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一位傑出的數學家運用物理學中的概念研究了困惑人們數千年的數學問題， 並取得了進展。
數學裡面充滿了超自然的數的系統， 其中大部分人從來沒有聽說過， 甚至理解起來有困難。 但是有理數是家喻戶曉的， 它們是自然數和分數——這些有理數你從小學就知道了。 但是對於數學家來說， 最簡單的問題往往最難理解。 它們簡單的就像一堵抗風牆， 沒有裂縫、突出物或者明顯你可以抓住的某些東西。
牛津大學的一位叫金明迥的數學家， 對於尋找哪些有理數可以解特定類型的方程特別感興趣。 幾千年來無數數論學家挑戰過這個問題。 他們在解決問題方面進展甚微。 當一個問題研究了很久卻沒答案， 我們很自然的就認為唯一的出路就是有一個人能提出新的想法。 這個人就是金明迥。
“即使我們已經研究了3000年， 但研究這些問題依然沒有太多的技術手段。 所以任何人無論何時提出一個可靠的新方法去解決它都是一個大的進展， 這就是金明迥所做的。 ”威斯康辛大學的數學家喬丹·艾倫伯格（Jordan Ellenberg）評論道。
在過去的十年間， 金明迥想出了一個非常新穎的方法----在看似無規律的有理數域尋找模式。
如果這樣的聯繫讓你覺得像天方夜譚， 那就對了， 因為一些數學家也甚至和你有相同想法。 由於這個原因， 金炯明長期以來沒有吐露這個想法。 “我將它藏了起來， 因為一直以來我多少會因為物理聯繫而不安， ”他說。 “數論學者是一群相當嚴謹刻板的人， 物理的因素的加入有時使他們更加懷疑我做的數學。 ”
但是現在金明迥說他已經打算向世人表達他的想法。
他最近已經舉辦了一場學術會議， 邀請了數論學家和絃論學家。 他也為還沒有習慣於通過直接類比物理世界來思考數論問題的數學界寫一篇文章去描述他的想法。
至今仍有一個絆腳石——數學和物理類比的最後一部分， 金明迥仍需要繼續攻克下去。 他希望邀請更多的人去參與他的研究， 特別是物理學家， 他需要物理學家的説明去完善它。
一個古老的挑戰
方程的有理解深深地吸引著人們。 找到方程的有理解， 就像拼圖塊完美地落實到對應的位置那樣令人滿足。
有理數包含整數和任何可以表示為兩個互素的整數之比的數。 例如1， -4以及99/100.數學家對丟番圖方程（Diophantine equation）——整係數多項式方程的有理數解特別感興趣。 就像x²+y²=1。 西元3世紀， 生活在古希臘亞歷山大城的丟番圖就研究了很多這樣的方程。
有理解很難用全面的方法所找到， 因為他們不遵循任何幾何模式。 考慮方程x²+y²=1。 它的實數解是一個圓， 拿走在這個圓上的所有不能表示為分數的點， 所留下的就是有理解， 而這樣的解不會形成一個規則的形狀。 有理解是隨機分佈在圓周上的。
“具有有理座標點的條件根本不是幾何條件。 你無法知道如果一些有理點滿足某方程，它必須滿足寫什麼條件”金明迥說。
有的方程，通常容易找到某個單一的有理解，甚至許多有理解。但對於不喜歡鬆散結果的數學家來說，他們對研究所有的有理解更有興趣。這樣問題就會難很多了。事實上，甚至是關於有理數最直白的結果，足以讓你在數學圈出人頭地。如同在1986年，一個名叫法爾廷斯(Gerd Faltings)的數學家榮獲了數學最高榮譽的菲爾茲獎，他就是解決了一個叫莫德爾猜想(Mordell conjecture)）的問題，證明了一族特定的丟番圖方程僅有有限多的有理解（而不是無限多解）。
