看似平凡的難題
卻極具戲劇性
前幾天， 超模君看到了船長的留言：
費馬（Pierre de Fermat）確實是一位律師， 同時也是一位業餘數學家， 被譽為“業餘數學家之王”。
費馬大定理（費馬最後的定理）， 顧名思義， 當然是費馬提出來的。 是指當整數n >2時， 關於x， y， z的方程沒有正整數解。 （小天：這個定理挺簡單的嘛。 ）
對於這位業餘數學家提出這個定理的過程， 人們還一度認為這是一個惡作劇！
大約在1637年， 費馬在閱讀希臘數學家丟番圖（Diophatus）的著作《算術》時，
如：5²=4²+3²， 20²=16²+12²， 4² = (16/5)² + (12/5)²
於是， 費馬就在此命題的旁邊寫了這麼一段話：然而， 你卻不可能將一個立方數寫成兩個立方數之和， 也不能將一個四次冪數寫成兩個四次冪數之和， 或者更一般的， 任何一個高於二次冪的數都不能寫成兩個和它同次冪的數之和。 （即如今的費馬大定理）
並且， 這個喜歡惡作劇的天才， 還在後面加了一個批註：我已經發現了一種絕妙的證法， 但是這裡空白的地方太小了， 我寫不下了。 （至於費馬的這個絕妙的證法是什麼， 那就不得而知了。 。 。 ）
費馬惡搞圖
然而， 此時的“費馬大定理”還只是躺在《算術》裡其中的一段評注。 （費馬在《算術》裡總共潦草地記下了48個評注， 內容可以稱作是一系列的“費馬定理”。 ）
直到1665年， 費馬去世後， 其兒子整理父親的手稿和筆記並出版， 這個斷言在被公佈於眾。
從此， 長達358年的“費馬定理大戲”開始， 這個看似簡單的定理， 成為了“數學界最大的懸案”。
此後， 在將近一百年後的1753年， 瑞士著名數學家歐拉， 在寫給哥德巴赫的信中提到， 他證明了3次冪的無解。 並在1770年將其證明過程發表在《代數指南》一書中， 方法是“無限下降法”和形如a+根號（－3）數系的唯一因數分解定理。 （歐拉所用到的這一方法也一直被後人多次引用。 ）
而費馬自己證明了n=4的情形， 就是潦草地寫在那本《算術》中。 。 。
然而， 費馬大定理n=4之後還有無數次冪需要證明。
1816年， 巴黎科學院把費馬猜想轉化簡化歸結為n是奇素數的情況， 認為費馬猜想應該成立， 並稱為為費馬大定理（區別于費馬小定理）， 並為證明者設立大獎和獎章， 費馬大定理之謎從此進一步風靡全球。
費馬小定理：數論中的一個重要定理，是指：假如a是整數，p是質數，且a，p互質(即兩者只有一個公約數1)，那麼a的(p-1)次方除以p的餘數恒等於1。
此後，有索非·熱爾曼、勒讓德、狄利克雷、加布里爾·拉梅等幾個法國數學家取得突破性成就，不過，在距離費馬寫下那個定理已經過去了將近二百年，而他們才僅僅證明了5次冪和7次冪。。。
1844年，德國數學家庫默爾Kummer提出了“理想數”概念，他證明了：對於所有小於100的素指數n，費馬大定理成立。
庫默爾
從此這項研究告一段落，儘管數學家們對一般情況下的費馬定理還是一籌莫展。
3年後，巴黎科學院上演了戲劇性一幕， 著名數學家拉梅和柯西先後宣佈自己基本證明費馬大定理，拉梅還聲稱證明引用了劉維爾複數系中的唯一因數分解定理，劉維爾則說這一定理源自歐拉和高斯的思想。
眾多大數學家都被扯入其中，結論看似十分可靠，那這個數學懸案此時真的被破解了嗎？
