到現在為止， 我們考慮的是自由粒子， 即不受任何自然力的作用、在空間做恒速直線運動的粒子（注3.8）。 但自然之豐富多彩， 正是因為事物通過自然力相互影響。 所以我們需要把力納入我們關於物質波動性的考慮之中。 1926年， 柏林大學的奧地利物理學家薛定諤率先做到了這一點。 他的結果隱藏在一個著名的數學關係中， 叫做薛定諤方程。
薛定諤發現， 要把力引入新出現的量子理論， 最自然的方法並不是引入力對於被描述粒子的推和拉， 而是引入與力的推拉作用相當的勢能。 所以讓我們先介紹勢能的概念。
考慮一輛沒有掛上檔的汽車駛上山坡， 我們忽略軸承的摩擦和輪胎與路面的摩擦。 車在爬上山坡的同時失去速度， 故而失去動能。 但能量是守恆量。 車在山腳（那時它速度快）和在山上停止並開始向後退的那一刻， 能量必定是一樣的。
那麼車在山腳時動能形式的能量到哪裡去了呢？當車沿山坡向上行時，
把這種重力能叫做“勢”， 是因為它具有對車做功、從而恢復其原有動能的潛勢。 如果車向後退下山， 在達到山腳時它將具有與上山前同樣的速率（只要沒有摩擦）， 這時重力勢能完全實現了它轉變為動能的潛勢。
如果在車達到最高點時我們用什麼東西阻擋了車輪， 勢能就被鎖住了。 但能量還在， 成為車的物理狀態的一個具體方面。 只要移除阻擋，
車的勢能決定于車的位置。 用數學語言來說， 車的勢能是車位置的函數。 在此例中， 車的位置就是車從山腳沿著道路運動的距離x。 在山腳處勢能為零， 就是說， 沒有動能轉變為勢能。 當車駛上山， 到了越高的位置， 速率越小， 故動能越小。 這恰是因為在越高處， 重力勢能越大；就是說， 車越高， 重力對車做功使它回到山腳的潛勢越大。 因為總能量守恆， 車失去的動能必定轉變為勢能。
如果我們用V表示重力勢能， 則V（x）表示這個勢能函數。 就是說， 勢能V在任何給定的位置x上具有唯一確定之值V（x）。
在我們的例子裡， 勢能是重力勢能，
下面是薛定諤方程的完整表示式。 但這是薛定諤方程的一維形式（注3.9）， 只適用於一維運動的情形（例如車被限於沿著道路向前和向後運動， 不向道路兩側運動也不能上下運動）。 雖然如此， 這仍是一個十分有用的方程， 多年來物理學家花了不少功夫研究它：
熟悉微積分的讀者知道， 這是微分方程， 包含微分運算（由第一項的微分運算元d2/dx2表示）， 但不用擔心。 為了往下閱讀本書， 你不必懂得如何解此方程。 但是需要做一些解釋。
在普通代數裡， 方程式是一個未知量與一個或多個已知量的定量關係，
簡單來說， 薛定諤方程是確定物體波函數ψ（x）的“處方”。 這是一張完整的處方， 包含了可能用於確定粒子性質的一切， 這個粒子具有品質m和能量E， 且在某種力的作用之下， 相應的勢能函數是V（x）。 如果你把這個微分方程當做物理學家玩的遊戲， 那麼他們贏得遊戲的方法是找到波函數的所有可能的解。 注意， 確定粒子物理條件的是勢能函數V（x）， 例如氫原子中在質子電磁力作用下的電子具有某個勢能函數等。
那麼波函數ψ（x）表示什麼呢？薛定諤方程結合了量子力學的所有原理和約束， 表示出為確定一個粒子的物理條件我們需要知道的一切。 因此，通過解薛定諤方程得到的波函數ψ（x），包含了對粒子物理狀態可能知道的一切。所以，波函數ψ（x）是試圖探測粒子性質的人們所能得到的一切物理資訊的經濟的編碼。
