今天， 我們故事的主角是
這是一個不等式， 稱為塔珀自指公式， 是 2001 年 Jeff Tupple 發現的。 其中 ⌊·⌋ 叫做地板函數， 表示不大於 n 的最大整數， 比如
mod (a, b) 表示 a 除以 b 的餘數。 這種計算叫做模除， 比如 mod (8, 3) = 2。
如何利用塔珀自指公式進行畫圖呢？想像在直角坐標系裡劃出一系列小方格， 小方格邊長為 1， 如下圖所示。
左下小方格的座標為 (0, 0)， 其右邊相鄰的小方格的座標為 (1, 0)， 上邊相鄰的小方格座標為 (0, 1)， 其他小方格的座標以此類推。 x 的取值範圍是 [0, 105]， 即有 106 列方格。 畫圖需要 17 行方格， y 取值範圍是 [N, N+17), N 的具體值視具體要畫的圖而定。
將每個方格的座標帶入塔珀自指公式中， 如果不等式成立， 則將方格塗色；如果不等式不成立， 則不塗色。 我們發現居然可以將塔珀自指公式畫出來， 如下圖所示。
這裡我們玩了一個小把戲， 看上去圖中坐標軸如此乾淨， 實際上對應的 N 是個 544 位的數。
4858450636755315833144376495077387875434778047004800790770568186826854913387409480464319898086711955985226348628612592051572519203470384822977841686502813772341550071665222699610986913584247968836587062537370855964358217842804787221369694768139834972825707334012973770469504608444468078490191108987622691041618529314068404487537214619861255268382593637759805767813182770282392391246557259902123607466665214555983376497884240296412850594337074481185057142090603575984621508637348804068112129087015225053994512537667043573283090413808140105325068
這個不等式居然也可以畫出數學中最有名的歐拉恒等式，
對應的 N 為
2352035939949658122140829649197960929306974813625028263292934781954073595495544614140648457342461564887325223455620804204796011434955111022376601635853210476633318991990462192687999109308209472315419713652238185967518731354596984676698288025582563654632501009155760415054499960
由此可見， 想要用塔珀自指公式公式作圖的話， 需要先知道 N。 如何求 N 呢？步驟如下
選定一張圖元為 106 × 17 的圖片。
考察每個圖元， 如果圖元著色， 標記上 1， 如果沒有著色， 標記上 0。
從左下角向上， 將每個圖元標記的1或0依次寫下來， 把標記的1和0依次排列起來， 依次記下第一列 1、0 序列， 然後記錄第二列， 也是從底部向上開始記錄。 然後依同樣方法， 依次記錄第三列、第四列、……， 一直到第 17 列， 最後得到一個 1802 位的二進位數字。
將此 1802 位的二進位數字轉換成 10 進制數， 將所得之數乘以 17， 就是我們要求的 N。
這個過程還是比較麻煩的， 好在有人給我們做好了現成的工具， 點點滑鼠動動手指就能畫圖了， 如Tupper-Formula。
小編也用這個寫了個公式，
3985251445257308245656705519942908635259414216681944184779466066046496016413939313051343313781218785736477061437329834731616187057286366848995884672719953255119104515471501281741786223347102573242236494530768336943043244883279040541173481472
翻譯：翟立建