當然沒有，庫默爾的來信粉碎了他們的信心，庫默爾在信中指出：唯一因數分解定理並不普遍成立，同時也證明了費馬大定理的完整證明是當時的數學方法不可能實現的。
這封信給了當時整整一代數學家致命一擊。
接著，默爾運用獨創的“理想素數”理論，一下子證明了100以內除37、59、67以外的所有奇數費馬大定理都成立，使證明問題取得了第一次重大突破。
然而，此後近半個世紀，費馬大定理證明都停滯不前。
到了二十世紀，數學開始轉向各種不同的研究領域。
1908年，格丁根皇家科學協會公佈沃爾夫斯凱爾獎：凡在2007年9月13日前解決費馬大定理者將獲得10萬馬克獎勵。
關於沃爾夫斯凱爾獎的設立，有一個傳奇故事。
傳聞，德國實業家沃爾夫斯凱爾年輕時迷戀上了一位漂亮姑娘。然而遺憾的是，他卻被全然拒絕了，這使其倍受打擊、傷心至極並決定自殺。不過他雖然感情強烈，但做起事情來並不魯莽。沃爾夫斯凱爾非常謹慎地制定了其死亡計畫的每一個細節。最終他確定下了自殺日期，並決定在午夜鐘聲響起那一刻開槍射擊自己的頭部。
為了消磨這人生最後的時間，沃爾夫斯凱爾去了圖書館，隨手翻到一本數學期刊，被“庫默爾論述柯西和拉梅證明費馬定理的錯誤”這篇文章吸引住了，於是他展開了詳細地計算和驗證，並且發現了庫默爾的漏洞。
不知不覺，設定自殺的時間過了，他也放不下問題的證明。數學讓他重新認識到人生的價值，於是，沃爾夫斯凱爾撕掉了之前的告別信，重新留下遺囑：將其大部分遺產捐贈設獎，以謝其救命之恩。
從此，世界又刮起了證明費馬大定理的熱潮。
然而，庫特·哥德爾提出了不可判定性定理，認為費馬大定理沒有任何證明。
儘管有哥德爾致命的警告，儘管經受了三個世紀壯烈的失敗，但一些數學家仍然冒著白白浪費生命的風險，繼續投身於這個問題。
二戰後隨著電腦的出現，大量的計算已不再成為問題。借助電腦的説明，數學家們對500以內，然後在1000以內，再是10000以內的值證明了費馬大定理，到八十年代，這個範圍提高到25000，然後是400萬以內。
但是，這種成功僅僅是表面的，即使那個範圍再提高，也永遠不能證明到無窮，不能宣稱證明了整個定理。
1955年，日本數學家谷山豐與志村五郎所提出的“穀山-志村猜想”，說明了：有理數域上的橢圓曲線都是模曲線。這個很抽象的猜想使一些學者搞不明白，但這個猜想後來被證實是通往費馬大定理最後證明的一條捷徑。
最終，英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）于1995年圓滿證明了費馬大定理。
事實上，懷爾斯證明費馬大定理的過程也是一部精彩絕倫的小說。
1963年，10 歲的他在一本叫《大問題》的書上瞭解到費馬大定理，於是便下定決心攻克它。儘管在那個年代，費馬大定理一度被認為是一個無法解答的難題。
十九世紀八十年代，數位數學家將前人研究的成果結合起來，終於找出了證明費馬大定理的鑰匙：只要能證明穀山-志村猜想，就自動證明了費馬大定理。
然而，穀山-志村猜想已經被研究了三十年，卻沒有任何進展。
懷爾斯卻並不灰心，為了解決這個困擾世間智者三百多年謎團，放棄了所有與證明費馬大定理無直接關係的工作，在完全保密的狀態下，對費馬大定理發起挑戰。
7年後，懷爾斯終於完成了解答，並於1993年在劍橋大學進行了為期3天的演講。
1993 年6月23日（懷爾斯演講的第三天），兩百名數學家彙聚劍橋大學。
