準備好拜倒在
本女皇的裙下了嗎？
今天， 超模君來講一個被模友們反復提起、牆裂要求科普的學科——數論。
說起數論， 這是一個很神奇的學科——因為它的內涵會因不同的人而變得簡單或複雜。
對於小學生而言， 數論就是整數、小數、分數和加減乘除， 理解起來不費吹灰之力。
對於數學大家們而言， 數論卻是諸如費馬定理、哥德巴赫猜想、黎曼猜想等複雜而神秘的問題。 一個不小心， 到死也不知道答案。
那麼， 數論究竟是如何發展起來的呢？別著急， 拿好小本本， 待超模君給大家一一道來！
數論的起源， 要追溯到古希臘時期。
畢達哥拉斯：生得早就是好， 什麼事情都先講我
畢達哥拉斯和他的學派秉承著“萬物皆數”的哲學思想， 為了研究眼前的世界， 他們精力都放到了對正整數的研究上。 （注意， 畢達哥拉斯所指的“數”， 只限於正整數）
他們將正整數分為奇數和偶數， 研究了奇偶數之間四則運算的規律， 還提出了“親和數”、“完全數”等概念， 並給出了“220”和“284”這對親和數。
所謂的“親和數”， 是指一對正整數， 它們各自的全部約數之和（本身除外）與對方相等。 畢達哥拉斯曾說：“朋友是你靈魂的倩影，
至於“完全數”， 則是指一個正整數， 它的全部約數之和（本身除外）等於它本身。 第一個完全數是6， 第二個完全數是28， 第三個完全數是496。
但是畢達哥拉斯對正整數的研究， 還出於占卜等宗教活動的需要， 因此具有較為濃厚的宗教神秘色彩， 沒有嚴格的概念定義和數學論證——不過這個缺點， 在後人的著作中得到了彌補。
歐幾裡得是畢達哥拉斯之後， 把對正整數的研究繼續往前推進的古希臘學者。
歐幾裡得：結果爛攤子還是要我來收拾……
在自己的著作《幾何原本》中， 歐幾裡得首次給出了因數、倍數、素數、互素等基本概念的精確定義， 並對所得到的結論進行了詳細的證明， 從而使數論的研究嚴密化。
《幾何原本》中，
如果2^n-1是素數， 那麼2^（n-1）·（2^n-1）是完全數。
後來的數學家歐拉證明了這個定理， 並且據此給出了所有的偶完全數。
當然， 歐幾裡得對數論的貢獻並不止使數論的研究嚴密化， 還有發現素數在整數理論中的重要價值和基礎地位。 他不僅證明了關於自然數和素數之間的積性關係， 還運用歸謬法證明了素數個數的無窮性， 提出了計算最大公約數的演算法——輾轉相除法。
輾轉相除法：設兩數為a、b(a≥b)， 求a和b最大公約數 （a， b）的步驟如下：
(1)用a除以b(a≥b)， 得 a/b=q……r1 。
(2)若 r1=0， 則（a， b）=b；
(3)若 r1不等於0， 則再用b除以 r1,：b/r1=q……r2。
(4)若 r2=0， 則 （a， b）=r1；若 r2不等於0， 則繼續用 r1除以 r2， ......， 如此下去， 直到能整除為止。 其最後一個餘數為0的除數即為 （a， b） 的最大公約數。
歐幾裡得的研究，
現在， 讓我們的目光繼續跟著時間來走吧。 在歐幾裡得之後， 另一位數學家丟番圖， 為初等數論開拓了一片新領域——不定方程問題。
所謂不定方程， 是指未知數的個數多於方程個數， 且未知數受到某些限制（如要求是有理數、整數或正整數等等）的方程或方程組。 丟番圖將自己的研究寫成了一本書——《算術》， 而這本書也開啟了中世紀的初等數論研究。
值得一提的是， 在丟番圖提出不定方程問題的同時期， 中國也挖掘了數論的另一個領域——同餘理論。 《孫子算經》裡面記載的“物不知數”問題， 就涉及到了同餘理論的研究。