法爾廷斯的證明在數論中是一個具有舉足輕重的結果。但這也是數學家所說的“無用的證明”，事實上這意味著它沒有精確計算出有理解的數量，更不用說找出它們了。從那以後，數學家開始尋找解決下一步的方法。有理點看起來就像一個方程的普通圖像上的隨機點。如果他們改變他們所研究問題的條件，數學家們希望這些點將看起來像一個星座一樣，他們能以一些精確的方式去描述。但問題是，在已知的數學領域並沒有給出這樣的條件。
“為了得到關於有理解的有效結果，人們當然會認為，解決這個問題需要一個全新的想法。”艾倫伯格說。
目前，關於新想法是什麼樣，有兩個主要研究。一個來自于日本數學家望月新一，2012年，他在京都大學的教職員網頁上發表了數百頁複雜又新奇的數學成果。五年後，他的論文依然是高深莫測的。而另一個新想法就來自于金明迥。他試圖在擴張的數論空間中思考有理數，在這其中隱藏的模式開始出現。
一個對稱解
數學家通常說研究物件的對稱性越好，就越容易研究。鑒於此，他們希望將丟番圖方程的研究置於比問題本身產生的空間更對稱空間中。如果他們能這樣做，他們可以利用新的相關對稱性去追蹤他們所尋找的有理點。
為了見識一下對稱性如何幫助數學家解決問題，畫一個圓。可能你的目標是定義在圓上的所有點。對稱性是一個有用的工具因為它創建了一個映射，可以讓你從已知點的性質推出未知點的性質。
想像一下，你已經在下半圓找到了所有的有理點。因為圓是反射對稱的，你可以水準直徑為對稱軸翻轉下半圓的有理點(改變所有y座標的符號)，於是一下子你就可以得到在上半圓的所有有理點。事實上，一個圓擁有豐富的對稱性，即使知道一個單點的位置，結合對稱知識，如果你需要找圓上的所有有理點，只要圍繞原點無限旋轉對稱就可以得到。
但是如果你處理的幾何物件有著高度無規律性，就像一個隨機遊走路徑，你將需要努力去分別獨立找出每一個點——這兒沒有對稱關係幫助你去將已知點映射到未知點。
數的集合也可以擁有對稱性。集合的對稱性越多，就越容易去理解——你可以應用對稱性去發現未知的值。具有特定類型對稱關係的數聚在一起形成一個“群”，數學家可以使用群的性質去理解包含在其中的所有的數。
一個方程的有理解集合不具有任何對稱性也不形成一個群。從而使數學家們不可能一次性就發現所有的解。
從二十世紀40年代開始，數學家們開始探索一種方法去將丟番圖方程的解放到一個擁有更多對稱性的空間中去找。數學家沙博蒂(Claude Chabauty)發現在他構建的更大的幾何空間的內部（通過一個被稱為p進數（p- adic numbers）的擴張的全域），有理數形成了自己的對稱子空間。他開始用這樣的子空間與丟番圖方程的圖像聯繫起來。兩個空間相交的點就是方程的有理解。
在二十世紀80年代，數學家科爾曼(Robert Coleman)對 沙博蒂的結果進行了改進。 在那之後的幾十年裡，科爾曼-沙博蒂方法成為數學家尋找丟番圖方程有理解最有效的工具。但只有當方程的圖像與更大的空間大小成比例時，它才起作用。當不成比例時，那麼就很難精確找出方程曲線與有理數相交的點。
“如果你有一條曲線在空間內，而且有太多有理點，這些有理點集糾結在一起，你就很難區分哪些有理點在曲線上。”一位在加州大學聖地牙哥分校名叫凱德拉亞（Kiran Kedlaya）的數學家說。
於是，金明迥開始著手起這個問題了。為了在沙博蒂的基礎上取得更進一步的成果，他希望去尋找一個甚至更大的空間去思考丟番圖方程——一個有更多有理點分佈的空間，於是他就可以研究更多不同種類丟番圖方程的相交點。
空間的空間
