有人質疑打擊率的作用， 但正如C. Trent Rosecrans所說， “儘管如此， 打擊率相較於其他統計資料而言確實是有歷史和背景意義。 我們都知道AVG為0.300打者的水準怎麼樣， 我們也知道AVG為0.200打者有多糟， 以及AVG為0.400打者有多棒。 ”
在美國職業棒球大聯盟(MLB)中， 春季訓練是在常規賽季開始之前的一系列練習和表演賽。
我會嘗試解決以下兩個問題：
如何解讀2018年春季訓練中的打擊率
怎麼比較兩名球員的打擊率
在進入代碼內容之前， 我會簡要介紹一下Rasmus Bååth在他的視頻中所講的內容。
首先， 我們需要三樣東西來完成貝葉斯分析。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
mu, sigma = 0, 0.1 # mean and standard deviation
s = np.random.normal(mu, sigma, 1000)
plt.hist(s)
就貝葉斯分析而言， 我們會逆向生成模型並嘗試用觀測資料推斷參數。
接著， 我們選擇一個感興趣的球員， 並對其統計資料進行分析。
紐約大都會隊春季訓練的統計頁面
在我們的例子裡，AVG是成功的概率，AB是試驗次數，H是成功次數。
先記住這些術語，然後我們來 定義逆向生成模型 。
我們將從定義的均勻分佈中隨機選取一個概率值，並將此概率用作生成模型的參數。假設我們隨機挑選的概率值為0.230，這意味著在二項分佈中成功的概率為23％。
試驗次數為1（DS有1個AB），如果生成模型的結果與我們觀察到的結果相匹配（DS有1個H），那麼概率值為0.230保持不變。如果我們重複這個過程並進行過濾，最終將得到一個概率分佈，由它所得到的結果與我們觀察到的結果相同。
這就是後驗概率。
可信區間：根據觀察資料，AVG的真實值落在可信區間內的概率為95％。
置信區間：當我們用這類資料計算置信區間時，有95%的置信區間會包含AVG的真實值。
注意兩者的區別，可信區間是在給定固定邊界情況下對參數值的概率描述，置信區間是在給定固定參數值情況下的邊界概率。
在現實生活中，我們想知道的是真實的參數而不是邊界，因此，貝葉斯可信區間是更合適的選擇。在這種情況下，我們只對球員的真實AVG感興趣。
有了上面的後驗分佈，我有95%的把握斷定DS真正的AVG將在0.155到0.987之間。但這個範圍太大了。換句話說，在沒有先驗知識並且在只觀察了一次試驗的情況下，我不太確定DS的真實AVG是多少。
場景二
對於第二個場景，我們假設知道上一年的春季訓練的統計資料。
dominic_smith_spring.iloc[-2:]
posterior(ds_n_trials, ds_k_success, prior_i)
和在場景一中使用均勻分佈的先驗假設得到的後驗結果相比，這裡95%的分位元數區域已經被縮小了。現在我有95%的把握斷定DS的AVG會在0.095到0.340之間。
posterior(ds_n_trials, ds_k_success, prior_i_02)
現在我有95%的把握斷定DS的真正AVG將在0.146到0.258之間。雖然範圍不是很精確，但與場景一和場景二相比，場景三的可信區間要窄得多。
如果我們用Pymc3中的plot_posterior函數繪製DS_AVG、GC_AVG和DvG (DS_AVG - GC_AVG)的後驗分佈，我們可以看到圖中出現的術語是HPD而不是分位數（quantile）。
最大後驗密度（Highest Posterior Density，HPD）區間是我們可以對後驗密度函數使用的另一種可信區間。HPD區間會選擇包括眾數在內的最大後驗概率密度值所在的最窄區間。
在Rasmus Bååth的另一篇文章中，比較了分位元數區間和最高密度區間，並提供了簡單明晰的對比圖。以下是六種不同後驗分佈中的眾數和覆蓋了95%的概率密度的最高密度區間。
文章連結：
http://www.sumsar.net/blog/2014/10/probable-points-and-credible-intervals-part-one/
