小學數學的符號化思維（摘錄）

很多孩子和家長在數學學習方面花費的心血是最多的， 而收效也是最小的， 也許是方法不對頭， 方法不對頭的癥結在思考問題的方式， 下面摘錄幾位元數學教科研專家關於數學學習的思維方法， 一起分享。

王永春（課程教材研究所）-----符號化思想

數學思想和數學方法既有區別又有密切聯繫。 數學思想的理論和抽象程度要高一些， 而數學方法的實踐性更強一些。 人們實現數學思想往往要靠一定的數學方法；而人們選擇數學方法， 又要以一定的數學思想為依據。 因此， 二者是有密切聯繫的。 我們把二者合稱為數學思想方法。 數學思想方法是數學的靈魂， 那麼， 要想學好數學、用好數學， 就要深入到數學的“靈魂深處”。

《數學課程標準》在總體目標中明確提出：“學生能獲得適應未來的社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法和必要的應用技能。

”這一總體目標貫穿于小學和初中， 這充分說明了數學思想方法的重要性。 在小學階段有意識地向學生滲透一些基本的數學思想方法可以加深學生對數學概念、公式、法則、定律的理解， 提高學生解決問題的能力和思維能力， 也是小學數學進行素質教育的真正內涵之所在。 同時， 也能為初中數學思想方法的學習打下較好的基礎。 在小學階段， 數學思想方法主要有符號化思想、化歸思想、類比思想、歸納思想、分類思想、方程思想、集合思想、函數思想、一一對應思想、模型思想、數性結合思想、演繹推理思想、變換思想、統計與概率思想等等。

為了使廣大小學數學教師在教學中能很好地滲透這些數學思想方法，

筆者把這些思想方法比較系統地進行概括和梳理， 明晰這些思想方法的概念， 整理它們在小學數學各個知識點中的應用， 並就如何教學提出一些建議。

1、符號化思想的概念

數學符號是數學的語言， 數學世界時一個符號化的世界， 數學作為人們進行表示、計算、推理和解決問題的工具， 符號起到了非常重要的作用：因為數學有了符號， 才使得數學具有簡明、抽象、清晰、準確等特點， 同時也促進了數學的普及和發展；國際通用的數學符號的使用， 使數學成為國際化的語言。 符號化思想是一般化的思想方法， 具有普遍的意義。

2、如何理解符號化思想

《數學課程標準》比較重視培養學生的符號意識， 並把符號意識作為數學與代數的內容之一給出了詮釋。

那麼， 在小學階段， 如何理解這一重要思想呢？下面結合案例做簡要解析。

第一、從具體情境中抽象出數學量關係和變化規律、從特殊到一般的探索和歸納過程。 如通過幾組具體的兩個數相加， 交換加數的位置和不變， 歸納出加法交換律， 並用符號表示：a+b=b+a。 再如在長方形上拼擺單位面積的小正方形， 探索並歸納出長方形的面積公式， 並有符號表示：S=ab。 這是一個符號化的過程， 同時也是一個模型化的過程。

第二、理解並運用符號表示數量關係和變化規律。 這是一個從一般到特殊、從理論到實踐的過程。 包括用關係式、表格和圖像表示情境中數量間的關係。 如假設一個正方形的邊長是a，

那麼4a就表示該正方形的周長， a2表示該正方形的面積。 這同樣是一個符號化的過程， 同時也是一個解釋和應用模型的過程。

第三、會進行符號間的轉換。 數量間的關係一旦確定， 便可以用數學符號表示出來， 但數學符號不是唯一的， 可以豐富多彩。 如一輛汽車的行駛時速為定值80千米， 那麼該輛汽車行駛的路程和時間成正比， 它們之間的數量關係既可以用表格的形式表示， 也可以用公式s=80t表示， 還可以用圖像表示。 即這些符號是可以相互轉換的。

第四、能選擇適當的程式和方法解決用符號所表示的問題。 這是指定完成符號化後的下一步工作， 就是進行數學的運算和推理。 能夠進行正確的運算和推理是非常重要的數學基本功， 也是非常重要的數學能力。

3、符號化思想的具體應用

數學的發展經歷了幾千年，數學符號的規範和統一也是經歷了比較漫長的過程。如我們現在通用的算術中的十進位計數符號數位0~9於西元8世紀在印度產生，經過了幾百年才在全世界通用，從通用至今也不過幾百年。代數在早期主要是以文字為主的演算，直到16、17世紀韋達、笛卡爾和萊布尼茲等數學家逐步引進和完善了代數的符號體系。

