從數學解題思維出發，解密高考機器人的工作原理
最近頻繁看到機器人參加高考的消息，學校教育培養的人才還不如一個機器的報導甚囂，且塵上矣。筆者不才，從事十幾年教學和教育技術研究，對機器人參加高考的宣傳報導怎麼興趣蕩然無存呢。
近期的一則報導說高考機器人數學成績以93分收場，我們研究高考數學試卷可以知道基礎分數為90分，
首先是應用問題導向，主要應用是已有的模型和方法解決一些實際問題，
其次是應用問題的需要，提出和發展模型、方法和演算法以及研究支撐它的數學原理或者理論基礎等，這是核心；
第三就是通過推理達到某種智慧。資料採擷接近於資料端，機器學習接近于智慧端。
《高中數學課程標準》指出，高中數學應注意提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一。學生們在學習數學和運用數學解決問題時，
我談一下學生學習知識的解題邏輯和思維經歷。
數學題與數學解題中學生接觸最多的是狹義標準化上的數學題，說到標準包括兩個基本要素：條件（已知條件，題幹條件），結論（未知，
《數學解題學引論》中認為數學解題的資訊過程包括這樣一個“三位一體”的工作。
有用捕捉：從理解題意中捕捉有用的資訊，
有關提取：即在“有用捕捉”的刺激下，通過回想而從記憶儲存中提取有關的資訊，圖示知識：定理、公式、基本模式、解題經驗等解題依據或解題憑藉。良好的認知結構和機智的策略選擇是連續提取、不斷捕捉的基礎。
有效組合：將“有用捕捉”和“有關提取”兩組資訊進行有效組合。邏輯思維能力是有效組合的基礎，而“邏輯結構”是否有效，其基本要求應能說服自己、說服論敵。
這三個步驟往復迴圈，依資訊的回饋而由大腦來調節，解題資訊過程如圖1所示：
從資訊理論的觀點分析例1的解題過程，則是兩個維度上相關資訊的有效組合，即從理解題意中捕捉有用的資訊，從記憶中提取有關的資訊，並把這兩組資訊組成一個和諧的邏輯結構。
可見，數學解題的思維過程是一個“三位一體”的工作．
例1的分析充分體現瞭解題者的思維過程，也正是解題教學中教師應該向學生充分展示的過程。因為例1的難度不大，甚至還能“簡單模仿”，但是很難讓學生上升到“自發領悟”和“自覺分析”的頓悟層次，對提高學生解題能力起不了多大作用。
對解題方法與策略的認識1）解題方法
這裡說的解題方法，是指中學階段用於解答數學題的方法。此處將其分為3類，分別為具有創立學科功能的方法，體現一般思維規律的方法，具體進行論證演算的方法。
具有創立學科功能的方法。如公理化方法、模型化方法、化歸方法、結構化方法，以及集合論方法、極限方法、座標方法、向量方法等。在具體解題中，具有統率全域的作用。
體現一般思維規律的方法。如觀察、試驗、比較、分類、猜想、類比、聯想、歸納、演繹、分析、綜合等。在具體解題中，有通理通法、適應面廣的特徵，常用于解題思路的探求。
具體進行論證演算的方法。這又可以依其適應面分為兩個層次，第一層次是適應面較廣的求解方法，如消元法、換元法、降次法、待定係數法、反證法、同一法、數學歸納法（及遞推法）、座標法、三角法、數形結合法、構造法、配方法等；第二層次是適應面較窄的求解技巧，如因式分解中的“裂項法”，函數作圖中的“描點法”，以及三角函數作圖中的“五點法”，幾何證明中的“截長補短法”、“補形法”，數列求和中的“裂項相消法”“倒序求和”“錯位相減法”等。
僅僅是不等式的證明，我們就可以列舉出一長串的解法或技巧：比較法、放縮法、綜合法、分析法、遞推法、反證法、基本不等式法、疊加法、連乘法、數學歸納法、判別式法、求極值法、配方法、輔助函數法、構造法、微分法等，而微分法又可以有求極值、確定單調性、中值定理等形式。
2） 解題策略
注重解題策略的研究已經構成中國解題的一個特色，它可以看成是對波利亞現代啟發性解題策略研究的繼承與發展，徐利治教授提出的RMI原理是這方面工作的傑出代表。
