不確定性原理（uncertainty principle， 又譯測不准原理）表明， 粒子的位置與動量不可同時被確定， 位置的不確定性越小， 則動量的不確定性越大， 反之亦然。
對於不同的案例， 不確定性的內涵也不一樣， 它可以是觀察者對於某種數量的資訊的缺乏程度， 也可以是對於某種數量的測量誤差大小， 或者是一個系綜的類似製備的系統所具有的統計學擴散數值。
維爾納·海森堡於1927年發表論文《論量子理論運動學與力學的物理內涵》給出這原理的原本啟發式論述， 希望能夠成功地定性分析與表述簡單量子實驗的物理性質。
同年稍後， 厄爾·肯納德嚴格地用數學表述出位置與動量的不確定性關係式。
兩年後， 霍華德·羅伯森（英語：Howard Robertson）又將肯納德的關係式加以推廣。
類似的不確定性關係式也存在於能量和時間、角動量和角度等物理量之間。
1925年6月， 海森堡在論文《運動與機械關係的量子理論重新詮釋》裡表述出矩陣力學。 矩陣力學大膽地假設，
海森堡在論文裡提出， 只有在實驗裡能夠觀察到的物理量才具有物理意義， 才可以用理論描述其物理行為， 其它都是無稽之談。 因此， 他刻意避開任何涉及粒子運動軌道的詳細計算， 例如， 粒子隨著時間而改變的確切運動位置， 因為， 這運動軌道是無法直接觀察到的， 替代地， 他專注於研究電子躍遷時， 所發射出的電磁輻射的離散頻率和強度。 他計算出代表位置與動量的無限矩陣。 這些矩陣能夠正確地預測電子躍遷所發射出光波的強度。
同年6月， 在閱讀了海森堡的論文之後， 馬克斯·玻恩發現， 海森堡的數學運算原來就是他在學生時代學到的矩陣微積分。 另外， 在分別表示位置與動量的兩個無限矩陣之間存在著一種很特別的關係──正則對易關係，
1926年， 海森堡任聘為哥本哈根大學尼爾斯·玻爾研究所的講師， 協助尼爾斯·玻爾做研究。 隔年， 他發表了論文《論量子理論運動學與力學的物理內涵》， 在這篇論文裡， 他嚴格要求遵守實證主義：只有在可以設定的實驗環境下對於粒子的某種數量做測量， 則這數量才具有物理意義， 否則這數量不具有任何物理意義。
他接著解釋， 任何實驗測量都會遭遇誤差， 因此， 這數量的物理意義也只能被確定至某種程度。 例如， 假設使用顯微鏡來測量粒子的位置， 對於粒子的位置的測量會不可避免地攪擾了粒子的動量， 造成動量的不確定性。
海森堡緊跟著給出他的不確定性原理：越精確地知道位置， 則越不精確地知道動量，反之亦然。
不確定性原理能夠直接地詮釋位置與動量的正則對易關係：假若測量位置不會攪擾動量，測量動量不會攪擾位置，則測量位置與動量不需要顧慮到先後關係，位置與動量的正則對易關係會變為：
除了位置-動量不確定性關係式以外，最重要的應屬能量與時間之間的不確定性關係式。能量-時間不確定性關係式並不是羅伯森-薛定諤關係式的明顯後果。但是，在狹義相對論裡，四維動量是由能量與動量組成，而四維座標是由時間與位置組成，因此，很多早期的量子力學先驅認為能量-時間不確定性關係式成立：
可是，他們並不清楚t{displaystyle Delta t}t 的含意到底是什麼？在量子力學裡，時間扮演了三種不同角色：
1、時間是描述系統演化的參數，稱為“外在時間”，它是含時薛定諤方程的參數，可以用實驗室計時器來量度。
2、對於隨時間而演化的物理系統，時間可以用動態變數來定義或量度，稱為“內秉時間”。例如，單擺的週期性震盪，自由粒子的直線運動。
3、時間是一種可觀察量。在做衰變實驗時，衰變後粒子抵達偵測器的時刻，或衰變後粒子的飛行時間是很重要的資料，可以用來找到衰變事件的時間分佈。在這裡，時間可以視為可觀察量，稱為“可觀察時間”。
