作者 戴世強
俗話說， 種瓜得瓜， 種豆得豆。 可是， 在科研工作中， 經常出現“種豆得瓜”的有趣狀況， 這樣的例子不勝枚舉， 例如， 研究葡萄球菌的弗萊明發現了青黴素， 探索陰極射線的倫琴抓住了X射線， 搜索恒星的赫歇爾逮著了太陽系第七顆行星——天王星， 如此等等。 縱觀所有偶然的偉大發現， 就會知道， 真正能種豆得瓜的， 主要得力於縝密的觀察和思考， 善於捕捉稍縱即逝的機遇， 長於抓住線索積極思考， 勇於進行堅持不懈的探索， 這是產生重大科學發現的普遍規律。
今天我們要講的關於孤立波的故事，
孤立波是一種在傳播過程中保持波形不變的非線性波， 它是在流體力學研究中首先露面的， 其發現過程頗有點傳奇色彩。
拉塞爾騎馬追趕孤立波
說起孤立波， 不能不提到拉塞爾（John Scott Russell）。 （參看[1-3]）
拉塞爾（1808~1882）出生於蘇格蘭的格拉斯哥， 17歲時畢業于格拉斯哥大學， 24歲時成為愛丁堡大學數學教授， 他一向對造船感興趣， 精於實驗觀測和船舶設計。 拉塞爾以兩大成就聞名於世：發現孤立波和設計超大客輪“大東方號（“Great Eastern”， 十九世紀中葉的最大客輪）， 前者屬於科學發現， 後者則是技術創造。
進愛丁堡大學後， 他看到附近的連接愛丁堡與格拉斯哥的聯合運河（Union Canal）上， 形形色色的蒸汽機帆船往來穿梭， 開始醉心於內河運輸船只的研究和設計。 1834年8月為了考察船舶在運動中所受到的阻力， 他在聯合運河中， 用兩匹馬牽引船舶進行全尺寸的觀察和實驗。 在一次試驗中， 由於兩匹馬驟然停步， 船隻停了下來， 他猛然發現， 船頭的水面上有一個孤立水團滾滾向前，
拉塞爾後來多次描述他的發現， 下面這段話出自1844年在英國科學促進協會第14次會議上的報告[3]：
“我把注意力集中於船舶產生的流體運動， 立刻就觀察到一個非同尋常而又異常絢麗的現象， 它是如此非同凡響， 我這裡先詳細描述它的外貌形態。 當時我正在觀察兩匹馬拉著的一艘高速運動的船， 突然船停了下來， 而被這艘船推動的水卻並不停止， 在船舶周圍積聚的小波浪中， 一個激烈的紊亂擾動現象吸引了我的注意。 在船身長度的中部附近，
拉塞爾在另一份報告中生動地描述了他對這一現象做出的反應：
“我立刻離開了船舶停留的地方， 準備步行跟上它， 但發現它運動得很快， 我即刻騎上馬， 在幾分鐘之內趕上了它， 發現孤立行進波以每小時八九英里的均勻速度滾滾向前， 沿靜止流體表面作孤獨的運動， 並保持著長約30英尺（9米）， 高約1～1.5英尺（0.3～0.45米）的原始形狀。 我騎馬跟隨它1～2英里後，
為了進一步驗證這一現象的存在並瞭解其性質， 拉塞爾在1837年8月又在一個長20英尺、寬1英尺的平底水槽中， 進行了一系列受人工控制的實驗， 再現了與現場觀察相同的現象， 同時根據實驗結果推算出：孤立波傳播速度正比於最大動水深（即波峰與底部的距離）與重力加速度乘積的平方根。 1834年至1844年這十年間， 拉塞爾在各種場合報告他的觀察發現和實驗結果， 在英國學術界掀起了軒然大波！可惜， 拉塞爾卻在這場論戰中成了“沒事人”。 原因是：他把他的興趣熱點轉向營造大客輪“大東方號”了，1848年他到倫敦開辦輪船公司，1858年與I. K. Brunel共同設計的“大東方號”下水，然而，拉塞爾卻陷入了財務危機，他做企業家的本事遠不及當科學家和工程師。
於是，進一步思考和闡釋孤立波的任務就歷史地落到布辛涅斯克、瑞利、科特維格和徳·弗利斯等科學家的身上。
孤立波實驗引爆大論戰
