2000年5月24日美國克雷數學研究所公佈的7個數學難題。 根據克雷數學研究所制定的規則， 這一系列挑戰不限時間， 題解只要經過各方驗證， 一般是兩年驗證期和專家小組審核， 為了鼓勵大家；每解破一題可獲獎金100萬美元， 總獎金700萬美元。
因為這7道題目是2000年發佈的， 所有又稱千禧年七大難題。 至今有效。 怎麼樣心動不？那麼就來看看題目吧?
用歐拉圖表示P/NP複雜度類的關係
在理論電腦科學中， 複雜度類P指所有可由確定型圖靈機在多項式時間內解決的問題， 類NP是所有可在多項式時間內驗證解的正確性的問題。 這裡所謂“多項式時間”指的是求解演算法執行時間至多是輸入規模的多項式函數。 粗略地說， P類問題是可以在電腦上快速求解的問題， 而對NP問題則可快速確定某個可能的解是否正確。 可以看出P類問題也是NP類問題， 而兩者是否完全相等便是P/NP問題，
P/NP不單是一個抽象的數學難題；若得以解決，
它在運籌學和密碼學等應用領域也將有重大影響，
此外還被認為具有特別的哲學意義。
數學的一大分支代數幾何的中心研究物件是代數簇， 簡言之它是由代數方程產生的代數物件， 是幾何物件的推廣， 人們所熟知的任何幾何物件（如圓）都是一個代數簇， 但並非所有代數簇都是幾何的、可以直觀描繪的。 在此一猜想中， 代數幾何學家關心的是非奇異射影代數簇， 粗略而言它是一個光滑的多維曲面， 由代數方程解定義產生。 霍奇猜想所說的是在這種“形狀完美”的代數簇上， 本可能不是幾何對象的霍奇閉鏈（Hodge cycle）卻是由一種名為代數閉鏈的幾何物件組成的。
蘇格蘭數學家威廉·霍奇在1950年公佈猜想後不久， 唐納德·斯賓塞和小平邦彥便為其中一種簡單情況做出了證明。 近年來的研究方向分為兩支：美國數學家菲力浦·格里菲斯等人嘗試將這一猜想化約為霍奇類匯出的多元可容正規函數的奇點存在性問題，
這位就是“胡思亂想”的霍奇
黎曼ζ函數實部與虛部的數值比較圖。
有些數具有特殊的屬性， 它們不能被表示為兩個較小的數字的乘積， 如2， 3， 5， 7， 等等。 這樣的數稱為素數（或質數）， 在純數學和應用數學領域， 它們發揮了重要的作用。 所有的自然數中的素數的分佈並不遵循任何規律。 然而， 德國數學家G.F.B. Riemann（G.F.B.黎曼）（1826—1866）觀察到， 素數的頻率與一個複雜的函數密切相關。
ζ（s）= 1 + 1 / 2S+ 1 / 3S+ 1 / 4S+…被稱為黎曼Zeta函數。 黎曼猜想認為所有素數都可以表示為一個函數。
ζ（s）= 0位於一條垂直直線上
黎曼猜想是和希爾伯特的23個問題唯一一個共同的問題， 是150年來一直吸引著數學家的難題， 對它的研究極大推動了解析數論的發展。 有分析和數值上的證據支持黎曼猜想是正確的。 例如， 1914年哈代證明了ζ函數有無限多個零點的實部等於1/2，1989年布萊恩·康瑞（Brian Conrey）證明了ζ函數全部零點中有2/5位於臨界線上，2012年這一結果被提升到了41.28%。2004年，數學家通過電腦驗證了ζ函數前1013個零點，沒有找到黎曼猜想反例，但這些離真正證明黎曼猜想仍相去甚遠。
楊-米爾斯存在性與品質間隙在物理學中，楊-米爾斯理論是一種基於非阿貝爾群的量子規範理論。20世紀初，物理學家期待量子理論和經典場論兩種思想可以融合。在這一方向上，最早出現的理論是英國物理學家保羅·狄拉克1927年創立的量子電動力學，簡稱QED，它提供了對電磁現象的量子描述，成為麥克斯韋理論的一個量子版本，能極為精確地解釋電磁場和電磁力。自然而然的，物理學家期待後續的理論能將電磁現象與弱力和強力一道統一起來。1954年楊振寧和羅伯特·米爾斯提出了楊-米爾斯理論，它是對QED的進一步推廣。在此基礎上統一電磁力和強弱相互作用時，物理學家發現這一理論的“無品質性”成為癥結所在。經典楊-米爾斯理論的核心是一組非線性偏微分方程，楊-米爾斯存在性與品質間隙難題旨在證明楊-米爾斯方程組有唯一解，並且該解滿足“品質間隙”這一特徵，其官方表述為：對任意緊致、單的規範群，四維歐幾裡得空間中的量子楊-米爾斯理論存在一個正的品質間隙。品質間隙問題是量子色動力學理解強相互作用的理論關鍵，關乎理論物理學的數學基礎，其解決將意味著一個數學上完整的量子規範場論的產生。