如果你在尋找一個更大的空間，以及在思考如何沿著對稱這條線索來尋找答案，借助於物理辦法是個好的選擇。
一般來說，在數學的意義上，一個空間是一個擁有幾何或拓撲結構的點集。隨意分散的一千個點不會形成空間，因為沒有任何結構將他們聯繫在一起。但是對於一個球，由特殊的連續分佈的點構成，它是一個空間。同樣的環面、二維平面、或者我們生活中四維時空也是一個空間。
除了這些空間外，存在更多的風格迥異的空間，你可以把它看成“空間的空間”。舉一個非常簡單的例子，想像你有一個三角形——這是一個空間，那麼繼續想像所有可能的三角形，它們組成一個空間。在這個更大空間內的每一點代表一個特定的三角形，由它所表示的三角形的角的頂點的座標。
這樣的想法在物理中非常有用。在廣義相對論的框架下，時間和空間不斷演變，物理學家把每個時空看作是所有時空所組成的空間中的一個點。空間的空間在規範場論這個物理領域中出現過，這與物理學家在物理空間之上建立的場有關。這些場描述了你在空間中運動時，這些力如何起作用，如同你看到的電磁力和重力一樣。你可以想像，在空間的每一個點上，這些場的構造都略有不同——而且所有這些不同的構造聚在一起形成了更高維度的“所有場的空間”中的點。
這個物理學中場的空間與金明迥在數論中提出的觀點類似。為了便於理解，我們考慮一束光。物理學家想像光穿過高維的場空間。在這個空間中，光線將遵循“最小作用量原理”的路徑——也就是從A到B所需最短時間的路徑。這個原理解釋了為什麼當光從一個介質到另一種介質會彎曲——彎曲的路徑花費的時間最少。
物理學中出現的這些更大的空間的空間具有額外的對稱性，這些對稱性並不存在于它們所代表的任何空間中。通過對稱性可以找出特殊點，例如強調的時間最短路徑。在另一種情況下以另一種方式構建，這些相同類型的對稱可能會注重其他類型的點——如對應于方程的有理解的點。
理學中出現的這些更大的空間空間具有額外的對稱性，這些對稱性並不存在
對稱性與物理之間的糾纏
數論沒有粒子可以追蹤，但是數論多少有點像時空，為此它也提供了一種尋找所有可能的路徑方法和構建對所有可能路徑的空間。從這種基本的對應中，金明迥提出了一種方案：尋找光的軌道以及探尋丟番圖方程的有理解是同一個問題的兩個方面.正如他在德國海德堡舉行的數學物理會議上解釋的那樣。
丟番圖方程的解形成空間是由方程定義的曲線。這些曲線可以像圓一樣是一維的（一維流形），或者他們可以是更高維的空間。例如，如果你試圖尋找丟番圖方程———x^4+y^4=1的複解，你就得到了一個三孔環面。在這個環面上的有理解缺乏幾何結構，這樣就很難去找到他們，但是它們可以被做成對應於具有結構的空間的更高維空間中的點。
金明迥通過考慮可以在環面上繪製環的方式（或等式定義的任何空間）來構造空間的高維空間。繪製環的過程如下：首先，選擇一個基點，然後從該點繪製一個環到任何其他點，然後再返回。重複這個過程，畫出連接基點和圓環面上其他點的路徑。最後，你會有一個所有可能的環，他的起始點和結束點都在基點。這種環的集合是數學中一個重要的中心物件，它被稱為空間的基本群。
你可以使用在環面上的任何點作為你的基點。每一個點將有一個獨一無二錯綜複雜的路徑。每一個這些路徑的集合可以被表示為一個點在一個更高維的“路徑集合的空間”（就像所有的可能的三角形的空間）。這個空間的幾何上非常類似於物理學家在規範場理論中構造的“空間空間”。當從一個點移動到環面上另一個點時，路徑集合的變化非常類似於在實際空間中從一個點移動到另一個點時場變化的方式。