縱觀科學史（包括力學史），就會發現，新思想或新概念一誕生，往往會受到懷疑和非難，引發激烈的爭論，孤立波的命運亦複如此。引人注目的是：20世紀流體力學界的幾位“夯榔頭”（滬語：指大人物）都捲入了大爭論。
懷疑派的著名人士有：英國天文學家、物理學家艾裡爵士（Sir George Biddell Airy，1801~1892，第七任皇家天文學家[1835～1881]），英國流體力學家斯托克斯爵士（Sir George Gabriel Stokes，1819~ 1903，英國皇家學會書記、會長[1854~1903]），他們懷疑在靜止水面上能否存在保持形狀的行波（永形波）。他們的懷疑的問題主要有：為什麼“孤立行進波”能在水體表面傳播且波幅不衰減；得出的傳播速度也與他們的研究結果不符。
贊成派則有法國流體力學家巴贊（Henri-Emile Bazin,1829～1917，法國科學院院士）和布辛涅斯克（J.V. Boussinesq, 1842～1929，法國科學院院士），英國大物理學家瑞利勳爵（Lord John William Strutt Rayleigh，1842～1919，英國皇家學會會長[1905～1919]），荷蘭數學家科特維格教授（DiederikJohnas Korteweg, 1848～1941）和他的博士生德·弗裡斯（Gustav de Vires，1866～1934）。
這一爭論延續到19世紀70年代才初步得到解決。1862年和1865年，H.E.巴贊對孤立波進行了一系列的細緻實驗，證實了拉塞爾的結果是正確的、無可非議的。1871年，年僅29歲的布辛涅斯克首次試圖從理論上較為徹底的解決這一爭端，對他的導師聖維南的水波理論框架進行更新，從納維-斯托克斯方程匯出了著名的布辛涅斯克方程，給出了符合於拉塞爾的實驗觀察的理論結果；1876年，瑞利也建立了支持拉塞爾實驗觀察的數學理論，並正式使用了孤立波（solitary wave）這一術語。在他的論文末尾，Rayleigh承認了Boussinesq理論提出在先。
圖為孤立波的相互作用
布辛涅斯克、瑞利與艾裡、斯托克斯的爭論，最終在1895年由數學家科特維格和他的博士生德·弗裡斯解決。他們在小振幅與長波的假定下，從流體動力學方程匯出了關於孤立波的方程（後人稱之為KdV方程）。這一方程的行波解，在波長趨於無限的情況下，正是拉塞爾所發現的孤立波。KdV方程的建立，從理論上闡明了孤立波的存在，給這場爭論劃上了句號。
從拉塞爾的發現到KdV方程的提出，大約經歷了60年時間，孤立波才為學術界普遍接受。拉塞爾當時已經知道了孤立波的一些重要性質，如：孤立波在傳播過程中保持波形和速度不變；兩個孤立波碰撞時互相穿透且維持原來的波形和速度；孤立波的波幅愈高，其傳播速度愈快等等，這些結果均被後來的理論所證實，並為孤立子理論的發展奠定了基礎。
1982年，為了紀念拉塞爾這一重要的科學發現，英國政府把當年發現孤立波的地方正式列為歷史名勝；英國蘇格蘭的Heriot-Watt 大學舉辦了紀念拉塞爾逝世100周年學術討論會，來自世界各地十幾個學科的科學家聚集一堂（包括上海計算技術研究所的黃迅順研究員），熱烈地討論了有關孤立波和孤立子的學術問題。會後，還組織了類比拉塞爾當年的馬拉機帆船產生孤立波的實驗，但據說那次實驗不大成功。
這場爭論引發的思考
如今關於孤立波的實驗和理論已為人們熟悉，述及它的書籍如汗牛充棟，且已寫入研究生的流體力學教材（例如，梅強中教授、劉應中和繆國平教授的著作[4-5]）。
瞭解孤立波理論的人都知道，孤立波的產生有如下先決條件（要素）：
• 淺水特性 深水中不可能產生KdV型孤立波；
• 波動性 最簡單的水波的恢復力機制是重力，重力導致水面的波動；