現今使用的楊-米爾斯理論是1954年我國著名物理學家楊振寧與美國物理學家羅伯特·米爾斯寫下了。
2015年4月1日，楊振寧放棄美國國籍正式成為中國公民。
楊振寧
納維-斯托克斯存在性與光滑性納維－斯托克斯方程是流體力學的重要方程，可以描述空間中流體（液體或氣體）的運動。納維－斯托克斯方程的解可以用到許多實務應用的領域中。不過對於納維－斯托克斯方程解的理論研究仍然不足，尤其納維－斯托克斯方程的解常會包括紊流。雖然紊流在科學及工程中非常的重要，不過紊流仍是未解決的物理學問題之一。
許多納維－斯托克斯方程解的基本性質都尚未被證明。例如數學家就尚未證明在三維座標，特定的初始條件下，納維－斯托克斯方程是否有符合光滑性的解。也尚未證明若這様的解存在時，其動能有其上下界，這就是“納維-斯托克斯存在性與光滑性”問題。
由於瞭解納維－斯托克斯方程被視為是瞭解難以捉摸的紊流現象的第一步，克雷數學研究所在提供了美金一百萬的獎金給第一個提供紊流現象相關資訊的人，而不是給第一個創建紊流理論的人。基於上述的想法，克雷數學研究所設定了以下具體的數學問題
證明或反證以下的敘述：
在三維的空間及時間下，給定一啟始的速度場，存在一向量的速度場及標量的壓強場，為納維－斯 托克斯方程的解，其中速度場及壓強場需滿足光滑及全域定義的特性。
克勞德-路易·納維
貝赫和斯維訥通-戴爾猜想數學家總是被諸如
那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題著迷。歐幾裡德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對於更為複雜的方程，這就變得極為困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇（Yu.V.Matiyasevich）指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個整數解。當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認為，有理點的群的大小與一個有關的蔡塔函數z(s）在點s=1附近的性態。特別是，這個有趣的猜想認為，如果z⑴等於0，那麼存在無限多個有理點（解），相反，如果z⑴不等於0，那麼只存在有限多個這樣的點。
龐加萊猜想 已經被解答了在拓撲學的意義上，一個二維球面是緊致且單連通的。通俗地說，這意味著球面不會無限延伸，並且其上任意一個閉合的圈都可被收緊至一點。龐加萊猜想考慮的是更高維的情況：一個閉的三維空間，若其上的每條閉曲線都可以連續收縮到一個點，那麼拓撲地看，這個空間是否就是球面。它的數學陳述為：一個單連通三維閉流形同胚於三維球面。這一猜想是三維流形的分類問題的核心。1962年，斯蒂芬·斯梅爾證明了龐加萊猜想在五維以上的等價結論，四維的情況則在二十年後被邁克爾·弗裡德曼證明，但數學界始終對三維流形束手無策，而我們所處的宇宙是一個三維流形，更顯現出問題的重要。
該圖展現了一個二維球面上的環收緊到了一個點。
2003年，俄羅斯數學家格裡戈裡·佩雷爾曼在互聯網貼出了完整證明，先後有兩篇文章，但文字簡略且原創性極強，數學界經過近三年才完成校驗。
這麼樣？這一百萬美金不好掙吧！不要解答了就問你看懂了嗎？
1914年哈代證明了ζ函數有無限多個零點的實部等於1/2，1989年布萊恩·康瑞（Brian Conrey）證明了ζ函數全部零點中有2/5位於臨界線上，2012年這一結果被提升到了41.28%。2004年，數學家通過電腦驗證了ζ函數前1013個零點，沒有找到黎曼猜想反例，但這些離真正證明黎曼猜想仍相去甚遠。
