為了把數學模型與數學知識或是符號思想明顯的區分開來， 本文主要從狹義的角度討論數學模型， 即重點分析小學數學的應用及數學模型的構建。
王永春（課程教材研究所）
1．模型思想的概念
數學模型是用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物地特徵， 數量關係和空間形式的一種數學結構。 從廣義角度講， 數學的概念， 定理， 規律， 法則， 公式， 性質， 數量關係式， 圖表， 程式等都是數學模型。 數學的模型思想是一般化的思想方法， 數學模型的主要模型形式是數學符號運算式和圖表， 因而它與符號化思想有很多相同之處， 同樣具有普遍的意義。 不過， 也有很多數學家對數學模型的理解似乎更注重數學的應用性。 即把數學模型描述為特定的事物系統的數學關聯式結構。 如通過數學在經濟， 物理， 農業， 生物， 社會學等領域的應用， 所構造的數學模型。
2．模型思想的重要意義
數學模型是運用數學的語言和工具， 對現實世界的一些資訊進行適當的簡化， 經過推理和運算， 對相應的資料進行分析， 預算， 決策和控制， 並且要經過實踐的檢驗。 如果檢驗的結果是正確的， 便可以指導我們的實踐。 如上所述， 數學模型在當今市場經濟和資訊化社會已經有比較廣泛的應用；因而， 模型思想在數學思想方法中有非常重要的地位， 在數學教育領域也應該有它的一席之地。
如果說符號化思想更注重數學抽象和和符號表達， 那麼模型思想更注重數學地應用， 更通過數學結構化解決問題， 尤其是現實中的各種問題；當然， 把現實情境數學結構化的過程也是一個抽象化的過程。
據瞭解， 即將頒佈的課程標準與現行的《數學課程標準（修改稿）》相比有了較大變化，
這是否可以理解為：在小學階段， 從《數學課程標準》的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用， 並明確了模型思想的重要意義。 這不僅表明了數學的應用價值， 同時明確了建立模型是數學運用和解決問題的核心。
3．模型思想的具體運用
數學的發現和發展過程，也是一個應用的過程。從這個角度而言，伴隨著數學知識的產生和發展，數學模型實際上也隨後產生和發展了。如自然數系統1,2,3…是描述離散數量的數學模型。2000多年前的古人用公式計算土地面積，用方程解決實際問題等，實際上都是用各種數學知識建立數學模型來解決實際問題等，實際上都是用各種數學知識建立數學模型來解決數學問題的。就小學數學的應用來說，大多數是古老的初等數學知識的簡單應用，也許在數學家的眼裡，這根本就不是真正的數學模型；不過小學數學的應用雖然簡單，但仍然是現實生活和進一步學習所不可缺的。小學數學中的模型如下表。
知識領域知識點應用舉例數與代數數的表示自然數列：0,1,2，….用數軸表示數數的運算a+b=cC-a=b,c-a=ba×b=c(a≠0,b≠0)c÷a=b,c÷b=a方程a+b=c數量關係時間、速度和路程：s=vt數量、單價和總價;a=np正比例關係;y/x=k反比例關係：xy=k用表格表示數量間的關係用圖像表示數量間的關係空間與圖像用字母表示公式三角形面積;s=1/2ab平行四邊形面積：S=ah梯形面積：s=1/2(a+b)h圓周長：C=2πr圓面積：S=πr2長方體面積：v=abc正方體體積：V=a2圓柱體積：v=Sh圓錐體積：v=1/3sh空間形式用圖表表示空間和平面結構統計與概率統計圖和統計表用統計圖表描述和分析各種資訊可能性用分數表示可能性的大小4．數學模型思想的教學