所以說， 中國古代在數論的研究上， 也是輝煌一時啊。
好了， 讓我們的視線再回到歐洲。 在丟番圖之後， 初等數論研究的大旗， 就傳到了一位“業餘”的數學家——費馬的手上。 （怎麼又是您老人家……）
費馬：真是不好意思， 興趣愛好廣泛就是這樣的
費馬對於初等數論的研究兼有歐幾裡得和丟番圖的影子。 他一生提出了形形色色的定（cai）理（xiang）， 最著名的莫過於“費馬大小定理”：
費馬小定理：如果p是素數， a與p互素， 那麼a^p-a可以被p整除。
費馬大定理：方程x^n+y^n=z^n對於任意大於2的自然數n無整數解。
這兩個定理皆是在費馬閱讀丟番圖的《算術》時所提出的， 尤其是費馬大定理，基本上延續了丟番圖從不定方程來發展數論的思想。但是費馬的其他猜想，卻也有歐幾裡得的影子，如他給出的“費馬數”（一種“素數的普遍公式”）：
與歐幾裡得對“完全數定理”的描述極為相似。可以說，初等數論在費馬手裡，隱隱表現出一種成為一個體系的趨勢。
但遺憾的是，這種趨勢並未成為現實。費馬之後的歐拉，儘管推翻了“費馬數”的結論（“費馬數”即為素數的普遍公式），證明了費馬小定理的正確性，並在《代數指南》中使用“無限下降法”，使之成為數論研究中很重要的方法技巧之一，卻依舊未能將眾多理論統一起來，使初等數論成為一個完備的理論體系。
在18世紀快要結束的時候，數學家們發現，初等數論的研究似乎已經走到了盡頭：整數數域的性質已經被研究得差不多了，接下來該怎麼辦？
一位天才的出現，讓數論的研究從死胡同中走了出來，他就是德國的數學王子——高斯。
高斯：終於輪到我出場了
而讓高斯帶領數論走出“死胡同”的，是他對於“二次互反律”的研究。
二次互反律，是一個用於判別二次剩餘，即二次同余方程之整數解的存在性的定律。
高斯非常欣賞這個定律，他一生中至少給這個定律作了8種完全不同的證明，並且試圖將它推廣到三次和四次互反律。
但是經過研究後，高斯發現，如果要使三次和四次的剩餘理論和二次剩餘理論那樣簡潔優美，裡面所涉及到的數就必須超出整數的範圍，引進複整數（即形如a+bi，其中a、b均為整數的複數）。
經過一番思考與研究之後，高斯決定將複整數引入到數論的研究當中，並且驚奇地發現，一些初等數論裡面的定理，在複整數中依舊成立。如在初等數論中，每一個整數都能夠唯一地分解為素因數的乘積，這個定理依舊在複整數中成立。
如此一來，高斯打破了初等數論的困境，將數論帶到了一個更廣闊的天地——複整數中來。
在高斯之後，庫默爾和戴德金將高斯的研究成果成功地推廣為一個全新的數論——代數數論。
庫默爾
戴德金
在代數數論中，研究的物件從正整數變成了代數整數。關於一個數是不是代數整數，代數數論是這樣定義的：
如果α是一個有理數多項式：
的根，則稱α為一個代數數。若P(x)的係數都是整數，則稱α為一個代數整數。
除去代數整數，代數數論的研究物件還有代數數域。
關於代數數論是如何具體研究的，超模君就不展開講了，不過模友們需要瞭解的一點是：直到1898年，德國數學家希爾伯特在對各代數數域的性質加以系統總結和發展後，前後經過了百多年的時光，經典代數數論才真正定型。
相比起初等數論，代數數論無疑涵蓋更廣，而且系統性更強，這是代數數論工作者們最值得自豪和被稱讚的地方。
如果說代數數論是數論廣度的一個拓展的話，那麼解析數論可以說是對於數論研究方法的一次革新了。
解析數論的源頭，可以上溯到歐拉。
