我們知道， 在小學數學裡有些問題不是通過初等數學的方法解決的， 如圓的面積， 無法直接按照求長方形面積的方法來計算， 無法直接按照求長方形面積的方法來計算。
王永春（課程教材研究所）
1、極限思想的概念我國古代數學家劉徽為了計算圓的面積和圓周率， 曾經創立了“割圓術”， 具體做法是：先作圓的內接正六邊形， 再作內接正十二邊形……隨著邊數的不斷增加， 正多邊形越來越接近於圓， 那麼它的面積和周長也越來越接近於圓的面積和周長。 劉徽在描述這種做法時說“割之彌細， 所失彌少，
為了便於理解， 我們先從數列說起， 數列是按照正整數1、2、3、…、n、…編號依次排列的一列數，
， ， ， …， ， …
其中稱為數列的通項。 其實， 數列的通項可以看成是引數為正整數n的特殊的函數， 可寫作=， 其定義域為全體正整數。 如
1， ， ， …， ， …
2， 4， 6， …， 2n， …
1， －1， 1， －1， 1， －1…
都是數列， 當n無限增大時， 這些數列的通項都會隨之變化， 有的趨向於無窮大， 如第二個數列；有的無限接近於某一常數， 如第一個數列無限接近於0， 這時我們就說該數列以0為極限， 或者說收斂到0。 通俗地說， 就是對於任意給定一個不管多麼小的正數ε， 總是存在一個正整數N， 使得n﹥N的通項（N+1及大於它的每一項， 即,,…）與常數的差的絕對值總小於ε（在數軸上可以直接地理解為兩個點和的距離總小於ε）， 那麼就說數列的極限為。
在上面的數列中， 由無窮多個項相加的式子
+++…++…
叫做無窮級數， 其中前n項的和可記作=+++…++…， 稱為級數的部分和， 這些部分和又可以構成一個新的數列
， ， ， …， ， …
當n趨向于無窮大時， 如果數列的極限存在， 可設極限為S， 這時極限S就是無窮級數+++…++…的和， 記作
S=+++…++…
2.極限思想的重要意義小學生的思維以形象思維為主， 逐步向邏輯思維過渡；此外， 在小學數學中還滲透著既對立又統一的辯證思維， 如加與減、乘與除是學生非常熟悉的辯證關係。 在極限思想中， 也滲透著有限與無線、曲與直、變與不變的辯證關係。 我們知道， 多邊形的面積直接用公式就可以計算出來， 而如果其中有的邊改成曲邊， 就無法直接用多邊形的面積公式計算， 就要用定積分來求了， 如曲邊梯形（直角梯形的斜邊是曲邊）的面積計算，
極限思想在小學數學中的應用和滲透， 主要體現在以下幾點。
（1）在數的認識中體會有限與無限的思想。 小學生從一年級開始就認識自然數0、1、2、3、…同時知道每個自然數加1就等於它的後繼數。 到了認識億以內的數時， 進一步知道了最小自然數是0， 沒有最大的自然數，自然數的個數是無限的。也就是說，任意給定一個足夠大的自然數N，只需要把它加1就會得到一個更大的自然數N+1，N+1＞N，所以總是找不到一個最大的自然數，從而體會到自然數數列的無限多和趨向無窮大。由此可以推廣到奇數、偶數、一個數的倍數、兩個數的公倍數等都沒有最大的，都有無限多個。在學習分數的基本性質時，學生知道分母不同、分數值相等的分數有無限多個。在學習小數時，首先認識的是有限小數，然後認識無限循環小數，還知道圓周率是無限不循環小數。
（2）在數的計算中體會極限思想。小學數學學習的數的計算一般都是經過有限的幾步計算就可以解決的問題，另外，作為知識的拓展，可適當介紹一些無限多個數相加的問題，如在數形結合思想中曾經介紹了無窮多個分數相加的問題，本文不再贅述。我國古代思想家莊子曾說過“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”這句話可用下面的數學語言來描述“長度為單位1的線段，第一天取走全長的一半，以後每天取走剩下的一半，永遠有剩餘”，用無窮等比遞縮數列的和來表示取走的長度，就是數形結合思想中的案例。另外，循環小數化分數的問題，也可以利用極限思想和數形結合思想來計算。