從表格中可以看出：模型思想與符號化思想都是經過抽象後用符號和圖表表達數量關係和空間形式，這是他們的共同之處；但是模型思想更加注重如何經過分析抽象建立模型，更加重視如何應用數學解決生活和科學研究的各種問題。正是因為數學在各個領域的廣泛應用，不但促進了科學和人類的進步，也使人們對數學有了新的認識：數學不僅僅是數學家的樂園，它特不應是抽象和枯燥的代名詞，它是全人類的朋友，也是廣大中小學生的朋友。廣大教師在教學中結合數學的應用和解決問題的數學，要注意貫徹《數學課程標準》的理念，另一方面要注重滲透模型思想，另一方面要教會學生如何建立模型，比不過喜歡數學。
學生學習數學模型大概有兩種情況：第一種是基本模型的學習，即學習教材中以例題為代表的新知識，這個學習過程可能是一個探索的過程，也可能是一個接受學習的過程；第二種是利用基本模型區解決各種問題，即利用學習的基本知識解決教材中豐富多彩的習題以及各種課外問題。
教學建模是一個比較複雜和富有挑戰的過程，這個過程大致有以下幾個步驟：（1）理解問題的實際問題，明確要解決什麼問題，屬於什麼模型系統。（2）把複雜的情境經過分析和簡化，確定必要的資料。（3）建立模型，可以是數量關係式，也可以是圖示形式。（4）解答問題。下面結合案例做簡要分析。
第一，學習的過程可以經歷類似于數學家建模的再創造過程，現實過程中已有的數學模型基本上是數學家和物理家等科學家們應用于各個領域經過艱辛的研究創造出來的，是的我們能夠享受現實的成果。如阿基米德發現了杠杆定律;平行的杠杆，物體到杠杆支點的距離之比，即F1：F2=L2；L1.根據課程標準的理念，學生的學習過程有時是一個探索的過程，也是一個再創造的過程；也就是說有些模型是可以由學生再創造的，可以吧科學家發明的成果再創造一次。如在學習了反比例關係以後，可以利用簡單的學具進行操作實驗，探索杠杆定律。再如利用若干個相同的小正方體拼擺成一個長方體，探索長方體中含有小正方體的個數與長方體的長、寬、高的關係，進而歸納出長方體的體積公式，建立模型v=abc，這是一個模型化的過程，也是一個再創造的過程。
第二，對於大多數人來說，在現實生活中和工作中利用數學解決各種問題，基本上都是根據對現實情境的分析，利用已有的學習知識構建模型。這樣的模型是已經存在並且科學的，並不是新發明的，由學生進行再創造也幾乎是不可行的；換句話說，有些模型由於難度較大或不便於探索，不必讓學生在創造。如兩個變數成反比例關係，如果給出兩個量資料變化的表格，學生通過觀察和計算有可能發現者兩個量的關係。但是如果讓學生動手實踐操作去發現規律，還是有一定難度的。再如物體運動地路程、時間和速度的關係為s=vt，利用這個基本模型可以解決各種有關勻速運動的簡單的實際問題。但是由於這個模型比較抽象，操作難度較大，因而也不適合學生進行再創造。教師只需要通過現實模擬或者動畫模擬，是學生能夠理解模型的意義便可。
案例1;小明的家距學校600米，每天上學從家步行10分鐘到學校。今天早上出門2分鐘後發現忘記帶學具了，立即回家去取。他如果想按原來的時間趕到學校，步行的速度應是多少？（取東西的時間忽略不計）
第三,應用已有的數學知識分析數量關係和空間形式，經過抽象建立模型進而解決各種問題。學生學習了教材上的基礎知識後，利用已有的知識解決新的更加複雜的各種問題，是一個富有挑戰的過程，也可以是一個合作探究的過程。如小學生數學競賽中有很多應用數學解決的問題，就是一個建立模型的過程；再如中學生和大學生組隊參加數學建模大賽，就是一個團隊合作探究的過程。