• 非線性 必須計及水波傳播的非線性效應；適用于淺水的聖維南方程是線性的，所以不能產生孤立波解；
• 色散性 必須考慮水波的色散性。
簡言之，拉塞爾發現的孤立波只能產生於淺水中，當波動性、非線性和色散性達到某種平衡時，才會有孤立波的產生。拉塞爾的幸運在於：在這樣的苛刻條件下，千載難逢才在自然界曇花一現的現象居然給他撞見了，而且他經過十年（1834～1844）孜孜不倦的努力，居然在可控的條件下，在實驗室裡再現了孤立波現象！拉塞爾的不幸在於：他沒有“將革命進行到底”，以他的聰明才智和數學根底，完全有可能建立完整的孤立波理論，可惜的是，他心有旁騖了，“溜號”了。
為什麼像艾裡、斯托克斯這樣的大家不能建立孤立波理論？反而淪落為反對派或懷疑派（據說懷疑派中還有赫赫有名的開爾文勳爵，未做詳細考證）。對此無人做過詳細分析。這裡試做簡單的思考和闡述。我認為，主要因素是傳統觀念的束縛和“瞎子摸象”式的思維局限性。
我們習慣于“一石激起千層浪”和“水波縹緲無常性”，總是以為，由於色散性的存在，水波總是彌散的，就像長跑比賽中那樣，運動員速度各不相同，要他們保持方陣，能行嗎？不信，你往水面上扔一塊石頭，水面上激起的漣漪（水波）不久就消失殆盡，豈能維持波形？這是這些大師難以接受孤立波事實的癥結；艾裡博學多才，他倒是抓住了上述四要素中的前三個，但恰恰忘掉了第四個！艾裡提出一個著名的淺水波理論，他利用科學方法中的移植法，採用氣體動力學類比，用巧妙的近似，把水比作絕熱氣體，於是他抓住了非線性這根“鞭子”，水在它的“抽打”之下，能產生“水躍”，就像氣體動力學中的激波一樣。也許他太欣賞自己的理論了，那種“瞎子摸象”式的思維方式令他把孤立波概念拒之門外。
相比之下，水波理論專家斯托克斯的懷疑程度要低一點。他在1857年就提出了斯托克斯水波理論，非常嚴謹，至今沿用。也許他忽視的是孤立波產生的第一個要素——淺水特性。因為他研究的主要是深水和中常深度的水，深水波的特性與淺水波迥然不同。斯托克斯用他得到的斯托克斯波的傳播速度去比照拉塞爾的測量結果，當然是驢唇不對馬嘴了，因此，他也無法接受拉塞爾發現的孤立波。
我認為，上面提到的所有人物中，最值得欽佩的是布辛涅斯克院士[6]。他具有非凡的能力捕捉問題的物理實質，經過縝密的思考，建立完善的數學模型。1871年，他匯出了沿用至今的布辛涅斯克方程，完整地抓住了產生孤立波的四要素。應該說，這組方程脫胎于他的導師演繹的聖維南方程（目前在水利界和水力學界仍普遍採用），但是他加上了非線性項；與艾裡理論不同的是，他考慮了高階近似，引入了色散項，而且色散項的係數可視情況進行調整。據文獻[6]所述，他實際上已匯出了科特維格-徳·弗利斯方程（KdV方程），但至少可以肯定，直接從各種形式的布辛涅斯克方程，可直接匯出拉塞爾的孤立波解。1991年，復旦大學的已故CFD專家忻孝康教授在國內的水動力學研討會上就報告過這樣的工作。從布辛涅斯克的成功我們可以瞭解到，基於觀察事實的周密思考是何等重要！而更重要的是，千萬不能受傳統觀念的束縛，不然，何來創造和創新？
應該指出的是：真正給這場曠日持久的爭論畫上圓滿句號的是美國科學院院士、中國科學院外籍院士林家翹教授。前面已提到，一般說來，只有在非線性效應與色散效應達到某種平衡時，才會有孤立波出現。那麼我們要問，何時可達到這種平衡？林家翹和他的學生克拉克（A. Clark Jr.）1959年發表一篇論文[7]，明確地引進了表徵非線性的波陡參數（特徵振幅與特徵水深之比）和表徵色散效應的參數（特徵水深與特徵波長之比），只有在兩者很小（小而有限）且前者與後者平方之比（即厄塞爾參數，見[4]）的數量級為1時，非線性效應與色散效應可達到平衡，從而產生孤立波。因此，我認為，到此文誕生的1959年，這場持續了125年的爭論才告塵埃落定。