可能的點和可信區間，第1部分：圖形總結
分位元數區間包含中位數，中位數落在區間左側的概率是50%，落在右側的概率也是50%，同時以95%的可信區間為例，落在區間任意一側的概率是2.5%。
可能的點和可信區間，第1部分:圖形總結
就DS和GC的AVG來看，它們的眾數和中位數看起來並沒有多大區別，若實際情況確實如此，兩位選手AVG的HPD區間和分位數區間應該也大致相同。讓我們看看它們到底長什麼樣。
pm.summary(trace)
紐約大都會隊春季訓練的統計頁面
在我們的例子裡，AVG是成功的概率，AB是試驗次數，H是成功次數。
先記住這些術語，然後我們來 定義逆向生成模型 。
我們將從定義的均勻分佈中隨機選取一個概率值，並將此概率用作生成模型的參數。假設我們隨機挑選的概率值為0.230，這意味著在二項分佈中成功的概率為23％。
試驗次數為1（DS有1個AB），如果生成模型的結果與我們觀察到的結果相匹配（DS有1個H），那麼概率值為0.230保持不變。如果我們重複這個過程並進行過濾，最終將得到一個概率分佈，由它所得到的結果與我們觀察到的結果相同。
這就是後驗概率。
可信區間：根據觀察資料，AVG的真實值落在可信區間內的概率為95％。
置信區間：當我們用這類資料計算置信區間時，有95%的置信區間會包含AVG的真實值。
注意兩者的區別，可信區間是在給定固定邊界情況下對參數值的概率描述，置信區間是在給定固定參數值情況下的邊界概率。
在現實生活中，我們想知道的是真實的參數而不是邊界，因此，貝葉斯可信區間是更合適的選擇。在這種情況下，我們只對球員的真實AVG感興趣。
有了上面的後驗分佈，我有95%的把握斷定DS真正的AVG將在0.155到0.987之間。但這個範圍太大了。換句話說，在沒有先驗知識並且在只觀察了一次試驗的情況下，我不太確定DS的真實AVG是多少。
場景二
對於第二個場景，我們假設知道上一年的春季訓練的統計資料。
dominic_smith_spring.iloc[-2:]
posterior(ds_n_trials, ds_k_success, prior_i)
和在場景一中使用均勻分佈的先驗假設得到的後驗結果相比，這裡95%的分位元數區域已經被縮小了。現在我有95%的把握斷定DS的AVG會在0.095到0.340之間。
posterior(ds_n_trials, ds_k_success, prior_i_02)
現在我有95%的把握斷定DS的真正AVG將在0.146到0.258之間。雖然範圍不是很精確，但與場景一和場景二相比，場景三的可信區間要窄得多。
如果我們用Pymc3中的plot_posterior函數繪製DS_AVG、GC_AVG和DvG (DS_AVG - GC_AVG)的後驗分佈，我們可以看到圖中出現的術語是HPD而不是分位數（quantile）。
最大後驗密度（Highest Posterior Density，HPD）區間是我們可以對後驗密度函數使用的另一種可信區間。HPD區間會選擇包括眾數在內的最大後驗概率密度值所在的最窄區間。
在Rasmus Bååth的另一篇文章中，比較了分位元數區間和最高密度區間，並提供了簡單明晰的對比圖。以下是六種不同後驗分佈中的眾數和覆蓋了95%的概率密度的最高密度區間。
文章連結：
http://www.sumsar.net/blog/2014/10/probable-points-and-credible-intervals-part-one/
可能的點和可信區間，第1部分：圖形總結
分位元數區間包含中位數，中位數落在區間左側的概率是50%，落在右側的概率也是50%，同時以95%的可信區間為例，落在區間任意一側的概率是2.5%。
可能的點和可信區間，第1部分:圖形總結
就DS和GC的AVG來看，它們的眾數和中位數看起來並沒有多大區別，若實際情況確實如此，兩位選手AVG的HPD區間和分位數區間應該也大致相同。讓我們看看它們到底長什麼樣。
pm.summary(trace)