解題過程如下：
（1）本題是日常生活中常見的行程問題，問題是要求小明步行的速度，是關於時間、速度和路程的問題。
（2）這裡需要明確所求的速度行相對應的路程和時間是什麼，因為取東西等時間忽略不計，因此剩餘的時間就可以確定為步行的時間；路程是從家出來2分鐘後開始算，在回家的路程加上從家到回家的路程的和；時間是10分鐘減去2分鐘，只有8分鐘的時間了。
（3）根據基本的關係式s=vt，可先求出s=600+(600÷10)×2=720(米),t=10-2=8(分鐘)。列式為：720=8v
（4） V=90,即小明步行的速度每分鐘為90米。
從上面的解答過程來看，小學數學的情境還是比較容易理解的，模型系統也容易確定。如果說此題比教材中的一般習題有難度的話，就是路程和時間沒有直接給出，拐了個彎。也就是說難點在於第二步中知道模型系統後相應的數量怎麼確定的找出來，一定要注意題中每一個量是怎樣訴述的，有什麼特殊的要求，在認真讀題的基礎上準確的找出來或計算出來。
案例2.;有一根20米長的繩子，要剪成2米和5米長兩種規格的跳繩，每種跳繩各剪多少根？（要求繩子無剩餘，並且每種規格的繩子至少要有一根）
分析：此題從表面上看，是小學數學整數乘法的一般問題，但是由於題中有特殊要求，無法列式解答。如果用方程，題目中涉及了兩個未知數，屬於二元一次方程，超出了小學數學的範圍。那麼，面對這樣的問題如何解決呢？在小學數學中面對一些非常規範的問題時，有時運用清單列舉或猜測的方式是一種可行的策略，只不過會繁瑣些。
5米跳繩的根數12342米跳繩的根數7520剩餘根數1010由上表可知符號要求的答案為：5米和2米的跳繩分別減2根和5根。
此題如果用方程解決，可設5米和2米的跳繩分別剪x根和y根，可列方程:5x=2y=20.可仿照正比例關係y=kx圖像的畫法，再有方格紙的坐標系裡，通過兩點（0,10）和（4,0）畫出一條直線，就是方程5x=2y=20.圖像。再找出圖像與方程的交叉點重合的點，就是方程的解。
案例3：一瓶礦泉水滿瓶為500毫升，小林喝了一些，剩餘的水都在圓柱形的部分，高度是16釐米。如果把瓶蓋擰緊，倒立過來，無水的部分高度為4釐米。小林喝了多少水？
分析;此題是求水的容積，有一個在建模過程中需要假設，就是礦泉水瓶援助部分並不是一個圓柱的形狀，這樣才便於建立模型，由於不知道圓柱的底面積，所以無法用容積公式直接求解。這就需要換一個思路來想，根據容積公式v=sh.可知如果底面積一定，容積與圓柱的高成正比，這樣就把求容積問題轉化為比例問題。由於礦泉水瓶最上面部分形狀不規則，倒立過來以後喝的水就相當於圓柱形瓶子高度為4釐米的水。滿瓶礦泉水就相當於這瓶水都裝在圓柱形瓶子後，高度為20釐米的水。可設小林喝的水為v毫升，列式為：v:500=4:(16+4)，V=100
3．模型思想的具體運用
數學的發現和發展過程，也是一個應用的過程。從這個角度而言，伴隨著數學知識的產生和發展，數學模型實際上也隨後產生和發展了。如自然數系統1,2,3…是描述離散數量的數學模型。2000多年前的古人用公式計算土地面積，用方程解決實際問題等，實際上都是用各種數學知識建立數學模型來解決實際問題等，實際上都是用各種數學知識建立數學模型來解決數學問題的。就小學數學的應用來說，大多數是古老的初等數學知識的簡單應用，也許在數學家的眼裡，這根本就不是真正的數學模型；不過小學數學的應用雖然簡單，但仍然是現實生活和進一步學習所不可缺的。小學數學中的模型如下表。