當然，關於孤立波的故事尚未結束，孤立波理論在上個世紀六十年代開始演繹為孤立子理論，自然科學的各個門類都卷了進來，並在非線性水波（包括地震海嘯）、非線性光學、電磁學、等離子體物理學、生物學、孤立子通訊等領域的研究中得到了廣泛應用（讀者可參看[1]的後半部分）。待筆者有空再予細說。
參考資料
1. 王振東，孤立波與孤立子，見《古今力學思想與方法》（戴世強、張文、馮秀芳主編），上海大學出版社，2005：26－32
2. 郭柏靈、蘇鳳秋，孤立子，遼寧教育出版社，1997
3. http://en.wikipedia.org/wiki/John_Scott_Russell
4. 梅強中，水波動力學，科學出版社，1984
5. 劉應中、繆國平，高等流體力學，上海交通大學出版社，2000
6. Pierre-Antonie Bois, JosephBoussineq (1842-1929): a pioneer of mathematical modelling, Comptes RendusMecanique, 335 (2007) 479-495
7. Lin C.C. & A. Clark, Jr., Onthe theory of shallow water waves, Tsing Hua Journal of Chinese Studies,Special, 1 (1959) 54-62
寫於2009年4月27日
修改於2016年5月21日
原因是：他把他的興趣熱點轉向營造大客輪“大東方號”了，1848年他到倫敦開辦輪船公司，1858年與I. K. Brunel共同設計的“大東方號”下水，然而，拉塞爾卻陷入了財務危機，他做企業家的本事遠不及當科學家和工程師。
於是，進一步思考和闡釋孤立波的任務就歷史地落到布辛涅斯克、瑞利、科特維格和徳·弗利斯等科學家的身上。
孤立波實驗引爆大論戰
縱觀科學史（包括力學史），就會發現，新思想或新概念一誕生，往往會受到懷疑和非難，引發激烈的爭論，孤立波的命運亦複如此。引人注目的是：20世紀流體力學界的幾位“夯榔頭”（滬語：指大人物）都捲入了大爭論。
懷疑派的著名人士有：英國天文學家、物理學家艾裡爵士（Sir George Biddell Airy，1801~1892，第七任皇家天文學家[1835～1881]），英國流體力學家斯托克斯爵士（Sir George Gabriel Stokes，1819~ 1903，英國皇家學會書記、會長[1854~1903]），他們懷疑在靜止水面上能否存在保持形狀的行波（永形波）。他們的懷疑的問題主要有：為什麼“孤立行進波”能在水體表面傳播且波幅不衰減；得出的傳播速度也與他們的研究結果不符。
贊成派則有法國流體力學家巴贊（Henri-Emile Bazin,1829～1917，法國科學院院士）和布辛涅斯克（J.V. Boussinesq, 1842～1929，法國科學院院士），英國大物理學家瑞利勳爵（Lord John William Strutt Rayleigh，1842～1919，英國皇家學會會長[1905～1919]），荷蘭數學家科特維格教授（DiederikJohnas Korteweg, 1848～1941）和他的博士生德·弗裡斯（Gustav de Vires，1866～1934）。
