「作者」
顧森， 網名Matrix67， 北京大學中文系應用語言學專業學生， 數學愛好者。 2005年開辦數學博客http://www.matrix67.com， 至今已積累上千篇文章， 已有上萬人訂閱。 長期為各類科普雜誌供稿， 從事數學教育工作多年。
「正文」
注：這篇文章裡有很多個人觀點， 帶有極強的主觀色彩。 其中一些思想不見得是正確的， 有一些話也是我沒有資格說的。 我只是想和大家分享一下自己的一些想法。 大家記得保留自己的見解。 也請大家轉載時保留這段話。
我不是一個數學家。 我甚至連數學專業的人都不是。 我是一個純粹打醬油的數學愛好者， 只是比一般的愛好者更加執著，
我多次跟人說起， 我的人生理想就是， 希望有一天能學完數學中的各個分支， 然後站在一個至高點， 俯瞰整個數學領域， 真正體會到數學之美。 但是， 想要實現這一點是很困難的。 最大的困難就是缺少一個學習數學的途徑。
一直對線性代數很感興趣， 於是大學選了線性代數這門課， 結果收穫幾乎為零。 原因很簡單， 本來期待著來一次大徹大悟， 結果學了一個學期， 我還是不知道矩陣究竟是什麼， 矩陣乘法為什麼要這麼定義， 矩陣可逆又怎麼了， 行列式究竟表示什麼。
直到今天看到網上一個問題， 才看見有人一語道破線性代數的真諦（這也是我終於決定寫成此文的直接原因）。 我終於找到了我那一個學期企圖尋找的東西。 就好像把 x 變成 2 x 一樣， 我們經常需要把 (x, y) 變成 (2 x + y, x – 3 y) 之類的東西， 這就叫做線性變換。 於是才想到定義矩陣乘法， 用於表示一切線性變換。 幾何上看， 把平面上的每個點 (x, y) 都變到 (2 x + y, x – 3 y) 的位置上去，
矩陣的乘法， 其實就是多個線性變換疊加的效果， 它顯然滿足結合律， 但不滿足交換律。 主對角線全是 1 的矩陣所對應的線性變換其實就是不變的意思， 因此它叫做單位矩陣。 矩陣 A 乘以矩陣 B 得單位矩陣， 就是做完線性變換 A 後再做一次線性變換 B 就又變回去了的意思， 難怪我們說矩陣 B 是矩陣 A 的逆矩陣。 課本上對行列式的定義千奇百怪， 又是什麼遞迴， 又是什麼逆序對， 還編寫口訣幫助大家記憶。 其實， 行列式的真正定義就一句話：每個單位正方形在線性變換之後的面積。 因此， 單位矩陣的行列式當然就為 1， 某行全為 0 的行列式顯然為 0 （因為某一維度會被無視掉，
難以置信的是， 如此令人興奮的東西， 我們所用的課本上竟然一點都沒有說到！那些開篇就講行列式定義的課本， 為什麼不先把線性變換下的面積當作行列式的定義， 再推導出行列式的計算方法， 再來補充說明“其實從邏輯上說， 我們應該先用這個計算公式來定義行列式， 然後才說行列式可以用來表示面積”？為了嚴密性而犧牲了可讀性， 太不值得了。 寫到這裡， 我真想立即拾起線性代數課本，
高數課本同樣荒唐。 主流的高數課本都是先講導數， 再講不定積分， 再講定積分， 完全把順序弄顛倒了。 好多人學完微積分， 雖然已經用得得心應手， 但仍然沒懂這是怎麼回事。 究其原因， 還是數學教學的問題。
我理想中的微積分課本則應該是先講定積分， 再講導數， 再講不定積分。 先講定積分， 不過千萬不能用現在的定積分符號， 避免學生誤認為定積分是由不定積分發展而來的。 講自古就有的積分思想， 講分割求和取極限的方法， 自創一套定積分的符號。 然後另起爐灶， 開始講微分， 講無窮小， 講變化量。 最後才講到， 隨著 x 一點一點的增加， 曲線下方面積的變化量就是那一條條分隔號的高度——不就是這個曲線本身的函數值嗎？因此，反過來，為了求出一個函數對應的曲線下方的面積，只需要找到一個新函數，使得它的微分正好就是原來那個函數。啪，微積分誕生了。