空間的空間具有額外的對稱性，不表現於環面本身。雖然環面上的有理點之間沒有對稱性，但如果你進入所有路徑集合的空間，就可以找到與有理點相關的點之間的對稱性。這樣你可以得到之前所看不見的對稱性。
“我時常用到的一個短語是這些路徑中有一種“隱藏的算術對稱性”，高度類似於規範場論中內在的對稱性”金明迥說。
就像沙博蒂所說的那樣，金明迥通過考慮在他所構造的更大的空間結構中交叉的點去尋找有理解，同時運用這個空間中的對稱性去限制空間中的交叉點。他希望建立一個方程去精確的找到這些點。
在物理環境中，你可以想像光線可能會採取的所有可能的路徑。這是你“所有路徑的空間”。在這樣的空間中，引起物理學家興趣的是與時間最小化路徑相對應的點。金明迥認為尋找有理點的過程與錯綜複雜的路徑對應的點具有同樣的性質——也就是說，當你開始思考丟番圖方程的幾何形式時，這些點將最小化某些性質。只是他還沒有找出這種性質是什麼。
“我開始尋找的東西是一個在數學環境中的最小作用量原理，他在郵件中寫道。“我還是不太清楚，但我有信心，它就在那裡，我能找到它。”
一個不確定的未來
在過去的幾個月 ，我對幾位數學家描述了金明迥由物理所啟發的想法，他們都仰慕金明迥對數論的貢獻。然而，當把金明迥遇到的困難傳達給他們時，他們並不知道該如何下手。
“作為一個具有代表性的數論學家，如果你向我展示了金明迥一直在做的所有的這些“恐怖”的事情，並問我是否受到靈感啟發，我會說'你到底在說什麼鬼話？'”艾倫伯格如是說。
至今，金明迥並沒有在他的論文中提及物理學。取而代之的是，他把他的目標稱為Selmer簇,他考慮Selmer簇在所有Selmer簇空間中的關係。這些對於數論學者來說是可識別的術語。但是對於金明迥來說他們一直是物理學中某些物體的另一個名稱。
“利用物理學中的思想去解決數論中的問題是有可能的，但是我還沒有想好如何建立起這樣的框架，”金明迥說，“我們在一個關鍵點上，對物理的理解足夠成熟，以及有足夠多的數論學者對這個問題感興趣，所以接下來我們需要進一步推進。”
阻礙推進金明迥的方法一個困難在於在所有錯綜複雜的圈所組成的空間中尋找一些最小作用量的類型。在物理世界中，這樣的觀念十分自然，但是在算術中並不那麼顯然。甚至是對金明迥的工作瞭解最深的數學家，也非常關心他是否會找到它。
“我認為金明迥的工作將會給我們帶來許多有價值的東西。我不認為我們要像金明迥想要的那樣清晰的理解有理解所在的地方是某種算術規範場理論（arithmetic gauge theory）的經典解”哈佛大學數學物理教授阿爾納夫·特裡帕蒂說。
今天，物理學的語言幾乎完全在數論的實踐之外。金明迥認為這種情況肯定會改變。40年以前，物理和幾何、拓撲的研究幾乎都是獨立。但在20世紀80年代，屈指可數的幾位數學家和物理學家建立了有效的方法，該方法運用物理去研究形狀的性質，現在這些學者都是領軍人物了，而且該領域從未停止向前。
“如今不瞭解物理學幾乎不可能對幾何學和拓撲學感興趣。我有理由確信在數論上也會有這種情況發生”在接下來的15年，金明迥說，“這樣的聯繫將變得十分自然。”
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“具有有理座標點的條件根本不是幾何條件。 你無法知道如果一些有理點滿足某方程，它必須滿足寫什麼條件”金明迥說。