列夫·朗道曾經開玩笑說：“違反能量-時間不確定性很容易，我只需很精確地測量能量，然後緊盯著我的手錶就行了！” 儘管如此，愛因斯坦和玻爾很明白這關係式的啟發性意義：一個只能暫時存在的量子態，不能擁有明確的能量；為了要擁有明確的能量，必須很準確地測量量子態的頻率，這連帶地要求量子態持續很多週期。
例如，在光譜學裡，激發態（excited state）的壽命是有限的。根據能量-時間不確定性原理，激發態沒有明確的能量。每次衰變所釋放的能量都會稍微不同。發射出的光子的平均能量是量子態的理論能量，可是，能量分佈的峰寬是有限值，稱為自然線寬。
衰變快的量子態線寬比較寬闊；而衰變慢的量子態線寬比較狹窄。衰變快的量子態的線寬，因為比較寬闊，不確定性比較大。為了要得到清晰的能量，實驗者甚至會使用微波空腔來減緩衰變率。這線寬效應，使得對於測量衰變快粒子靜止品質的工作，也變得很困難。粒子衰變越快，它的品質的測量越不確定。
關於不確定性原理所引發的學術和哲學論戰至今還在持續。早些年愛因斯坦認為，不確定性原理顯示出波函數並沒有給出一個粒子的量子行為的完全描述；波函數只預測了一個粒子系統的概率性量子行為。玻爾則主張，波函數已經給出了關於一個粒子量子行為的描述，從波函數求得的概率分佈是基礎的，一個粒子只能擁有明確的位置或動量，不能同時擁有兩者。這是不確定性原理的真諦，如同俗語魚與熊掌不可兼得，一個粒子不能同時擁有明確的位置與明確的動量。兩位元物理大師的辯論，對於不確定性原理以及其所涉及的種種物理問題，延續了很多年。21世紀最初十年裡獲得的一些實驗結果對於不確定原理的適用範圍持嚴格懷疑態度。
在第二章中，我就介紹了EPR之爭，這與不確定性原理也有關係。所以大家回顧一下。 1935年，愛因斯坦、伯里斯·波多爾斯基、納森·羅森共同發表了EPR吊詭，分析兩個相隔很遠粒子的量子糾纏現象。愛因斯坦發覺，測量其中一個粒子A，會同時改變另外一個粒子B的概率分佈，但是，狹義相對論不允許資訊的傳播速度超過光速，測量一個粒子A，不應該暫態影響另外一個粒子B。這個佯謬促使玻爾對不確定性原理的認知做出很大的改變，他推斷不確定性並不是因直接測量動作而產生。
從這思想實驗，愛因斯坦獲得益愈深遠的結論。他相信一種“自然基礎假定”：對於物理實在的完備描述必須能夠用定域資料來預測實驗結果，因此，這描述所蘊含的資訊超過了不確定性原理（量子力學）的允許範圍，這意味著或許在完備描述裡存在了一些定域隱變數（hidden variable），而當今量子力學裡並不存在這些定域隱變數，他因此推斷量子力學並不完備。
1964年，約翰·貝爾對愛因斯坦的假定提出質疑。他認為可以嚴格檢驗這假定，因為，這假定意味著幾個不同實驗所測量獲得的概率必須滿足某種理論不等式。依照貝爾的提示，實驗者做了很多關於這佯謬的實驗，獲得的結果確認了量子力學的預測，因此似乎排除了定域隱變數的假定。但這不是故事的最後結局。雖然，仍可假定“非定域隱變數”給出了量子力學的預測。事實上，大衛·波姆就提出了這麼一種表述。對於大多數物理學家而言，這並不是一種令人滿意的詮釋。他們認為量子力學是正確的。
關於不確定性原理海森堡自己說過這樣一句話：“在因果律的陳述中，即‘若確切地知道現在，就能預見未來’，所得出的並不是結論，而是前提。我們不能知道現在的所有細節，是一種原則性的事情。”
我個人認為這句話深刻的揭示了，海森堡對於不確定性原理的認識是根本的。“我們不能知道現在的所有細節，這是一種原則性的事情。”即量子世界，甚至宇宙宏觀的非線性運動的確切性，不是我們可以把握的，不確定性原理是必然存在的。
但世界是確定的。可以有這個思想實驗，來理解。假若我們就是粒子本身，那麼世界就是確定的。位置和速度也是確定的。