符號在小學數學中的應用如下表。

知識領域

知識點

具體應用

應用拓展

數 與 代 數

數的表示

阿拉伯數字：0~9

中文數位：—、+

百分號：%

‰

負號：—

用數軸表示數

數的運算

+、—、×、÷、（）、〔〕

a2(平方)、b3(立方)

大括弧：｛｝

數的大小關係

= 、≈、＞、＜

≤、≥、≠

運算定律

加法交換律：a+b=b+a

加法結合律：a+b+c=a+(b+c)

乘法交換律：ab=ba

乘法結合律：(ab)c=a(bc)

乘法分配律：a(b+c)=ab+ac

a(b-c)=ab-ac

方程

ax+b=c

數量關係

時間、速度和路程：S=vt

數量、單價和總價：a=np

正比例關係：y／x=k

反比例關係：xy=k

用表格表示數量間的關係

用圖像表示數量間的關係

空

間 與 圖

形

用字母表示計量單位

長度單位：km、m、dm、cm、mm

面積單位：km2、m2、dm2、cm2、mm2、hm2(公頃)

體積單位：m3、dm3、cm3

容積單位：L（升）、mL（毫升）

品質單位：t、kg、g

用符號表示圖形

用字母表示點：三角形ABC用符號表示角：∠1、∠2、∠3、∠4

△ABC線段AB射線c、直線l

兩線段平行：AB∥CD

兩線段垂直：AB⊥CD

◇ABCD

用字母表示公式

三角形面積：S=1／2ab

平行四邊形面積：S=ah

梯形面積：S=1／2（a+b）h

圓周長：C=2πr

圓面積：S=πr2

長方體體積：V=abc 正方體積：V=a3圓柱體積：V=sh

圓錐體積：V=1／3sh

統計與

概率

統計圖與統計表

用統計圖表述和分析各種資訊

可能性

用分數表示可能性的大小

4、符號化思想的數學

符號化思想作為數學基本的、廣泛應用的思想之一，教師和學生無時無刻不在與它們打交道。教師在教學中應把握好以下幾點。

（1）在思想上引起重視。《數學課程標準》把培養學生的符號意識作為必學的內容，並提出了具體要求，足以證明它的重要性。因此，教師在日常教學中應給予足夠的重視。

（2）把培養符號意識落實到課堂教學目標中。教師在每堂課的教學設計中，要明確符號的具體應用，並納入教學目標中。創設合適的情境，引導學生在探索中歸納和理解教學符號化的模型，並進行解釋和應用。

(3) 引導學生認識符號的特點。數學符號是人們在研究現實世界的數量關係和空間形式的過程中產生的，它來源於生活，但並不是生活中真實的物質存在，而是一種抽象概括。如數字1，它可以表示現實生活中任何數量是一個的物體的個數，是一種高度的抽象概括，具有一定的抽象性。一個數學符號一旦產生並被廣泛應用，它就具有明確的含義，就能進行精確地數學運算和推理證明，因而它具有精確性。數學能夠幫助人們完成大量的運算和推理證明，但如果沒有簡捷的思想和符號的參與，它的工作量及難度也是很大的，讓人望而生畏。一旦簡捷的符號參與了運算和推理證明，數學的簡捷性就體現出來了。如歐洲人12世紀以前基本上有羅馬數字進行計數和運算，由於這種計數法不是十進位的。大數的四則運算非常複雜，嚴重阻礙了數學的發展和普及。直到12世紀印度數位及十進位計數法傳入歐洲，才使得算術有了較快發展和普及。數學符號的發展也經歷了從各自獨立到逐步規範、統一和國際化的過程，最明顯的就是早期的數位記號從各自獨立的埃及數位、巴比倫數位、中國數位、印度數位和羅馬數字到統一的阿拉伯數字。數學符號經歷了從發明到應用再到統一的逐步完善的過程，並促進了數學的發展；反之，數學的發展也促進了符號的發展。因而，數學和符號是相互促進發展的，而且這種發展可能是一個漫長的過程。

（4）符號意識的培養是一個長期的過程。符號意識的培養應用貫穿於數學學習的整個過程中，學生首先要理解和掌握數學符號的內涵和思想，並通過一定的訓練，才能利用符號進行比較熟練地運算、推理和解決問題。