有的方程，通常容易找到某個單一的有理解，甚至許多有理解。但對於不喜歡鬆散結果的數學家來說，他們對研究所有的有理解更有興趣。這樣問題就會難很多了。事實上，甚至是關於有理數最直白的結果，足以讓你在數學圈出人頭地。如同在1986年，一個名叫法爾廷斯(Gerd Faltings)的數學家榮獲了數學最高榮譽的菲爾茲獎，他就是解決了一個叫莫德爾猜想(Mordell conjecture)）的問題，證明了一族特定的丟番圖方程僅有有限多的有理解（而不是無限多解）。
法爾廷斯的證明在數論中是一個具有舉足輕重的結果。但這也是數學家所說的“無用的證明”，事實上這意味著它沒有精確計算出有理解的數量，更不用說找出它們了。從那以後，數學家開始尋找解決下一步的方法。有理點看起來就像一個方程的普通圖像上的隨機點。如果他們改變他們所研究問題的條件，數學家們希望這些點將看起來像一個星座一樣，他們能以一些精確的方式去描述。但問題是，在已知的數學領域並沒有給出這樣的條件。
“為了得到關於有理解的有效結果，人們當然會認為，解決這個問題需要一個全新的想法。”艾倫伯格說。
目前，關於新想法是什麼樣，有兩個主要研究。一個來自于日本數學家望月新一，2012年，他在京都大學的教職員網頁上發表了數百頁複雜又新奇的數學成果。五年後，他的論文依然是高深莫測的。而另一個新想法就來自于金明迥。他試圖在擴張的數論空間中思考有理數，在這其中隱藏的模式開始出現。
一個對稱解
數學家通常說研究物件的對稱性越好，就越容易研究。鑒於此，他們希望將丟番圖方程的研究置於比問題本身產生的空間更對稱空間中。如果他們能這樣做，他們可以利用新的相關對稱性去追蹤他們所尋找的有理點。
為了見識一下對稱性如何幫助數學家解決問題，畫一個圓。可能你的目標是定義在圓上的所有點。對稱性是一個有用的工具因為它創建了一個映射，可以讓你從已知點的性質推出未知點的性質。
想像一下，你已經在下半圓找到了所有的有理點。因為圓是反射對稱的，你可以水準直徑為對稱軸翻轉下半圓的有理點(改變所有y座標的符號)，於是一下子你就可以得到在上半圓的所有有理點。事實上，一個圓擁有豐富的對稱性，即使知道一個單點的位置，結合對稱知識，如果你需要找圓上的所有有理點，只要圍繞原點無限旋轉對稱就可以得到。
但是如果你處理的幾何物件有著高度無規律性，就像一個隨機遊走路徑，你將需要努力去分別獨立找出每一個點——這兒沒有對稱關係幫助你去將已知點映射到未知點。
數的集合也可以擁有對稱性。集合的對稱性越多，就越容易去理解——你可以應用對稱性去發現未知的值。具有特定類型對稱關係的數聚在一起形成一個“群”，數學家可以使用群的性質去理解包含在其中的所有的數。
一個方程的有理解集合不具有任何對稱性也不形成一個群。從而使數學家們不可能一次性就發現所有的解。
從二十世紀40年代開始，數學家們開始探索一種方法去將丟番圖方程的解放到一個擁有更多對稱性的空間中去找。數學家沙博蒂(Claude Chabauty)發現在他構建的更大的幾何空間的內部（通過一個被稱為p進數（p- adic numbers）的擴張的全域），有理數形成了自己的對稱子空間。他開始用這樣的子空間與丟番圖方程的圖像聯繫起來。兩個空間相交的點就是方程的有理解。
在二十世紀80年代，數學家科爾曼(Robert Coleman)對 沙博蒂的結果進行了改進。 在那之後的幾十年裡，科爾曼-沙博蒂方法成為數學家尋找丟番圖方程有理解最有效的工具。但只有當方程的圖像與更大的空間大小成比例時，它才起作用。當不成比例時，那麼就很難精確找出方程曲線與有理數相交的點。
“如果你有一條曲線在空間內，而且有太多有理點，這些有理點集糾結在一起，你就很難區分哪些有理點在曲線上。”一位在加州大學聖地牙哥分校名叫凱德拉亞（Kiran Kedlaya）的數學家說。