有的同學會問了：“上面你介紹了這麼多，現在這麼多，是在開玩笑嗎？”
不，我嚴肅的說，我沒有開玩笑。量子力學中的粒子在任意時刻都有位置和動量，這是存在的！
我們的實驗使得我們知道這是存在的，但是是測不准的。好了，這就是我們要問的，也是上面反復已經提到的問題了。 為什麼測不准？原因是什麼？
最反復提到的就是測量的干擾，那麼如果我是粒子本身，干擾將剔除。
很多時候，不要以人類的思維來理解這個世界，而要以自然的思想來理解自然，粒子的思維來理解粒子世界，那麼一切都是清晰的。
但我們確實不是粒子本身，這就是我們不可把握的事情。這就是海森堡為什麼說：“我們不能知道現在的所有細節，這是一種原則性的事情。” 但並不是說，現在的所有的細節並不存在！
我還可以用這樣一句話來表述我的思想：“世界的確定性存在於我們的想像之中，不存在的現實之中。”
無論你相不相信，這個世界不是線性的。就像愛氏的場方程，為什麼很難得出一個確切解？ 量子世界為什麼測不准？ 如果你把這些不聯繫起來，認為這是偶然，那就失去了接近真相的機會了。
宇宙非線性波動和量子世界的非線性波動是有聯繫的，我們一定要這樣去寫方程。也就是說愛氏的“大統一”理論觀點是沒有錯的。科學研究的事實也證明，我們統一了很多原來認為是不同“場”。
現在只有引力沒有納入到這個“大統一”理論中來，我也分析過原因。就是時空背景的彎曲問題。在這裡就不細講，可以在我的科普書籍《變化》中看到。
我再次重申，世界是確定的，這是我們存在的意義；如果世界是不確定的，我們也將失去存在的意義座標。
現在來問大家一個問題：“一個粒子具有波粒二象性嗎？比如一個電子是波，還是粒子？”
各位如果你細心，其實玻爾和愛氏已經討論過了。即如下內容：愛因斯坦認為，不確定性原理顯示出波函數並沒有給出一個粒子的量子行為的完全描述；波函數只預測了一個粒子系統的概率性量子行為。玻爾則主張，波函數已經給出了關於一個粒子量子行為的描述，從波函數求得的概率分佈是基礎的，一個粒子只能擁有明確的位置或動量，不能同時擁有兩者。這是不確定性原理的真諦。
再問你一個問題：“最小的距離是多少？”你肯定沒有答案，因為人類沒有對這個做過定義。換個問題就是“多少距離的波長沒有波動性質？”“一米的繩子可以切多少次？”
所以電子是具有波粒二象性的。單個粒子也是波！這個有點不好想像。確實我也這麼認為，但還要這麼想！
甚至可以這樣表述：“一切具有運動性質的物質，都是具有波動性質的！”結果就是萬物都有波動性質！
這個思維大家要記住，這對後面介紹的很多章節的理解至關重要。
在本章的結尾，介紹一下海森堡創立不確定性原理的思路，以及和愛氏的對話。希望對大家有更多的啟發。
海森堡在創立矩陣力學時，對形象化的圖像採取否定態度。但他在表述中仍然需要使用“座標”、“速度”之類的詞彙，當然這些詞彙已經不再等同於經典理論中的那些詞彙。
可是，究竟應該怎樣理解這些詞彙新的物理意義呢？海森堡抓住雲室實驗中觀察電子徑跡的問題進行思考。他試圖用矩陣力學為電子徑跡作出數學表述，可是沒有成功。這使海森堡陷入困境。他反復考慮，意識到關鍵在於電子軌道的提法本身有問題。
人們看到的徑跡並不是電子的真正軌道，而是水滴串形成的霧跡，水滴遠比電子大，所以人們也許只能觀察到一系列電子的不確定的位置，而不是電子的準確軌道。因此，在量子力學中，一個電子只能以一定的不確定性處於某一位置，同時也只能以一定的不確定性具有某一速度。可以把這些不確定性限制在最小的範圍內，但不能等於零。這就是海森堡對不確定性最初的思考。
據海森伯晚年回憶，愛因斯坦1926年的一次談話啟發了他。愛因斯坦和海森堡討論可不可以考慮電子軌道時，曾質問過海森堡：“難道說你是認真相信只有可觀察量才應當進入物理理論嗎？”
