數形結合思想就是根據數與形之間的對應關係， 通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想， 包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面．
其中“以形助數”是指借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯繫， 即以形作為手段， 數作為目的．
“以數輔形”是指借助於數的精確性和嚴密性來闡明形的某些屬性， 即以數為手段， 形作為目的．
【典型例題】
例3．（15南通）關於x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的兩個不相等的實數根都在－1和0 之間（不包括－1和0）， 則a的取值範圍是 ．
【解析】
【方法一】利用函數圖像“數學結合”解題
解：∵關於x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的兩個不相等的實數根，
∴Δ＝b2－4ac＝9＋4a＞0， ∴a＞－9，
設二次函數y＝ax2－3x－1，
∵方程ax2－3x－1＝0的兩個不相等的實數根都在－1和0之間， ∴x1x2＝－1＞0，
∴a＜0， ∴二次函數y＝ax2－3x－1的圖像如圖所示，
∴當x＝－1時， y＝a＋3－1＜0， 即a＜－2，
∴a的取值範圍是－9＜a＜－2．
故答案為：－9＜a＜－2．
【方法二】用方程的有關的知識解題
【總結】根據一元二次方程與二次函數之間的關係， 使用圖像法可以快速解決問題．
【舉一反三】
例4．（14濟寧）“如果二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸有兩個公共點， 那麼一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數根．”請根據你對這句話的理解， 解決下面問題：若m、n（m＜n）是關於x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的兩根， 且a＜b， 則a、b、m、n的大小關係是．
A．m＜a＜b＜n
B．a＜m＜n＜b
C．a＜m＜b＜n
D．m＜a＜n＜b
【解析】
【方法一】
解：方程可以化簡為x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，
【方法二】數形結合思想
解：依題意， 得， 畫出函數y＝(x－a)(x－b)的圖像， 如圖所示．
函數圖像為抛物線， 開口向上， 與x軸兩個交點的橫坐標分別為a， b（a＜b）．
方程1－(x－a)(x－b)＝0轉化為(x－a)(x－b)＝1，
方程的兩根是抛物線y＝(x－a)(x－b)與直線y＝1的兩個交點．
由m＜n， 可知對稱軸左側交點橫坐標為m， 右側為n．
由抛物線開口向上， 則在對稱軸左側， y隨x增大而減少， 則有m＜a；
在對稱軸右側， y隨x增大而增大， 則有b＜n．
綜上所述， 可知m＜a＜b＜n．
故答案為：m＜a＜b＜n．
【方法三】數形結合思想
解：如圖， 畫出二次函數y＝(x－a)(x－b)的圖像，
∴該二次函數x軸的兩個交點座標分別為（a， 0）和（b， 0）其中a＜b，
將二次函數y＝(x－a)(x－b)的圖像向下平移1個單位， 得到新二次函數的解析式為y1＝(x－a)(x－b)－1，
∴這時新二次函數與x軸的交點為（m， 0）和（n， 0）其中m＜n，
易得：m＜a＜b＜n．
故答案為：m＜a＜b＜n．
【方法四】特殊值法
解：依題意得令a＝0， b＝1， 則原方程可化為1－x(x－1)＝0， 即x2－x－1＝0，
【總結】方程問題通常可以轉化為函數問題， 利用函數圖像快速判斷答案．