知識領域知識點應用舉例數與代數數的表示自然數列：0,1,2，….用數軸表示數數的運算a+b=cC-a=b,c-a=ba×b=c(a≠0,b≠0)c÷a=b,c÷b=a方程a+b=c數量關係時間、速度和路程：s=vt數量、單價和總價;a=np正比例關係;y/x=k反比例關係：xy=k用表格表示數量間的關係用圖像表示數量間的關係空間與圖像用字母表示公式三角形面積;s=1/2ab平行四邊形面積：S=ah梯形面積：s=1/2(a+b)h圓周長：C=2πr圓面積：S=πr2長方體面積：v=abc正方體體積：V=a2圓柱體積：v=Sh圓錐體積：v=1/3sh空間形式用圖表表示空間和平面結構統計與概率統計圖和統計表用統計圖表描述和分析各種資訊可能性用分數表示可能性的大小4．數學模型思想的教學
從表格中可以看出：模型思想與符號化思想都是經過抽象後用符號和圖表表達數量關係和空間形式，這是他們的共同之處；但是模型思想更加注重如何經過分析抽象建立模型，更加重視如何應用數學解決生活和科學研究的各種問題。正是因為數學在各個領域的廣泛應用，不但促進了科學和人類的進步，也使人們對數學有了新的認識：數學不僅僅是數學家的樂園，它特不應是抽象和枯燥的代名詞，它是全人類的朋友，也是廣大中小學生的朋友。廣大教師在教學中結合數學的應用和解決問題的數學，要注意貫徹《數學課程標準》的理念，另一方面要注重滲透模型思想，另一方面要教會學生如何建立模型，比不過喜歡數學。
學生學習數學模型大概有兩種情況：第一種是基本模型的學習，即學習教材中以例題為代表的新知識，這個學習過程可能是一個探索的過程，也可能是一個接受學習的過程；第二種是利用基本模型區解決各種問題，即利用學習的基本知識解決教材中豐富多彩的習題以及各種課外問題。
教學建模是一個比較複雜和富有挑戰的過程，這個過程大致有以下幾個步驟：（1）理解問題的實際問題，明確要解決什麼問題，屬於什麼模型系統。（2）把複雜的情境經過分析和簡化，確定必要的資料。（3）建立模型，可以是數量關係式，也可以是圖示形式。（4）解答問題。下面結合案例做簡要分析。
第一，學習的過程可以經歷類似于數學家建模的再創造過程，現實過程中已有的數學模型基本上是數學家和物理家等科學家們應用于各個領域經過艱辛的研究創造出來的，是的我們能夠享受現實的成果。如阿基米德發現了杠杆定律;平行的杠杆，物體到杠杆支點的距離之比，即F1：F2=L2；L1.根據課程標準的理念，學生的學習過程有時是一個探索的過程，也是一個再創造的過程；也就是說有些模型是可以由學生再創造的，可以吧科學家發明的成果再創造一次。如在學習了反比例關係以後，可以利用簡單的學具進行操作實驗，探索杠杆定律。再如利用若干個相同的小正方體拼擺成一個長方體，探索長方體中含有小正方體的個數與長方體的長、寬、高的關係，進而歸納出長方體的體積公式，建立模型v=abc，這是一個模型化的過程，也是一個再創造的過程。
第二，對於大多數人來說，在現實生活中和工作中利用數學解決各種問題，基本上都是根據對現實情境的分析，利用已有的學習知識構建模型。這樣的模型是已經存在並且科學的，並不是新發明的，由學生進行再創造也幾乎是不可行的；換句話說，有些模型由於難度較大或不便於探索，不必讓學生在創造。如兩個變數成反比例關係，如果給出兩個量資料變化的表格，學生通過觀察和計算有可能發現者兩個量的關係。但是如果讓學生動手實踐操作去發現規律，還是有一定難度的。再如物體運動地路程、時間和速度的關係為s=vt，利用這個基本模型可以解決各種有關勻速運動的簡單的實際問題。但是由於這個模型比較抽象，操作難度較大，因而也不適合學生進行再創造。教師只需要通過現實模擬或者動畫模擬，是學生能夠理解模型的意義便可。