對此海森堡答覆說：“你處理相對論不正是這樣的嗎？你曾強調過絕對時間是不許可的，僅僅是因為絕對時間是不能被觀察的。”愛因斯坦承認這一點，但又說：“一個人把實際觀察到的東西記在心裡，會有啟發性幫助的……在原則上試圖單靠可觀察量來建立理論，那是完全錯誤的。實際上恰恰相反，是理論決定我們能夠觀察到的東西……只有理論，即只有關於自然規律的知識，才能使我們從感覺印象推論出基本現象。”
海森堡在1927年的論文一開頭就說：“如果誰想要闡明‘一個物體的位置’（例如一個電子的位置）這個短語的意義，那麼他就要描述一個能夠測量‘電子位置’的實驗，否則這個短語就根本沒有意義。”海森堡在談到諸如位置與動量，或能量與時間這樣一些正則共軛量的不確定關係時說：“這種不確定性正是量子力學中出現統計關係的根本原因。”
生命在於運動，更在於探索。如果你看到了這裡，你一定跟著本文的思路，想了很多我沒有想到的問題。恭喜你，你想到了！
摘自獨立學者，詩人，作家，國學起名師靈遁者量子力學科普書籍《見微知著》
交流互動：lingdunzhe。
則越不精確地知道動量，反之亦然。不確定性原理能夠直接地詮釋位置與動量的正則對易關係：假若測量位置不會攪擾動量，測量動量不會攪擾位置，則測量位置與動量不需要顧慮到先後關係，位置與動量的正則對易關係會變為：
除了位置-動量不確定性關係式以外，最重要的應屬能量與時間之間的不確定性關係式。能量-時間不確定性關係式並不是羅伯森-薛定諤關係式的明顯後果。但是，在狹義相對論裡，四維動量是由能量與動量組成，而四維座標是由時間與位置組成，因此，很多早期的量子力學先驅認為能量-時間不確定性關係式成立：
可是，他們並不清楚t{displaystyle Delta t}t 的含意到底是什麼？在量子力學裡，時間扮演了三種不同角色：
1、時間是描述系統演化的參數，稱為“外在時間”，它是含時薛定諤方程的參數，可以用實驗室計時器來量度。
2、對於隨時間而演化的物理系統，時間可以用動態變數來定義或量度，稱為“內秉時間”。例如，單擺的週期性震盪，自由粒子的直線運動。
3、時間是一種可觀察量。在做衰變實驗時，衰變後粒子抵達偵測器的時刻，或衰變後粒子的飛行時間是很重要的資料，可以用來找到衰變事件的時間分佈。在這裡，時間可以視為可觀察量，稱為“可觀察時間”。
列夫·朗道曾經開玩笑說：“違反能量-時間不確定性很容易，我只需很精確地測量能量，然後緊盯著我的手錶就行了！” 儘管如此，愛因斯坦和玻爾很明白這關係式的啟發性意義：一個只能暫時存在的量子態，不能擁有明確的能量；為了要擁有明確的能量，必須很準確地測量量子態的頻率，這連帶地要求量子態持續很多週期。
例如，在光譜學裡，激發態（excited state）的壽命是有限的。根據能量-時間不確定性原理，激發態沒有明確的能量。每次衰變所釋放的能量都會稍微不同。發射出的光子的平均能量是量子態的理論能量，可是，能量分佈的峰寬是有限值，稱為自然線寬。
衰變快的量子態線寬比較寬闊；而衰變慢的量子態線寬比較狹窄。衰變快的量子態的線寬，因為比較寬闊，不確定性比較大。為了要得到清晰的能量，實驗者甚至會使用微波空腔來減緩衰變率。這線寬效應，使得對於測量衰變快粒子靜止品質的工作，也變得很困難。粒子衰變越快，它的品質的測量越不確定。