光講形式化的推導沒有用。這才是真正把微積分講懂的方式。嚴格定義和嚴格證明應該放到直觀理解之後。只可惜，我還沒看到哪本課本是這樣寫的。
說了這麼多，其實總結起來只有一句話：我們學習數學的過程，應該和人類認識數學的過程一樣。我們應該按照數學發展歷史的順序學習數學。我們應該從古人計數開始學起，學到算術和幾何，學到坐標系和微積分，瞭解每個數學分支創立的動機，以及這個分支曲折的發展歷程。我們應該體會數學發展的每個瓶頸，體會每個全新理論的偉大之處，體會每一次數學危機讓數學家們手忙腳亂的感覺，體會先有直觀思維再給出形式化描述的艱難。
可惜，我沒有找到任何用這種方式學習數學的途徑。
不過也好。既然沒有捷徑，那就讓我自己把那堆形式化的定義和證明通看一遍，然後自己去體會其中的道理吧。這樣看來，我們的教育也沒錯：先用考試逼著大家把該學的東西都學了，儘管自己也不知道自己學的是啥；等將來的某一天達到一定高度時，回頭看看過去學的東西，突然恍然大悟，明白了當初學的究竟是什麼。這無疑是一件更有樂趣的事情。我希望有一天能像今天這樣，能悟出高等代數究竟在講什麼，能悟出範疇論到底有什麼用，能悟出 Riemann 假設為何如此牛 B，能悟出 Hilbert 空間是什麼東西，然後把它們都寫下來。
這恐怕得花我大半輩子的時間吧。
- END -
「自言自語」
前段時間，賽氪考研君一直在糾結，應該為大家提供什麼樣的考研數學內容。今天借matrix67的文章，賽氪考研君計畫每天針對性為大家深入剖析“矩陣究竟是什麼，矩陣乘法為什麼要這麼定義，矩陣可逆又怎麼了，行列式究竟表示什麼”等此類的知識點。
每天一篇，死磕數學，你好我好大家好！
曲線下方面積的變化量就是那一條條分隔號的高度——不就是這個曲線本身的函數值嗎？因此，反過來，為了求出一個函數對應的曲線下方的面積，只需要找到一個新函數，使得它的微分正好就是原來那個函數。啪，微積分誕生了。
光講形式化的推導沒有用。這才是真正把微積分講懂的方式。嚴格定義和嚴格證明應該放到直觀理解之後。只可惜，我還沒看到哪本課本是這樣寫的。
說了這麼多，其實總結起來只有一句話：我們學習數學的過程，應該和人類認識數學的過程一樣。我們應該按照數學發展歷史的順序學習數學。我們應該從古人計數開始學起，學到算術和幾何，學到坐標系和微積分，瞭解每個數學分支創立的動機，以及這個分支曲折的發展歷程。我們應該體會數學發展的每個瓶頸，體會每個全新理論的偉大之處，體會每一次數學危機讓數學家們手忙腳亂的感覺，體會先有直觀思維再給出形式化描述的艱難。
可惜，我沒有找到任何用這種方式學習數學的途徑。
不過也好。既然沒有捷徑，那就讓我自己把那堆形式化的定義和證明通看一遍，然後自己去體會其中的道理吧。這樣看來，我們的教育也沒錯：先用考試逼著大家把該學的東西都學了，儘管自己也不知道自己學的是啥；等將來的某一天達到一定高度時，回頭看看過去學的東西，突然恍然大悟，明白了當初學的究竟是什麼。這無疑是一件更有樂趣的事情。我希望有一天能像今天這樣，能悟出高等代數究竟在講什麼，能悟出範疇論到底有什麼用，能悟出 Riemann 假設為何如此牛 B，能悟出 Hilbert 空間是什麼東西，然後把它們都寫下來。
這恐怕得花我大半輩子的時間吧。
- END -
「自言自語」
前段時間，賽氪考研君一直在糾結，應該為大家提供什麼樣的考研數學內容。今天借matrix67的文章，賽氪考研君計畫每天針對性為大家深入剖析“矩陣究竟是什麼，矩陣乘法為什麼要這麼定義，矩陣可逆又怎麼了，行列式究竟表示什麼”等此類的知識點。
每天一篇，死磕數學，你好我好大家好！