這一爭論延續到19世紀70年代才初步得到解決。1862年和1865年，H.E.巴贊對孤立波進行了一系列的細緻實驗，證實了拉塞爾的結果是正確的、無可非議的。1871年，年僅29歲的布辛涅斯克首次試圖從理論上較為徹底的解決這一爭端，對他的導師聖維南的水波理論框架進行更新，從納維-斯托克斯方程匯出了著名的布辛涅斯克方程，給出了符合於拉塞爾的實驗觀察的理論結果；1876年，瑞利也建立了支持拉塞爾實驗觀察的數學理論，並正式使用了孤立波（solitary wave）這一術語。在他的論文末尾，Rayleigh承認了Boussinesq理論提出在先。
圖為孤立波的相互作用
布辛涅斯克、瑞利與艾裡、斯托克斯的爭論，最終在1895年由數學家科特維格和他的博士生德·弗裡斯解決。他們在小振幅與長波的假定下，從流體動力學方程匯出了關於孤立波的方程（後人稱之為KdV方程）。這一方程的行波解，在波長趨於無限的情況下，正是拉塞爾所發現的孤立波。KdV方程的建立，從理論上闡明了孤立波的存在，給這場爭論劃上了句號。
從拉塞爾的發現到KdV方程的提出，大約經歷了60年時間，孤立波才為學術界普遍接受。拉塞爾當時已經知道了孤立波的一些重要性質，如：孤立波在傳播過程中保持波形和速度不變；兩個孤立波碰撞時互相穿透且維持原來的波形和速度；孤立波的波幅愈高，其傳播速度愈快等等，這些結果均被後來的理論所證實，並為孤立子理論的發展奠定了基礎。
1982年，為了紀念拉塞爾這一重要的科學發現，英國政府把當年發現孤立波的地方正式列為歷史名勝；英國蘇格蘭的Heriot-Watt 大學舉辦了紀念拉塞爾逝世100周年學術討論會，來自世界各地十幾個學科的科學家聚集一堂（包括上海計算技術研究所的黃迅順研究員），熱烈地討論了有關孤立波和孤立子的學術問題。會後，還組織了類比拉塞爾當年的馬拉機帆船產生孤立波的實驗，但據說那次實驗不大成功。
這場爭論引發的思考
如今關於孤立波的實驗和理論已為人們熟悉，述及它的書籍如汗牛充棟，且已寫入研究生的流體力學教材（例如，梅強中教授、劉應中和繆國平教授的著作[4-5]）。
瞭解孤立波理論的人都知道，孤立波的產生有如下先決條件（要素）：
• 淺水特性 深水中不可能產生KdV型孤立波；
• 波動性 最簡單的水波的恢復力機制是重力，重力導致水面的波動；
• 非線性 必須計及水波傳播的非線性效應；適用于淺水的聖維南方程是線性的，所以不能產生孤立波解；
• 色散性 必須考慮水波的色散性。
簡言之，拉塞爾發現的孤立波只能產生於淺水中，當波動性、非線性和色散性達到某種平衡時，才會有孤立波的產生。拉塞爾的幸運在於：在這樣的苛刻條件下，千載難逢才在自然界曇花一現的現象居然給他撞見了，而且他經過十年（1834～1844）孜孜不倦的努力，居然在可控的條件下，在實驗室裡再現了孤立波現象！拉塞爾的不幸在於：他沒有“將革命進行到底”，以他的聰明才智和數學根底，完全有可能建立完整的孤立波理論，可惜的是，他心有旁騖了，“溜號”了。
為什麼像艾裡、斯托克斯這樣的大家不能建立孤立波理論？反而淪落為反對派或懷疑派（據說懷疑派中還有赫赫有名的開爾文勳爵，未做詳細考證）。對此無人做過詳細分析。這裡試做簡單的思考和闡述。我認為，主要因素是傳統觀念的束縛和“瞎子摸象”式的思維局限性。
我們習慣于“一石激起千層浪”和“水波縹緲無常性”，總是以為，由於色散性的存在，水波總是彌散的，就像長跑比賽中那樣，運動員速度各不相同，要他們保持方陣，能行嗎？不信，你往水面上扔一塊石頭，水面上激起的漣漪（水波）不久就消失殆盡，豈能維持波形？這是這些大師難以接受孤立波事實的癥結；艾裡博學多才，他倒是抓住了上述四要素中的前三個，但恰恰忘掉了第四個！艾裡提出一個著名的淺水波理論，他利用科學方法中的移植法，採用氣體動力學類比，用巧妙的近似，把水比作絕熱氣體，於是他抓住了非線性這根“鞭子”，水在它的“抽打”之下，能產生“水躍”，就像氣體動力學中的激波一樣。也許他太欣賞自己的理論了，那種“瞎子摸象”式的思維方式令他把孤立波概念拒之門外。