雖然ψ（x）本身沒有物理意義，一旦已知ψ（x），粒子的任何物理資訊都可由之確定。如果你要知道在空間某點發現粒子的概率，你只需對ψ（x）做一特定計算：將該點上的ψ（x）平方。如果你要知道物體的動能，你做不同的計算（需要微分運算）。你也可以從ψ（x）計算粒子運動的速率和方向（在不確定性容許的範圍內）。
現在，如果粒子是自由的（不受任何力），則無勢能，即V（x）=0。在此情形下，薛定諤方程的解ψ（x）就是德布羅意猜想的那個波，波長為▌=h/p。所以正如我們希望的那樣，薛定諤方程把德布羅意假設推廣到了非自由粒子的情形。
因為這個理論叫做量子力學（雖然如前面指出的，也許叫做波動力學更好），我們該討論量子化概念是如何進入這個理論的。
當我們用薛定諤方程中的勢能函數V（x）考慮力的作用時，我們發現，對於給定的V（x），薛定諤方程的解只對總能量E的某些“容許值”存在。這是薛定諤方程解ψ（x）的一般性質，對任何勢能函數V（x）都成立（注3.10）。E的特定容許值決定於函數V（x）的具體形式。
這樣，薛定諤理論與觀察到的量子行為相容。例如一個給定的原子，只能發射某些顏色（能量）的光，這些能量對應於原子在其兩種可容許能量之間量子態的變化。發射出的光量子或即光子的能量，正好就是變化前後狀態的能量之差（又是能量守恆！）。因為這些狀態只被容許具有某些能量，發射的光也只限於某些相應的能量（顏色）。
順便提一下，因為每一種原子有其唯一的勢能函數V（x），發射（或吸收）的光的顏色是原子的特徵。因為這個緣故，天體物理學家能夠通過分析恒星到達地球的光來確定其組成。
最後，薛定諤方程由三項組成：等號左邊有兩項，右邊有一項。第一項是一種數學表達，告訴我們在知道了ψ（x）後如何計算粒子在任意點x處所具有的動能。第二項是勢能乘以x點上的波函數值。第三項（等號右邊）是總能量乘上波函數ψ（x）。
所以，如果你看薛定諤方程中波函數所乘的因數，你會發現等號左邊是x點處的動能和勢能，而右邊是總能量。由此看來，薛定諤方程就是如下事實的波動力學陳述：在任意點上的動能與勢能之和等於總能量，就是說，薛定諤方程是量子力學形式的能量守恆定律。從能量守恆的這一量子力學表達，產生了規定粒子可能具有的量子力學波函數的一組完整的約束。這又一次說明了能量守恆定律的重要性（注3.11）。
量子力學的根本重要性的一個見證，是從它的發展中孕育出了物理學的諸多全新的領域，包括原子和分子物理學、固體物理學（半導體物理和微電子器件）和粒子物理學。物理學中的專門化現象就是隨著這些領域的發展興起的，如今在物理學的好幾個領域裡做出廣泛貢獻的科學家很少見了（但並不絕跡，義大利裔美國物理學家費米就是突出的例子）。
自此以下，我們的討論必定要反映這種專門化的趨勢，所以我們只好下一次再來遊覽其他豐富多彩的領域。但我們不會因此感到遺憾，因為在我們選擇的路徑上風景無限，肯定讓我們不虛此行。我們的下一個目的地是量子場論。量子場論是基本量子理論的進一步發展，往往被認為是我們對於自然基本運行機制的認識上與量子理論本身一樣重大的飛躍。
書名：物質深處：粒子物理學的攝人之美
作者：[美] 布魯斯 A.舒姆（Bruce A.Schumm） 著
出 版 社：清華大學出版社
定價：￥55.00