接近演講尾聲時，三塊黑板上均寫滿了演算式，此時，懷爾斯停頓了一下，將第一塊黑板擦掉，再寫上去的是代數式。每一行數學式子似乎都是走向最終答案的微小一步，每一位數學家都屏息以待。。。
然而，30 分鐘後，懷爾斯仍然沒有宣佈證明。。。
手中拿著粉筆，他最後一次轉向黑板，寫上了費馬大定理的結論，轉向觀眾，平和地說：我想我就在這裡結束。
接著，全場掌聲雷動，雖然只有四分之一的人能真正明白他在寫什麼，但所有人都知道這是一個歷史時刻。
第二天，報紙的頭條被這位數學家占滿，歷史上首次的數學家霸佔頭條。
《人物》雜誌將他與戴安娜王妃、奧普拉一起列為“本年度二十五位最具魅力者”之一，甚至還有時裝公司邀請這位溫文爾雅的天才為他們的新系列男裝代言人。。。
但是，故事並沒有結束，他的證明要被專家組嚴格檢查。不料，之後專家們發現一個小漏洞。一開始大家都覺得懷爾斯能很快解決。沒想到這個漏洞越細究越大，以至於會毀滅整個證明根基，人們開始懷疑懷爾斯。。。
1993年12月懷爾斯終於公開承認證明有問題，並表示很快會補正。
又是將近一年的“閉關修煉”，懷爾斯和他以前的博士研究生理查·泰勒終於利用岩澤理論修補了這個漏洞。
1994年10月25日11點4分11秒，懷爾斯通過他以前的學生、美國俄亥俄州立大學教授卡爾.魯賓向世界數學界發了費馬大定理的完整證明郵件，其中就包括這篇包含所有證明過程的長文《模形橢圓曲線和費馬大定理 (Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem)》。並於1995年發表在《數學年刊》上，共130頁。（小天：130頁的證明！！）
至此，關於費馬大定理的證明大戲終於落下帷幕。
事實上，懷爾斯之所以能成功證明費馬大定理，是因為他成功運用了數代數學大師的研究成果。可以毫不誇張地說，懷爾斯動用了人類發明數學以來幾乎所有知識，彙集了20 世紀有關數論的所有突破性工作，為的就是解決一個所有人都能理解的“簡單題目”。
丟番圖、畢達哥拉斯、費馬、熱爾曼、柯西、歐拉、希爾伯特、庫默爾、哥德爾、圖靈、伽羅瓦、谷山豐、志村五郎、沃爾夫斯凱爾、懷爾斯…… 這些數學史上最偉大的名字，在整個“費馬定理大戲”上輪番登場。（超模君就不一一介紹了）
無論是其中哪位數學家，他們都曾在費馬大定理這座大廈上添磚加瓦，即便最終無法登上數學高峰，他們也都是值得尊敬的！
懷爾斯曾說過說：那段特殊的漫長的探索現在結束了，我的心靈歸於平靜。
超模君每每想起費馬大定理這耗盡人類最傑出數學家的精力，跌宕起伏的證明過程，終究無法平靜，只覺熱血沸騰！
本文由超級數學建模編輯整理
部分資料來源於網路
-----這裡是數學思維的聚集地------
“超級數學建模supermodeling），每天學一點小知識，輕鬆瞭解各種思維，做個好玩的理性派。30萬數學精英都在關注！
zwz2434費馬大定理之謎從此進一步風靡全球。
費馬小定理：數論中的一個重要定理，是指：假如a是整數，p是質數，且a，p互質(即兩者只有一個公約數1)，那麼a的(p-1)次方除以p的餘數恒等於1。
此後，有索非·熱爾曼、勒讓德、狄利克雷、加布里爾·拉梅等幾個法國數學家取得突破性成就，不過，在距離費馬寫下那個定理已經過去了將近二百年，而他們才僅僅證明了5次冪和7次冪。。。
1844年，德國數學家庫默爾Kummer提出了“理想數”概念，他證明了：對於所有小於100的素指數n，費馬大定理成立。
