的未知。
數學的內在美麗也不應該被輕視、被忽略，數學研究本身就已非常美麗優雅。數學的內在美並不是我們在學校裡使用的“加法”。雖然加法背後的一般原則自有其美麗之處，但它們大多難看又無定形。數學的內在美麗存在於：想法、普遍性、突然一閃而過的靈感，以及使用直尺和圓規嘗試三等分某個角度就等同於去證明3是一個偶數；我們無法建構一個等邊七邊形，但可建構一個等邊十七邊形；沒有方法可以解開單結；為何某些無限大比其他還大，而某些應該較大的無限大結果卻相等；等於連續平方之和（1+4+9…）的唯一平方數為4900（1除外）。
梅格，因為你有一個合乎邏輯和追根究底的心靈，你有成為優秀數學家的潛力。你不會滿意於模糊的論點，你想要看到細節並親自檢查，你不只是想知道如何讓事物運作，而且也想知道為何事物能夠運作。此外，你的來信讓我企盼，將來你能和我目前一樣，能夠看到數學的有趣和美麗——以一種獨特的看待世界的方式。
我希望，這為你研讀數學建立了所需要的背景。
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