歐拉：終於可以露臉了
早在1737年的時候，歐拉在研究無窮級數和無窮乘積的收斂性時，發現對於大於1的實數s，有等式：
其中無窮乘積中p是所有素數，這個等式揭示了素數p和自然數n之間的積性關係，也就是歐幾裡得所曾經證明過的，而且如果令s=1，則可以得出素數是無限多個的結論。這是數論第一次與解析形式相關聯起來的例子。
在歐拉之後，狄利克雷也做出了相類似的成果。他運用類似的方法，構建了一批新函數L，從它們的解析特性中，得到了這樣的結果：若l與k為互素的正整數，則算術級數l，l+k，l+2k……中一定有無限多個素數。
在歐拉和狄利克雷為解析數論打好基礎以後，1859年，有一個人發表了一篇文章，正式宣告解析數論的創立。
這個人，就是黎曼。
在這篇論文中，他把歐拉恒等式的右邊記作
，並將其看做複變數。他認為，素數的性質可以通過複變函數
來探討，如素數的分佈研究關鍵是研究複變函數
的零點性質。而現在依舊沒有解決的“黎曼猜想”，就是對複變函數
零點性質的一個猜想——
所有的複零點都在直線Re s=1/2上。
黎曼的論文，讓解析數論開始了迅猛的發展。1896年，阿達馬和瓦萊普桑，根據黎曼的方法與結果，應用整函數理論，成功地證明了素數定理，讓解析數論成為了二十世紀最活躍的數論分支之一。
整函數，即在整個複平面上處處解析的函數。
解析數論在中國的發展也是極為迅猛。從最早的楊武之先生，到後來的華羅庚先生，王元先生以及陳景潤先生，都在解析數論上有非常卓越的貢獻。單講陳景潤先生，他對於{1，2}的證明，就是運用解析數論的方法來完成的，是目前世界上最好的證明結果。
解析數論的創立，讓很多初等數論中很難證明的定理變得簡單，同時可以提出更多新的數論問題，讓數論這門學科的生命力得以延續。
好了，這就是有關數論歷史的大體輪廓了。不得不說，想在短短的一篇推送裡塞下整個數論的歷史，簡直就是癡心妄想……（然而還是做到……了？）
不過數論本身還是很精彩的，套用一句高斯的話：“如果說數學是科學的女皇，那麼數論就是數學中的女皇”。大家不妨花點心思，來領略一下數論女皇的絕美身姿吧！
尤其是費馬大定理，基本上延續了丟番圖從不定方程來發展數論的思想。但是費馬的其他猜想，卻也有歐幾裡得的影子，如他給出的“費馬數”（一種“素數的普遍公式”）：與歐幾裡得對“完全數定理”的描述極為相似。可以說，初等數論在費馬手裡，隱隱表現出一種成為一個體系的趨勢。
但遺憾的是，這種趨勢並未成為現實。費馬之後的歐拉，儘管推翻了“費馬數”的結論（“費馬數”即為素數的普遍公式），證明了費馬小定理的正確性，並在《代數指南》中使用“無限下降法”，使之成為數論研究中很重要的方法技巧之一，卻依舊未能將眾多理論統一起來，使初等數論成為一個完備的理論體系。
在18世紀快要結束的時候，數學家們發現，初等數論的研究似乎已經走到了盡頭：整數數域的性質已經被研究得差不多了，接下來該怎麼辦？
一位天才的出現，讓數論的研究從死胡同中走了出來，他就是德國的數學王子——高斯。
高斯：終於輪到我出場了
而讓高斯帶領數論走出“死胡同”的，是他對於“二次互反律”的研究。
二次互反律，是一個用於判別二次剩餘，即二次同余方程之整數解的存在性的定律。
高斯非常欣賞這個定律，他一生中至少給這個定律作了8種完全不同的證明，並且試圖將它推廣到三次和四次互反律。
但是經過研究後，高斯發現，如果要使三次和四次的剩餘理論和二次剩餘理論那樣簡潔優美，裡面所涉及到的數就必須超出整數的範圍，引進複整數（即形如a+bi，其中a、b均為整數的複數）。