於是，金明迥開始著手起這個問題了。為了在沙博蒂的基礎上取得更進一步的成果，他希望去尋找一個甚至更大的空間去思考丟番圖方程——一個有更多有理點分佈的空間，於是他就可以研究更多不同種類丟番圖方程的相交點。
空間的空間
如果你在尋找一個更大的空間，以及在思考如何沿著對稱這條線索來尋找答案，借助於物理辦法是個好的選擇。
一般來說，在數學的意義上，一個空間是一個擁有幾何或拓撲結構的點集。隨意分散的一千個點不會形成空間，因為沒有任何結構將他們聯繫在一起。但是對於一個球，由特殊的連續分佈的點構成，它是一個空間。同樣的環面、二維平面、或者我們生活中四維時空也是一個空間。
除了這些空間外，存在更多的風格迥異的空間，你可以把它看成“空間的空間”。舉一個非常簡單的例子，想像你有一個三角形——這是一個空間，那麼繼續想像所有可能的三角形，它們組成一個空間。在這個更大空間內的每一點代表一個特定的三角形，由它所表示的三角形的角的頂點的座標。
這樣的想法在物理中非常有用。在廣義相對論的框架下，時間和空間不斷演變，物理學家把每個時空看作是所有時空所組成的空間中的一個點。空間的空間在規範場論這個物理領域中出現過，這與物理學家在物理空間之上建立的場有關。這些場描述了你在空間中運動時，這些力如何起作用，如同你看到的電磁力和重力一樣。你可以想像，在空間的每一個點上，這些場的構造都略有不同——而且所有這些不同的構造聚在一起形成了更高維度的“所有場的空間”中的點。
這個物理學中場的空間與金明迥在數論中提出的觀點類似。為了便於理解，我們考慮一束光。物理學家想像光穿過高維的場空間。在這個空間中，光線將遵循“最小作用量原理”的路徑——也就是從A到B所需最短時間的路徑。這個原理解釋了為什麼當光從一個介質到另一種介質會彎曲——彎曲的路徑花費的時間最少。
物理學中出現的這些更大的空間的空間具有額外的對稱性，這些對稱性並不存在于它們所代表的任何空間中。通過對稱性可以找出特殊點，例如強調的時間最短路徑。在另一種情況下以另一種方式構建，這些相同類型的對稱可能會注重其他類型的點——如對應于方程的有理解的點。
理學中出現的這些更大的空間空間具有額外的對稱性，這些對稱性並不存在
對稱性與物理之間的糾纏
數論沒有粒子可以追蹤，但是數論多少有點像時空，為此它也提供了一種尋找所有可能的路徑方法和構建對所有可能路徑的空間。從這種基本的對應中，金明迥提出了一種方案：尋找光的軌道以及探尋丟番圖方程的有理解是同一個問題的兩個方面.正如他在德國海德堡舉行的數學物理會議上解釋的那樣。
丟番圖方程的解形成空間是由方程定義的曲線。這些曲線可以像圓一樣是一維的（一維流形），或者他們可以是更高維的空間。例如，如果你試圖尋找丟番圖方程———x^4+y^4=1的複解，你就得到了一個三孔環面。在這個環面上的有理解缺乏幾何結構，這樣就很難去找到他們，但是它們可以被做成對應於具有結構的空間的更高維空間中的點。
金明迥通過考慮可以在環面上繪製環的方式（或等式定義的任何空間）來構造空間的高維空間。繪製環的過程如下：首先，選擇一個基點，然後從該點繪製一個環到任何其他點，然後再返回。重複這個過程，畫出連接基點和圓環面上其他點的路徑。最後，你會有一個所有可能的環，他的起始點和結束點都在基點。這種環的集合是數學中一個重要的中心物件，它被稱為空間的基本群。