也是非常重要的數學能力。

3、符號化思想的具體應用

數學的發展經歷了幾千年，數學符號的規範和統一也是經歷了比較漫長的過程。如我們現在通用的算術中的十進位計數符號數位0~9於西元8世紀在印度產生，經過了幾百年才在全世界通用，從通用至今也不過幾百年。代數在早期主要是以文字為主的演算，直到16、17世紀韋達、笛卡爾和萊布尼茲等數學家逐步引進和完善了代數的符號體系。

符號在小學數學中的應用如下表。

知識領域

知識點

具體應用

應用拓展

數 與 代 數

數的表示

阿拉伯數字：0~9

中文數位：—、+

百分號：%

‰

負號：—

用數軸表示數

數的運算

+、—、×、÷、（）、〔〕

a2(平方)、b3(立方)

大括弧：｛｝

數的大小關係

= 、≈、＞、＜

≤、≥、≠

運算定律

加法交換律：a+b=b+a

加法結合律：a+b+c=a+(b+c)

乘法交換律：ab=ba

乘法結合律：(ab)c=a(bc)

乘法分配律：a(b+c)=ab+ac

a(b-c)=ab-ac

方程

ax+b=c

數量關係

時間、速度和路程：S=vt

數量、單價和總價：a=np

正比例關係：y／x=k

反比例關係：xy=k

用表格表示數量間的關係

用圖像表示數量間的關係

空

間 與 圖

形

用字母表示計量單位

長度單位：km、m、dm、cm、mm

面積單位：km2、m2、dm2、cm2、mm2、hm2(公頃)

體積單位：m3、dm3、cm3

容積單位：L（升）、mL（毫升）

品質單位：t、kg、g

用符號表示圖形

用字母表示點：三角形ABC用符號表示角：∠1、∠2、∠3、∠4

△ABC線段AB射線c、直線l

兩線段平行：AB∥CD

兩線段垂直：AB⊥CD

◇ABCD

用字母表示公式

三角形面積：S=1／2ab

平行四邊形面積：S=ah

梯形面積：S=1／2（a+b）h

圓周長：C=2πr

圓面積：S=πr2

長方體體積：V=abc 正方體積：V=a3圓柱體積：V=sh

圓錐體積：V=1／3sh

統計與

概率

統計圖與統計表

用統計圖表述和分析各種資訊

可能性

用分數表示可能性的大小

4、符號化思想的數學

符號化思想作為數學基本的、廣泛應用的思想之一，教師和學生無時無刻不在與它們打交道。教師在教學中應把握好以下幾點。

（1）在思想上引起重視。《數學課程標準》把培養學生的符號意識作為必學的內容，並提出了具體要求，足以證明它的重要性。因此，教師在日常教學中應給予足夠的重視。

（2）把培養符號意識落實到課堂教學目標中。教師在每堂課的教學設計中，要明確符號的具體應用，並納入教學目標中。創設合適的情境，引導學生在探索中歸納和理解教學符號化的模型，並進行解釋和應用。

(3) 引導學生認識符號的特點。數學符號是人們在研究現實世界的數量關係和空間形式的過程中產生的，它來源於生活，但並不是生活中真實的物質存在，而是一種抽象概括。如數字1，它可以表示現實生活中任何數量是一個的物體的個數，是一種高度的抽象概括，具有一定的抽象性。一個數學符號一旦產生並被廣泛應用，它就具有明確的含義，就能進行精確地數學運算和推理證明，因而它具有精確性。數學能夠幫助人們完成大量的運算和推理證明，但如果沒有簡捷的思想和符號的參與，它的工作量及難度也是很大的，讓人望而生畏。一旦簡捷的符號參與了運算和推理證明，數學的簡捷性就體現出來了。如歐洲人12世紀以前基本上有羅馬數字進行計數和運算，由於這種計數法不是十進位的。大數的四則運算非常複雜，嚴重阻礙了數學的發展和普及。直到12世紀印度數位及十進位計數法傳入歐洲，才使得算術有了較快發展和普及。數學符號的發展也經歷了從各自獨立到逐步規範、統一和國際化的過程，最明顯的就是早期的數位記號從各自獨立的埃及數位、巴比倫數位、中國數位、印度數位和羅馬數字到統一的阿拉伯數字。數學符號經歷了從發明到應用再到統一的逐步完善的過程，並促進了數學的發展；反之，數學的發展也促進了符號的發展。因而，數學和符號是相互促進發展的，而且這種發展可能是一個漫長的過程。

（4）符號意識的培養是一個長期的過程。符號意識的培養應用貫穿於數學學習的整個過程中，學生首先要理解和掌握數學符號的內涵和思想，並通過一定的訓練，才能利用符號進行比較熟練地運算、推理和解決問題。