經過一番思考與研究之後，高斯決定將複整數引入到數論的研究當中，並且驚奇地發現，一些初等數論裡面的定理，在複整數中依舊成立。如在初等數論中，每一個整數都能夠唯一地分解為素因數的乘積，這個定理依舊在複整數中成立。
如此一來，高斯打破了初等數論的困境，將數論帶到了一個更廣闊的天地——複整數中來。
在高斯之後，庫默爾和戴德金將高斯的研究成果成功地推廣為一個全新的數論——代數數論。
庫默爾
戴德金
在代數數論中，研究的物件從正整數變成了代數整數。關於一個數是不是代數整數，代數數論是這樣定義的：
如果α是一個有理數多項式：
的根，則稱α為一個代數數。若P(x)的係數都是整數，則稱α為一個代數整數。
除去代數整數，代數數論的研究物件還有代數數域。
關於代數數論是如何具體研究的，超模君就不展開講了，不過模友們需要瞭解的一點是：直到1898年，德國數學家希爾伯特在對各代數數域的性質加以系統總結和發展後，前後經過了百多年的時光，經典代數數論才真正定型。
相比起初等數論，代數數論無疑涵蓋更廣，而且系統性更強，這是代數數論工作者們最值得自豪和被稱讚的地方。
如果說代數數論是數論廣度的一個拓展的話，那麼解析數論可以說是對於數論研究方法的一次革新了。
解析數論的源頭，可以上溯到歐拉。
歐拉：終於可以露臉了
早在1737年的時候，歐拉在研究無窮級數和無窮乘積的收斂性時，發現對於大於1的實數s，有等式：
其中無窮乘積中p是所有素數，這個等式揭示了素數p和自然數n之間的積性關係，也就是歐幾裡得所曾經證明過的，而且如果令s=1，則可以得出素數是無限多個的結論。這是數論第一次與解析形式相關聯起來的例子。
在歐拉之後，狄利克雷也做出了相類似的成果。他運用類似的方法，構建了一批新函數L，從它們的解析特性中，得到了這樣的結果：若l與k為互素的正整數，則算術級數l，l+k，l+2k……中一定有無限多個素數。
在歐拉和狄利克雷為解析數論打好基礎以後，1859年，有一個人發表了一篇文章，正式宣告解析數論的創立。
這個人，就是黎曼。
在這篇論文中，他把歐拉恒等式的右邊記作
，並將其看做複變數。他認為，素數的性質可以通過複變函數
來探討，如素數的分佈研究關鍵是研究複變函數
的零點性質。而現在依舊沒有解決的“黎曼猜想”，就是對複變函數
零點性質的一個猜想——
所有的複零點都在直線Re s=1/2上。
黎曼的論文，讓解析數論開始了迅猛的發展。1896年，阿達馬和瓦萊普桑，根據黎曼的方法與結果，應用整函數理論，成功地證明了素數定理，讓解析數論成為了二十世紀最活躍的數論分支之一。
整函數，即在整個複平面上處處解析的函數。
解析數論在中國的發展也是極為迅猛。從最早的楊武之先生，到後來的華羅庚先生，王元先生以及陳景潤先生，都在解析數論上有非常卓越的貢獻。單講陳景潤先生，他對於{1，2}的證明，就是運用解析數論的方法來完成的，是目前世界上最好的證明結果。
解析數論的創立，讓很多初等數論中很難證明的定理變得簡單，同時可以提出更多新的數論問題，讓數論這門學科的生命力得以延續。
好了，這就是有關數論歷史的大體輪廓了。不得不說，想在短短的一篇推送裡塞下整個數論的歷史，簡直就是癡心妄想……（然而還是做到……了？）
不過數論本身還是很精彩的，套用一句高斯的話：“如果說數學是科學的女皇，那麼數論就是數學中的女皇”。大家不妨花點心思，來領略一下數論女皇的絕美身姿吧！