你可以使用在環面上的任何點作為你的基點。每一個點將有一個獨一無二錯綜複雜的路徑。每一個這些路徑的集合可以被表示為一個點在一個更高維的“路徑集合的空間”（就像所有的可能的三角形的空間）。這個空間的幾何上非常類似於物理學家在規範場理論中構造的“空間空間”。當從一個點移動到環面上另一個點時，路徑集合的變化非常類似於在實際空間中從一個點移動到另一個點時場變化的方式。
空間的空間具有額外的對稱性，不表現於環面本身。雖然環面上的有理點之間沒有對稱性，但如果你進入所有路徑集合的空間，就可以找到與有理點相關的點之間的對稱性。這樣你可以得到之前所看不見的對稱性。
“我時常用到的一個短語是這些路徑中有一種“隱藏的算術對稱性”，高度類似於規範場論中內在的對稱性”金明迥說。
就像沙博蒂所說的那樣，金明迥通過考慮在他所構造的更大的空間結構中交叉的點去尋找有理解，同時運用這個空間中的對稱性去限制空間中的交叉點。他希望建立一個方程去精確的找到這些點。
在物理環境中，你可以想像光線可能會採取的所有可能的路徑。這是你“所有路徑的空間”。在這樣的空間中，引起物理學家興趣的是與時間最小化路徑相對應的點。金明迥認為尋找有理點的過程與錯綜複雜的路徑對應的點具有同樣的性質——也就是說，當你開始思考丟番圖方程的幾何形式時，這些點將最小化某些性質。只是他還沒有找出這種性質是什麼。
“我開始尋找的東西是一個在數學環境中的最小作用量原理，他在郵件中寫道。“我還是不太清楚，但我有信心，它就在那裡，我能找到它。”
一個不確定的未來
在過去的幾個月 ，我對幾位數學家描述了金明迥由物理所啟發的想法，他們都仰慕金明迥對數論的貢獻。然而，當把金明迥遇到的困難傳達給他們時，他們並不知道該如何下手。
“作為一個具有代表性的數論學家，如果你向我展示了金明迥一直在做的所有的這些“恐怖”的事情，並問我是否受到靈感啟發，我會說'你到底在說什麼鬼話？'”艾倫伯格如是說。
至今，金明迥並沒有在他的論文中提及物理學。取而代之的是，他把他的目標稱為Selmer簇,他考慮Selmer簇在所有Selmer簇空間中的關係。這些對於數論學者來說是可識別的術語。但是對於金明迥來說他們一直是物理學中某些物體的另一個名稱。
“利用物理學中的思想去解決數論中的問題是有可能的，但是我還沒有想好如何建立起這樣的框架，”金明迥說，“我們在一個關鍵點上，對物理的理解足夠成熟，以及有足夠多的數論學者對這個問題感興趣，所以接下來我們需要進一步推進。”
阻礙推進金明迥的方法一個困難在於在所有錯綜複雜的圈所組成的空間中尋找一些最小作用量的類型。在物理世界中，這樣的觀念十分自然，但是在算術中並不那麼顯然。甚至是對金明迥的工作瞭解最深的數學家，也非常關心他是否會找到它。
“我認為金明迥的工作將會給我們帶來許多有價值的東西。我不認為我們要像金明迥想要的那樣清晰的理解有理解所在的地方是某種算術規範場理論（arithmetic gauge theory）的經典解”哈佛大學數學物理教授阿爾納夫·特裡帕蒂說。
今天，物理學的語言幾乎完全在數論的實踐之外。金明迥認為這種情況肯定會改變。40年以前，物理和幾何、拓撲的研究幾乎都是獨立。但在20世紀80年代，屈指可數的幾位數學家和物理學家建立了有效的方法，該方法運用物理去研究形狀的性質，現在這些學者都是領軍人物了，而且該領域從未停止向前。
“如今不瞭解物理學幾乎不可能對幾何學和拓撲學感興趣。我有理由確信在數論上也會有這種情況發生”在接下來的15年，金明迥說，“這樣的聯繫將變得十分自然。”
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