庫默爾
從此這項研究告一段落，儘管數學家們對一般情況下的費馬定理還是一籌莫展。
3年後，巴黎科學院上演了戲劇性一幕， 著名數學家拉梅和柯西先後宣佈自己基本證明費馬大定理，拉梅還聲稱證明引用了劉維爾複數系中的唯一因數分解定理，劉維爾則說這一定理源自歐拉和高斯的思想。
眾多大數學家都被扯入其中，結論看似十分可靠，那這個數學懸案此時真的被破解了嗎？
當然沒有，庫默爾的來信粉碎了他們的信心，庫默爾在信中指出：唯一因數分解定理並不普遍成立，同時也證明了費馬大定理的完整證明是當時的數學方法不可能實現的。
這封信給了當時整整一代數學家致命一擊。
接著，默爾運用獨創的“理想素數”理論，一下子證明了100以內除37、59、67以外的所有奇數費馬大定理都成立，使證明問題取得了第一次重大突破。
然而，此後近半個世紀，費馬大定理證明都停滯不前。
到了二十世紀，數學開始轉向各種不同的研究領域。
1908年，格丁根皇家科學協會公佈沃爾夫斯凱爾獎：凡在2007年9月13日前解決費馬大定理者將獲得10萬馬克獎勵。
關於沃爾夫斯凱爾獎的設立，有一個傳奇故事。
傳聞，德國實業家沃爾夫斯凱爾年輕時迷戀上了一位漂亮姑娘。然而遺憾的是，他卻被全然拒絕了，這使其倍受打擊、傷心至極並決定自殺。不過他雖然感情強烈，但做起事情來並不魯莽。沃爾夫斯凱爾非常謹慎地制定了其死亡計畫的每一個細節。最終他確定下了自殺日期，並決定在午夜鐘聲響起那一刻開槍射擊自己的頭部。
為了消磨這人生最後的時間，沃爾夫斯凱爾去了圖書館，隨手翻到一本數學期刊，被“庫默爾論述柯西和拉梅證明費馬定理的錯誤”這篇文章吸引住了，於是他展開了詳細地計算和驗證，並且發現了庫默爾的漏洞。
不知不覺，設定自殺的時間過了，他也放不下問題的證明。數學讓他重新認識到人生的價值，於是，沃爾夫斯凱爾撕掉了之前的告別信，重新留下遺囑：將其大部分遺產捐贈設獎，以謝其救命之恩。
從此，世界又刮起了證明費馬大定理的熱潮。
然而，庫特·哥德爾提出了不可判定性定理，認為費馬大定理沒有任何證明。
儘管有哥德爾致命的警告，儘管經受了三個世紀壯烈的失敗，但一些數學家仍然冒著白白浪費生命的風險，繼續投身於這個問題。
二戰後隨著電腦的出現，大量的計算已不再成為問題。借助電腦的説明，數學家們對500以內，然後在1000以內，再是10000以內的值證明了費馬大定理，到八十年代，這個範圍提高到25000，然後是400萬以內。
但是，這種成功僅僅是表面的，即使那個範圍再提高，也永遠不能證明到無窮，不能宣稱證明了整個定理。
1955年，日本數學家谷山豐與志村五郎所提出的“穀山-志村猜想”，說明了：有理數域上的橢圓曲線都是模曲線。這個很抽象的猜想使一些學者搞不明白，但這個猜想後來被證實是通往費馬大定理最後證明的一條捷徑。
最終，英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）于1995年圓滿證明了費馬大定理。
事實上，懷爾斯證明費馬大定理的過程也是一部精彩絕倫的小說。
1963年，10 歲的他在一本叫《大問題》的書上瞭解到費馬大定理，於是便下定決心攻克它。儘管在那個年代，費馬大定理一度被認為是一個無法解答的難題。
十九世紀八十年代，數位數學家將前人研究的成果結合起來，終於找出了證明費馬大定理的鑰匙：只要能證明穀山-志村猜想，就自動證明了費馬大定理。