關於不確定性原理所引發的學術和哲學論戰至今還在持續。早些年愛因斯坦認為，不確定性原理顯示出波函數並沒有給出一個粒子的量子行為的完全描述；波函數只預測了一個粒子系統的概率性量子行為。玻爾則主張，波函數已經給出了關於一個粒子量子行為的描述，從波函數求得的概率分佈是基礎的，一個粒子只能擁有明確的位置或動量，不能同時擁有兩者。這是不確定性原理的真諦，如同俗語魚與熊掌不可兼得，一個粒子不能同時擁有明確的位置與明確的動量。兩位元物理大師的辯論，對於不確定性原理以及其所涉及的種種物理問題，延續了很多年。21世紀最初十年裡獲得的一些實驗結果對於不確定原理的適用範圍持嚴格懷疑態度。
在第二章中，我就介紹了EPR之爭，這與不確定性原理也有關係。所以大家回顧一下。 1935年，愛因斯坦、伯里斯·波多爾斯基、納森·羅森共同發表了EPR吊詭，分析兩個相隔很遠粒子的量子糾纏現象。愛因斯坦發覺，測量其中一個粒子A，會同時改變另外一個粒子B的概率分佈，但是，狹義相對論不允許資訊的傳播速度超過光速，測量一個粒子A，不應該暫態影響另外一個粒子B。這個佯謬促使玻爾對不確定性原理的認知做出很大的改變，他推斷不確定性並不是因直接測量動作而產生。
從這思想實驗，愛因斯坦獲得益愈深遠的結論。他相信一種“自然基礎假定”：對於物理實在的完備描述必須能夠用定域資料來預測實驗結果，因此，這描述所蘊含的資訊超過了不確定性原理（量子力學）的允許範圍，這意味著或許在完備描述裡存在了一些定域隱變數（hidden variable），而當今量子力學裡並不存在這些定域隱變數，他因此推斷量子力學並不完備。
1964年，約翰·貝爾對愛因斯坦的假定提出質疑。他認為可以嚴格檢驗這假定，因為，這假定意味著幾個不同實驗所測量獲得的概率必須滿足某種理論不等式。依照貝爾的提示，實驗者做了很多關於這佯謬的實驗，獲得的結果確認了量子力學的預測，因此似乎排除了定域隱變數的假定。但這不是故事的最後結局。雖然，仍可假定“非定域隱變數”給出了量子力學的預測。事實上，大衛·波姆就提出了這麼一種表述。對於大多數物理學家而言，這並不是一種令人滿意的詮釋。他們認為量子力學是正確的。
關於不確定性原理海森堡自己說過這樣一句話：“在因果律的陳述中，即‘若確切地知道現在，就能預見未來’，所得出的並不是結論，而是前提。我們不能知道現在的所有細節，是一種原則性的事情。”
我個人認為這句話深刻的揭示了，海森堡對於不確定性原理的認識是根本的。“我們不能知道現在的所有細節，這是一種原則性的事情。”即量子世界，甚至宇宙宏觀的非線性運動的確切性，不是我們可以把握的，不確定性原理是必然存在的。
但世界是確定的。可以有這個思想實驗，來理解。假若我們就是粒子本身，那麼世界就是確定的。位置和速度也是確定的。
有的同學會問了：“上面你介紹了這麼多，現在這麼多，是在開玩笑嗎？”
不，我嚴肅的說，我沒有開玩笑。量子力學中的粒子在任意時刻都有位置和動量，這是存在的！
我們的實驗使得我們知道這是存在的，但是是測不准的。好了，這就是我們要問的，也是上面反復已經提到的問題了。 為什麼測不准？原因是什麼？
最反復提到的就是測量的干擾，那麼如果我是粒子本身，干擾將剔除。
很多時候，不要以人類的思維來理解這個世界，而要以自然的思想來理解自然，粒子的思維來理解粒子世界，那麼一切都是清晰的。
但我們確實不是粒子本身，這就是我們不可把握的事情。這就是海森堡為什麼說：“我們不能知道現在的所有細節，這是一種原則性的事情。” 但並不是說，現在的所有的細節並不存在！
我還可以用這樣一句話來表述我的思想：“世界的確定性存在於我們的想像之中，不存在的現實之中。”
無論你相不相信，這個世界不是線性的。就像愛氏的場方程，為什麼很難得出一個確切解？ 量子世界為什麼測不准？ 如果你把這些不聯繫起來，認為這是偶然，那就失去了接近真相的機會了。
宇宙非線性波動和量子世界的非線性波動是有聯繫的，我們一定要這樣去寫方程。也就是說愛氏的“大統一”理論觀點是沒有錯的。科學研究的事實也證明，我們統一了很多原來認為是不同“場”。