案例1;小明的家距學校600米，每天上學從家步行10分鐘到學校。今天早上出門2分鐘後發現忘記帶學具了，立即回家去取。他如果想按原來的時間趕到學校，步行的速度應是多少？（取東西的時間忽略不計）
第三,應用已有的數學知識分析數量關係和空間形式，經過抽象建立模型進而解決各種問題。學生學習了教材上的基礎知識後，利用已有的知識解決新的更加複雜的各種問題，是一個富有挑戰的過程，也可以是一個合作探究的過程。如小學生數學競賽中有很多應用數學解決的問題，就是一個建立模型的過程；再如中學生和大學生組隊參加數學建模大賽，就是一個團隊合作探究的過程。
解題過程如下：
（1）本題是日常生活中常見的行程問題，問題是要求小明步行的速度，是關於時間、速度和路程的問題。
（2）這裡需要明確所求的速度行相對應的路程和時間是什麼，因為取東西等時間忽略不計，因此剩餘的時間就可以確定為步行的時間；路程是從家出來2分鐘後開始算，在回家的路程加上從家到回家的路程的和；時間是10分鐘減去2分鐘，只有8分鐘的時間了。
（3）根據基本的關係式s=vt，可先求出s=600+(600÷10)×2=720(米),t=10-2=8(分鐘)。列式為：720=8v
（4） V=90,即小明步行的速度每分鐘為90米。
從上面的解答過程來看，小學數學的情境還是比較容易理解的，模型系統也容易確定。如果說此題比教材中的一般習題有難度的話，就是路程和時間沒有直接給出，拐了個彎。也就是說難點在於第二步中知道模型系統後相應的數量怎麼確定的找出來，一定要注意題中每一個量是怎樣訴述的，有什麼特殊的要求，在認真讀題的基礎上準確的找出來或計算出來。
案例2.;有一根20米長的繩子，要剪成2米和5米長兩種規格的跳繩，每種跳繩各剪多少根？（要求繩子無剩餘，並且每種規格的繩子至少要有一根）
分析：此題從表面上看，是小學數學整數乘法的一般問題，但是由於題中有特殊要求，無法列式解答。如果用方程，題目中涉及了兩個未知數，屬於二元一次方程，超出了小學數學的範圍。那麼，面對這樣的問題如何解決呢？在小學數學中面對一些非常規範的問題時，有時運用清單列舉或猜測的方式是一種可行的策略，只不過會繁瑣些。
5米跳繩的根數12342米跳繩的根數7520剩餘根數1010由上表可知符號要求的答案為：5米和2米的跳繩分別減2根和5根。
此題如果用方程解決，可設5米和2米的跳繩分別剪x根和y根，可列方程:5x=2y=20.可仿照正比例關係y=kx圖像的畫法，再有方格紙的坐標系裡，通過兩點（0,10）和（4,0）畫出一條直線，就是方程5x=2y=20.圖像。再找出圖像與方程的交叉點重合的點，就是方程的解。
案例3：一瓶礦泉水滿瓶為500毫升，小林喝了一些，剩餘的水都在圓柱形的部分，高度是16釐米。如果把瓶蓋擰緊，倒立過來，無水的部分高度為4釐米。小林喝了多少水？
分析;此題是求水的容積，有一個在建模過程中需要假設，就是礦泉水瓶援助部分並不是一個圓柱的形狀，這樣才便於建立模型，由於不知道圓柱的底面積，所以無法用容積公式直接求解。這就需要換一個思路來想，根據容積公式v=sh.可知如果底面積一定，容積與圓柱的高成正比，這樣就把求容積問題轉化為比例問題。由於礦泉水瓶最上面部分形狀不規則，倒立過來以後喝的水就相當於圓柱形瓶子高度為4釐米的水。滿瓶礦泉水就相當於這瓶水都裝在圓柱形瓶子後，高度為20釐米的水。可設小林喝的水為v毫升，列式為：v:500=4:(16+4)，V=100