然而，穀山-志村猜想已經被研究了三十年，卻沒有任何進展。
懷爾斯卻並不灰心，為了解決這個困擾世間智者三百多年謎團，放棄了所有與證明費馬大定理無直接關係的工作，在完全保密的狀態下，對費馬大定理發起挑戰。
7年後，懷爾斯終於完成了解答，並於1993年在劍橋大學進行了為期3天的演講。
1993 年6月23日（懷爾斯演講的第三天），兩百名數學家彙聚劍橋大學。
接近演講尾聲時，三塊黑板上均寫滿了演算式，此時，懷爾斯停頓了一下，將第一塊黑板擦掉，再寫上去的是代數式。每一行數學式子似乎都是走向最終答案的微小一步，每一位數學家都屏息以待。。。
然而，30 分鐘後，懷爾斯仍然沒有宣佈證明。。。
手中拿著粉筆，他最後一次轉向黑板，寫上了費馬大定理的結論，轉向觀眾，平和地說：我想我就在這裡結束。
接著，全場掌聲雷動，雖然只有四分之一的人能真正明白他在寫什麼，但所有人都知道這是一個歷史時刻。
第二天，報紙的頭條被這位數學家占滿，歷史上首次的數學家霸佔頭條。
《人物》雜誌將他與戴安娜王妃、奧普拉一起列為“本年度二十五位最具魅力者”之一，甚至還有時裝公司邀請這位溫文爾雅的天才為他們的新系列男裝代言人。。。
但是，故事並沒有結束，他的證明要被專家組嚴格檢查。不料，之後專家們發現一個小漏洞。一開始大家都覺得懷爾斯能很快解決。沒想到這個漏洞越細究越大，以至於會毀滅整個證明根基，人們開始懷疑懷爾斯。。。
1993年12月懷爾斯終於公開承認證明有問題，並表示很快會補正。
又是將近一年的“閉關修煉”，懷爾斯和他以前的博士研究生理查·泰勒終於利用岩澤理論修補了這個漏洞。
1994年10月25日11點4分11秒，懷爾斯通過他以前的學生、美國俄亥俄州立大學教授卡爾.魯賓向世界數學界發了費馬大定理的完整證明郵件，其中就包括這篇包含所有證明過程的長文《模形橢圓曲線和費馬大定理 (Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem)》。並於1995年發表在《數學年刊》上，共130頁。（小天：130頁的證明！！）
至此，關於費馬大定理的證明大戲終於落下帷幕。
事實上，懷爾斯之所以能成功證明費馬大定理，是因為他成功運用了數代數學大師的研究成果。可以毫不誇張地說，懷爾斯動用了人類發明數學以來幾乎所有知識，彙集了20 世紀有關數論的所有突破性工作，為的就是解決一個所有人都能理解的“簡單題目”。
丟番圖、畢達哥拉斯、費馬、熱爾曼、柯西、歐拉、希爾伯特、庫默爾、哥德爾、圖靈、伽羅瓦、谷山豐、志村五郎、沃爾夫斯凱爾、懷爾斯…… 這些數學史上最偉大的名字，在整個“費馬定理大戲”上輪番登場。（超模君就不一一介紹了）
無論是其中哪位數學家，他們都曾在費馬大定理這座大廈上添磚加瓦，即便最終無法登上數學高峰，他們也都是值得尊敬的！
懷爾斯曾說過說：那段特殊的漫長的探索現在結束了，我的心靈歸於平靜。
超模君每每想起費馬大定理這耗盡人類最傑出數學家的精力，跌宕起伏的證明過程，終究無法平靜，只覺熱血沸騰！
本文由超級數學建模編輯整理
部分資料來源於網路
-----這裡是數學思維的聚集地------
“超級數學建模supermodeling），每天學一點小知識，輕鬆瞭解各種思維，做個好玩的理性派。30萬數學精英都在關注！
zwz2434