因此，通過解薛定諤方程得到的波函數ψ（x），包含了對粒子物理狀態可能知道的一切。所以，波函數ψ（x）是試圖探測粒子性質的人們所能得到的一切物理資訊的經濟的編碼。雖然ψ（x）本身沒有物理意義，一旦已知ψ（x），粒子的任何物理資訊都可由之確定。如果你要知道在空間某點發現粒子的概率，你只需對ψ（x）做一特定計算：將該點上的ψ（x）平方。如果你要知道物體的動能，你做不同的計算（需要微分運算）。你也可以從ψ（x）計算粒子運動的速率和方向（在不確定性容許的範圍內）。
現在，如果粒子是自由的（不受任何力），則無勢能，即V（x）=0。在此情形下，薛定諤方程的解ψ（x）就是德布羅意猜想的那個波，波長為▌=h/p。所以正如我們希望的那樣，薛定諤方程把德布羅意假設推廣到了非自由粒子的情形。
因為這個理論叫做量子力學（雖然如前面指出的，也許叫做波動力學更好），我們該討論量子化概念是如何進入這個理論的。
當我們用薛定諤方程中的勢能函數V（x）考慮力的作用時，我們發現，對於給定的V（x），薛定諤方程的解只對總能量E的某些“容許值”存在。這是薛定諤方程解ψ（x）的一般性質，對任何勢能函數V（x）都成立（注3.10）。E的特定容許值決定於函數V（x）的具體形式。
這樣，薛定諤理論與觀察到的量子行為相容。例如一個給定的原子，只能發射某些顏色（能量）的光，這些能量對應於原子在其兩種可容許能量之間量子態的變化。發射出的光量子或即光子的能量，正好就是變化前後狀態的能量之差（又是能量守恆！）。因為這些狀態只被容許具有某些能量，發射的光也只限於某些相應的能量（顏色）。
順便提一下，因為每一種原子有其唯一的勢能函數V（x），發射（或吸收）的光的顏色是原子的特徵。因為這個緣故，天體物理學家能夠通過分析恒星到達地球的光來確定其組成。
最後，薛定諤方程由三項組成：等號左邊有兩項，右邊有一項。第一項是一種數學表達，告訴我們在知道了ψ（x）後如何計算粒子在任意點x處所具有的動能。第二項是勢能乘以x點上的波函數值。第三項（等號右邊）是總能量乘上波函數ψ（x）。
所以，如果你看薛定諤方程中波函數所乘的因數，你會發現等號左邊是x點處的動能和勢能，而右邊是總能量。由此看來，薛定諤方程就是如下事實的波動力學陳述：在任意點上的動能與勢能之和等於總能量，就是說，薛定諤方程是量子力學形式的能量守恆定律。從能量守恆的這一量子力學表達，產生了規定粒子可能具有的量子力學波函數的一組完整的約束。這又一次說明了能量守恆定律的重要性（注3.11）。
量子力學的根本重要性的一個見證，是從它的發展中孕育出了物理學的諸多全新的領域，包括原子和分子物理學、固體物理學（半導體物理和微電子器件）和粒子物理學。物理學中的專門化現象就是隨著這些領域的發展興起的，如今在物理學的好幾個領域裡做出廣泛貢獻的科學家很少見了（但並不絕跡，義大利裔美國物理學家費米就是突出的例子）。
自此以下，我們的討論必定要反映這種專門化的趨勢，所以我們只好下一次再來遊覽其他豐富多彩的領域。但我們不會因此感到遺憾，因為在我們選擇的路徑上風景無限，肯定讓我們不虛此行。我們的下一個目的地是量子場論。量子場論是基本量子理論的進一步發展，往往被認為是我們對於自然基本運行機制的認識上與量子理論本身一樣重大的飛躍。
書名：物質深處：粒子物理學的攝人之美
作者：[美] 布魯斯 A.舒姆（Bruce A.Schumm） 著
出 版 社：清華大學出版社
定價：￥55.00