策略是指導行動的方針，同時也是增強效果、提高效率的藝術，它區別於具體的途徑或方式。數學解題的策略是為了實現解題目標而採取的方針。解題策略的思維基礎是邏輯思維、形象思維、直覺思維的共同作用，離開邏輯是不行的，單靠邏輯是不夠的。
解題策略介於具體的求解方法與抽象的解題思想之間，是思想轉化為操作的橋樑，一方面它是用來具體指導解題的方法，另一方面它又是運用解題方法的方法、尋找解題方法的方法、創造解題方法的方法。
如果把解題策略理解為選擇與組合的一系列規則，那麼這些規則應該具有迅速找到較優解題操作的基本功能，能夠減少嘗試或失敗的次數，能夠節省探索的時間和縮短解題的長度，體現出選擇的機智和組合的藝術。
總之解題思維是來自身體經驗的，並非來自語言和文字標籤，語言也是來自身體經驗的。但是智力越發展，語言的重要性也越大。
假如例1題變式為：向量OA座標為（3,4），按照逆時針方向旋轉135°到向量OB，求B點座標。
按照三位一體的思維理論，學生很容易通過向量和兩角和與差的余弦定理去建立解題邏輯。而機器人的所謂神經網路學習模式攫取的底層標籤都是向量相關的，解題邏輯的建立就太難了。
機器學習的認知邏輯是如果涉及“認知發生”，各種導圖、圖譜統統都是無效的。不涉及“認知發生”時，圖譜、導圖在一些教學場景下能提供僅僅部分有效的支援。比如：“認知發生”是指“你不能想像吃米飯的動作，你就無法理解啥叫吃米飯”。也即：如果要讓學生理解“吃米飯”這一邏輯的前提是，學生能想像“吃米飯動作”這一身體經驗。當我們沒有直接的“吃米飯”的經驗，但是有“吃”的經驗以及“大米”的經驗時，語言可以協助我們想像“吃米飯”的經驗。這種“概念拼裝”可能會有部分的“失真”，但確實是可以促進的。這也就是“教”的意義。在複雜認知技能的有效學習方面，模擬任務環境中的重要性，心理逼真度>功能逼真度>物理逼真度。
學習分析資料模型
高考機器人意在通過整合最先進的人工智慧技術，檢驗人工智慧可在多大程度上模擬人類思考以及解決問題的能力，希望用自我調整的方式説明K12階段的學生學習。有些公司通過手機App的拍照搜題，線上一對一等多種管道進行資料收集，這些資料包含學生在做題、考試等應用場景中的種種行為表現，充其量是記憶平臺用來檢測，而非創造性思維。對此，有業內人士表示，高考機器人能在多大程度上落地值得商榷，像有的互聯網巨頭也在投入巨額資金做人工智慧，但是離社會化應用和行業應用還有很長的路要走。更不要借用“高考機器人”和機器人可以考上一本的噱頭去迎合部分人心理，機器短期內適應不了原創題高考的選拔性考試。
【參考文獻】感謝北京大學概率統計系張志華教授、常象宇博士論文資料等等。
統計制度《機器學習：統計與計算之戀》《中國電腦學會通訊》
《教育資料採擷》2012年12月出版，張少剛，魏順平博士
《深度學習的7種有力策略》（美）艾瑞克尼克爾森
有效組合：將“有用捕捉”和“有關提取”兩組資訊進行有效組合。邏輯思維能力是有效組合的基礎，而“邏輯結構”是否有效，其基本要求應能說服自己、說服論敵。
這三個步驟往復迴圈，依資訊的回饋而由大腦來調節，解題資訊過程如圖1所示：
從資訊理論的觀點分析例1的解題過程，則是兩個維度上相關資訊的有效組合，即從理解題意中捕捉有用的資訊，從記憶中提取有關的資訊，並把這兩組資訊組成一個和諧的邏輯結構。
可見，數學解題的思維過程是一個“三位一體”的工作．
例1的分析充分體現瞭解題者的思維過程，也正是解題教學中教師應該向學生充分展示的過程。因為例1的難度不大，甚至還能“簡單模仿”，但是很難讓學生上升到“自發領悟”和“自覺分析”的頓悟層次，對提高學生解題能力起不了多大作用。
對解題方法與策略的認識1）解題方法
這裡說的解題方法，是指中學階段用於解答數學題的方法。此處將其分為3類，分別為具有創立學科功能的方法，體現一般思維規律的方法，具體進行論證演算的方法。
具有創立學科功能的方法。如公理化方法、模型化方法、化歸方法、結構化方法，以及集合論方法、極限方法、座標方法、向量方法等。在具體解題中，具有統率全域的作用。