相比之下，水波理論專家斯托克斯的懷疑程度要低一點。他在1857年就提出了斯托克斯水波理論，非常嚴謹，至今沿用。也許他忽視的是孤立波產生的第一個要素——淺水特性。因為他研究的主要是深水和中常深度的水，深水波的特性與淺水波迥然不同。斯托克斯用他得到的斯托克斯波的傳播速度去比照拉塞爾的測量結果，當然是驢唇不對馬嘴了，因此，他也無法接受拉塞爾發現的孤立波。
我認為，上面提到的所有人物中，最值得欽佩的是布辛涅斯克院士[6]。他具有非凡的能力捕捉問題的物理實質，經過縝密的思考，建立完善的數學模型。1871年，他匯出了沿用至今的布辛涅斯克方程，完整地抓住了產生孤立波的四要素。應該說，這組方程脫胎于他的導師演繹的聖維南方程（目前在水利界和水力學界仍普遍採用），但是他加上了非線性項；與艾裡理論不同的是，他考慮了高階近似，引入了色散項，而且色散項的係數可視情況進行調整。據文獻[6]所述，他實際上已匯出了科特維格-徳·弗利斯方程（KdV方程），但至少可以肯定，直接從各種形式的布辛涅斯克方程，可直接匯出拉塞爾的孤立波解。1991年，復旦大學的已故CFD專家忻孝康教授在國內的水動力學研討會上就報告過這樣的工作。從布辛涅斯克的成功我們可以瞭解到，基於觀察事實的周密思考是何等重要！而更重要的是，千萬不能受傳統觀念的束縛，不然，何來創造和創新？
應該指出的是：真正給這場曠日持久的爭論畫上圓滿句號的是美國科學院院士、中國科學院外籍院士林家翹教授。前面已提到，一般說來，只有在非線性效應與色散效應達到某種平衡時，才會有孤立波出現。那麼我們要問，何時可達到這種平衡？林家翹和他的學生克拉克（A. Clark Jr.）1959年發表一篇論文[7]，明確地引進了表徵非線性的波陡參數（特徵振幅與特徵水深之比）和表徵色散效應的參數（特徵水深與特徵波長之比），只有在兩者很小（小而有限）且前者與後者平方之比（即厄塞爾參數，見[4]）的數量級為1時，非線性效應與色散效應可達到平衡，從而產生孤立波。因此，我認為，到此文誕生的1959年，這場持續了125年的爭論才告塵埃落定。
當然，關於孤立波的故事尚未結束，孤立波理論在上個世紀六十年代開始演繹為孤立子理論，自然科學的各個門類都卷了進來，並在非線性水波（包括地震海嘯）、非線性光學、電磁學、等離子體物理學、生物學、孤立子通訊等領域的研究中得到了廣泛應用（讀者可參看[1]的後半部分）。待筆者有空再予細說。
參考資料
1. 王振東，孤立波與孤立子，見《古今力學思想與方法》（戴世強、張文、馮秀芳主編），上海大學出版社，2005：26－32
2. 郭柏靈、蘇鳳秋，孤立子，遼寧教育出版社，1997
3. http://en.wikipedia.org/wiki/John_Scott_Russell
4. 梅強中，水波動力學，科學出版社，1984
5. 劉應中、繆國平，高等流體力學，上海交通大學出版社，2000
6. Pierre-Antonie Bois, JosephBoussineq (1842-1929): a pioneer of mathematical modelling, Comptes RendusMecanique, 335 (2007) 479-495
7. Lin C.C. & A. Clark, Jr., Onthe theory of shallow water waves, Tsing Hua Journal of Chinese Studies,Special, 1 (1959) 54-62
寫於2009年4月27日
修改於2016年5月21日