楊-米爾斯存在性與品質間隙在物理學中，楊-米爾斯理論是一種基於非阿貝爾群的量子規範理論。20世紀初，物理學家期待量子理論和經典場論兩種思想可以融合。在這一方向上，最早出現的理論是英國物理學家保羅·狄拉克1927年創立的量子電動力學，簡稱QED，它提供了對電磁現象的量子描述，成為麥克斯韋理論的一個量子版本，能極為精確地解釋電磁場和電磁力。自然而然的，物理學家期待後續的理論能將電磁現象與弱力和強力一道統一起來。1954年楊振寧和羅伯特·米爾斯提出了楊-米爾斯理論，它是對QED的進一步推廣。在此基礎上統一電磁力和強弱相互作用時，物理學家發現這一理論的“無品質性”成為癥結所在。經典楊-米爾斯理論的核心是一組非線性偏微分方程，楊-米爾斯存在性與品質間隙難題旨在證明楊-米爾斯方程組有唯一解，並且該解滿足“品質間隙”這一特徵，其官方表述為：對任意緊致、單的規範群，四維歐幾裡得空間中的量子楊-米爾斯理論存在一個正的品質間隙。品質間隙問題是量子色動力學理解強相互作用的理論關鍵，關乎理論物理學的數學基礎，其解決將意味著一個數學上完整的量子規範場論的產生。
現今使用的楊-米爾斯理論是1954年我國著名物理學家楊振寧與美國物理學家羅伯特·米爾斯寫下了。
2015年4月1日，楊振寧放棄美國國籍正式成為中國公民。
楊振寧
納維-斯托克斯存在性與光滑性納維－斯托克斯方程是流體力學的重要方程，可以描述空間中流體（液體或氣體）的運動。納維－斯托克斯方程的解可以用到許多實務應用的領域中。不過對於納維－斯托克斯方程解的理論研究仍然不足，尤其納維－斯托克斯方程的解常會包括紊流。雖然紊流在科學及工程中非常的重要，不過紊流仍是未解決的物理學問題之一。
許多納維－斯托克斯方程解的基本性質都尚未被證明。例如數學家就尚未證明在三維座標，特定的初始條件下，納維－斯托克斯方程是否有符合光滑性的解。也尚未證明若這様的解存在時，其動能有其上下界，這就是“納維-斯托克斯存在性與光滑性”問題。
由於瞭解納維－斯托克斯方程被視為是瞭解難以捉摸的紊流現象的第一步，克雷數學研究所在提供了美金一百萬的獎金給第一個提供紊流現象相關資訊的人，而不是給第一個創建紊流理論的人。基於上述的想法，克雷數學研究所設定了以下具體的數學問題
證明或反證以下的敘述：
在三維的空間及時間下，給定一啟始的速度場，存在一向量的速度場及標量的壓強場，為納維－斯 托克斯方程的解，其中速度場及壓強場需滿足光滑及全域定義的特性。
克勞德-路易·納維
貝赫和斯維訥通-戴爾猜想數學家總是被諸如
那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題著迷。歐幾裡德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對於更為複雜的方程，這就變得極為困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇（Yu.V.Matiyasevich）指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個整數解。當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認為，有理點的群的大小與一個有關的蔡塔函數z(s）在點s=1附近的性態。特別是，這個有趣的猜想認為，如果z⑴等於0，那麼存在無限多個有理點（解），相反，如果z⑴不等於0，那麼只存在有限多個這樣的點。
龐加萊猜想 已經被解答了在拓撲學的意義上，一個二維球面是緊致且單連通的。通俗地說，這意味著球面不會無限延伸，並且其上任意一個閉合的圈都可被收緊至一點。龐加萊猜想考慮的是更高維的情況：一個閉的三維空間，若其上的每條閉曲線都可以連續收縮到一個點，那麼拓撲地看，這個空間是否就是球面。它的數學陳述為：一個單連通三維閉流形同胚於三維球面。這一猜想是三維流形的分類問題的核心。1962年，斯蒂芬·斯梅爾證明了龐加萊猜想在五維以上的等價結論，四維的情況則在二十年後被邁克爾·弗裡德曼證明，但數學界始終對三維流形束手無策，而我們所處的宇宙是一個三維流形，更顯現出問題的重要。
該圖展現了一個二維球面上的環收緊到了一個點。
2003年，俄羅斯數學家格裡戈裡·佩雷爾曼在互聯網貼出了完整證明，先後有兩篇文章，但文字簡略且原創性極強，數學界經過近三年才完成校驗。
這麼樣？這一百萬美金不好掙吧！不要解答了就問你看懂了嗎？