體現一般思維規律的方法。如觀察、試驗、比較、分類、猜想、類比、聯想、歸納、演繹、分析、綜合等。在具體解題中，有通理通法、適應面廣的特徵，常用于解題思路的探求。
具體進行論證演算的方法。這又可以依其適應面分為兩個層次，第一層次是適應面較廣的求解方法，如消元法、換元法、降次法、待定係數法、反證法、同一法、數學歸納法（及遞推法）、座標法、三角法、數形結合法、構造法、配方法等；第二層次是適應面較窄的求解技巧，如因式分解中的“裂項法”，函數作圖中的“描點法”，以及三角函數作圖中的“五點法”，幾何證明中的“截長補短法”、“補形法”，數列求和中的“裂項相消法”“倒序求和”“錯位相減法”等。
僅僅是不等式的證明，我們就可以列舉出一長串的解法或技巧：比較法、放縮法、綜合法、分析法、遞推法、反證法、基本不等式法、疊加法、連乘法、數學歸納法、判別式法、求極值法、配方法、輔助函數法、構造法、微分法等，而微分法又可以有求極值、確定單調性、中值定理等形式。
2） 解題策略
注重解題策略的研究已經構成中國解題的一個特色，它可以看成是對波利亞現代啟發性解題策略研究的繼承與發展，徐利治教授提出的RMI原理是這方面工作的傑出代表。
策略是指導行動的方針，同時也是增強效果、提高效率的藝術，它區別於具體的途徑或方式。數學解題的策略是為了實現解題目標而採取的方針。解題策略的思維基礎是邏輯思維、形象思維、直覺思維的共同作用，離開邏輯是不行的，單靠邏輯是不夠的。
解題策略介於具體的求解方法與抽象的解題思想之間，是思想轉化為操作的橋樑，一方面它是用來具體指導解題的方法，另一方面它又是運用解題方法的方法、尋找解題方法的方法、創造解題方法的方法。
如果把解題策略理解為選擇與組合的一系列規則，那麼這些規則應該具有迅速找到較優解題操作的基本功能，能夠減少嘗試或失敗的次數，能夠節省探索的時間和縮短解題的長度，體現出選擇的機智和組合的藝術。
總之解題思維是來自身體經驗的，並非來自語言和文字標籤，語言也是來自身體經驗的。但是智力越發展，語言的重要性也越大。
假如例1題變式為：向量OA座標為（3,4），按照逆時針方向旋轉135°到向量OB，求B點座標。
按照三位一體的思維理論，學生很容易通過向量和兩角和與差的余弦定理去建立解題邏輯。而機器人的所謂神經網路學習模式攫取的底層標籤都是向量相關的，解題邏輯的建立就太難了。
機器學習的認知邏輯是如果涉及“認知發生”，各種導圖、圖譜統統都是無效的。不涉及“認知發生”時，圖譜、導圖在一些教學場景下能提供僅僅部分有效的支援。比如：“認知發生”是指“你不能想像吃米飯的動作，你就無法理解啥叫吃米飯”。也即：如果要讓學生理解“吃米飯”這一邏輯的前提是，學生能想像“吃米飯動作”這一身體經驗。當我們沒有直接的“吃米飯”的經驗，但是有“吃”的經驗以及“大米”的經驗時，語言可以協助我們想像“吃米飯”的經驗。這種“概念拼裝”可能會有部分的“失真”，但確實是可以促進的。這也就是“教”的意義。在複雜認知技能的有效學習方面，模擬任務環境中的重要性，心理逼真度>功能逼真度>物理逼真度。
學習分析資料模型
高考機器人意在通過整合最先進的人工智慧技術，檢驗人工智慧可在多大程度上模擬人類思考以及解決問題的能力，希望用自我調整的方式説明K12階段的學生學習。有些公司通過手機App的拍照搜題，線上一對一等多種管道進行資料收集，這些資料包含學生在做題、考試等應用場景中的種種行為表現，充其量是記憶平臺用來檢測，而非創造性思維。對此，有業內人士表示，高考機器人能在多大程度上落地值得商榷，像有的互聯網巨頭也在投入巨額資金做人工智慧，但是離社會化應用和行業應用還有很長的路要走。更不要借用“高考機器人”和機器人可以考上一本的噱頭去迎合部分人心理，機器短期內適應不了原創題高考的選拔性考試。
【參考文獻】感謝北京大學概率統計系張志華教授、常象宇博士論文資料等等。
統計制度《機器學習：統計與計算之戀》《中國電腦學會通訊》
《教育資料採擷》2012年12月出版，張少剛，魏順平博士
《深度學習的7種有力策略》（美）艾瑞克尼克爾森