現在只有引力沒有納入到這個“大統一”理論中來，我也分析過原因。就是時空背景的彎曲問題。在這裡就不細講，可以在我的科普書籍《變化》中看到。
我再次重申，世界是確定的，這是我們存在的意義；如果世界是不確定的，我們也將失去存在的意義座標。
現在來問大家一個問題：“一個粒子具有波粒二象性嗎？比如一個電子是波，還是粒子？”
各位如果你細心，其實玻爾和愛氏已經討論過了。即如下內容：愛因斯坦認為，不確定性原理顯示出波函數並沒有給出一個粒子的量子行為的完全描述；波函數只預測了一個粒子系統的概率性量子行為。玻爾則主張，波函數已經給出了關於一個粒子量子行為的描述，從波函數求得的概率分佈是基礎的，一個粒子只能擁有明確的位置或動量，不能同時擁有兩者。這是不確定性原理的真諦。
再問你一個問題：“最小的距離是多少？”你肯定沒有答案，因為人類沒有對這個做過定義。換個問題就是“多少距離的波長沒有波動性質？”“一米的繩子可以切多少次？”
所以電子是具有波粒二象性的。單個粒子也是波！這個有點不好想像。確實我也這麼認為，但還要這麼想！
甚至可以這樣表述：“一切具有運動性質的物質，都是具有波動性質的！”結果就是萬物都有波動性質！
這個思維大家要記住，這對後面介紹的很多章節的理解至關重要。
在本章的結尾，介紹一下海森堡創立不確定性原理的思路，以及和愛氏的對話。希望對大家有更多的啟發。
海森堡在創立矩陣力學時，對形象化的圖像採取否定態度。但他在表述中仍然需要使用“座標”、“速度”之類的詞彙，當然這些詞彙已經不再等同於經典理論中的那些詞彙。
可是，究竟應該怎樣理解這些詞彙新的物理意義呢？海森堡抓住雲室實驗中觀察電子徑跡的問題進行思考。他試圖用矩陣力學為電子徑跡作出數學表述，可是沒有成功。這使海森堡陷入困境。他反復考慮，意識到關鍵在於電子軌道的提法本身有問題。
人們看到的徑跡並不是電子的真正軌道，而是水滴串形成的霧跡，水滴遠比電子大，所以人們也許只能觀察到一系列電子的不確定的位置，而不是電子的準確軌道。因此，在量子力學中，一個電子只能以一定的不確定性處於某一位置，同時也只能以一定的不確定性具有某一速度。可以把這些不確定性限制在最小的範圍內，但不能等於零。這就是海森堡對不確定性最初的思考。
據海森伯晚年回憶，愛因斯坦1926年的一次談話啟發了他。愛因斯坦和海森堡討論可不可以考慮電子軌道時，曾質問過海森堡：“難道說你是認真相信只有可觀察量才應當進入物理理論嗎？”
對此海森堡答覆說：“你處理相對論不正是這樣的嗎？你曾強調過絕對時間是不許可的，僅僅是因為絕對時間是不能被觀察的。”愛因斯坦承認這一點，但又說：“一個人把實際觀察到的東西記在心裡，會有啟發性幫助的……在原則上試圖單靠可觀察量來建立理論，那是完全錯誤的。實際上恰恰相反，是理論決定我們能夠觀察到的東西……只有理論，即只有關於自然規律的知識，才能使我們從感覺印象推論出基本現象。”
海森堡在1927年的論文一開頭就說：“如果誰想要闡明‘一個物體的位置’（例如一個電子的位置）這個短語的意義，那麼他就要描述一個能夠測量‘電子位置’的實驗，否則這個短語就根本沒有意義。”海森堡在談到諸如位置與動量，或能量與時間這樣一些正則共軛量的不確定關係時說：“這種不確定性正是量子力學中出現統計關係的根本原因。”
生命在於運動，更在於探索。如果你看到了這裡，你一定跟著本文的思路，想了很多我沒有想到的問題。恭喜你，你想到了！
摘自獨立學者，詩人，作家，國學起名師靈遁者量子力學科普書籍《見微知著》
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