（3）在認識圖形時滲透無限的思想。與自然數列的趨向無窮大類似，有些圖形也具有無限長的特性，如直線、射線、角的邊、平行線等，都具有無限延伸的特性，可以滲透無限的思想。
（4）在圓的面積、圓柱的體積的計算中滲透極限思想。
如上所述，在小學數學中圓的面積不能像求長方形的面積那樣直接利用公式計算，圓柱的體積不能像長方體那樣直接利用公式計算，利用極限思想可以解決這些問題。如計算圓的面積時，先把圓平均分成若干等份，拼成近似的長方形，但它還不是長方形，仍然無法直接按照求長方形面積的方法來求；因為把一個圓不論進行怎樣細小的有限次的分割拼補，都無法真正拼成一個長方形；這時只有借助極限思想，把圓分割的越細小所拼成的圖形就越接近於長方形，可以這樣無限地分下去，拼成的圖形面積就越趨向於長方形的面積，最後通過取極限來得到它的面積，這是極限思想在小學數學中最完美的體現。也就是說，極限思想是這樣操作的理論基礎和計算精確性的保證。
極限的概念是抽象的、辯證的，在教學中應注意下面的問題。
對有關極限的一些概念、教學要求和解題方法應準確把握。極限思想是用無限逼近的方式來研究數量的變化趨勢的思想，這裡要抓住兩個關鍵語句：一個是變化的量是無窮多個，另一個是無限變化的量趨向於一個確定的常數，二者缺一不可。如自然數列是無限的，但是它趨向於無窮大，不趨向於一個確定的常數，因而自然數列沒有極限。在教學中一方面要讓學生體會無限，更重要的是通過具體案例讓學生體會無限變化的量趨向於一個確定的常數。極限以及在此基礎上定義的導數、定積分是解決用函數表達的現實問題的有力工具。有限與無限是辨證思維的一種體現，要辨證地看待二者的關係，不要用初等數學的“有限的”眼光看“無限的”問題，要用極限思想看無限，極限方法是一種處理無限變化的量的變化趨勢的有力工具。換句話說，當我們面對無限的問題時，就不要再用有限的觀點來思考，要進入無限的狀態，數學上極限就是這麼一個規則和邏輯，我們按照這個規則和邏輯去做就可以了。
另外，對循環小數和無限不循環小數的理解和表示也體現了有限與無限的辯證關係。我們知道，在中學數學裡一般用整數和分數來定義有理數，用無限不循環小數來定義無理數，有理數和無理數統稱為實數。有理數包括整數、有限小數和循環小數。整數和有限小數化成分數是學生非常熟悉的，那麼，循環小數怎樣化成分數呢？我們以前曾經介紹過用方程的方法可以解決這一問題。下面我們再用極限的方法來解決。
案例：把循環小數0.999…化成分數。
分析：0.999…是一個循環小數，也就是說，它的小數部分的位元數有限多個。對於小學生來說，能夠接受的方法就是數形結合思想和極限思想的共同應用和滲透，通過構造一個直觀地幾何圖形來描述極限思想。先看下面的數列
0.9，0.09，0.009，…
用數形結合的思想，把這個數列用線段構造如下：把一條長度是1的線段，先平均分成10份，取其中的9份；然後把剩下的1份再平均分成10份，取其中的9份……所有取走的線段的長度是
0.9+0.09+0.009+…=0.999…
如此無限的取下去，剩下的線段長度趨向於0，取走的長度趨向於1，根據極限思想，可得0.999…=1。
對於教師而言，光有極限思想的滲透是不夠的，還需要進一步理解如何用極限方法來解決。這是一個無窮比遞縮數列的求和問題，根據公式可得
0.9+0.09+0.009+…=0.9÷(1－0.1)＝1
所以0.999…=1。
也許有的老師會認為：無限循環小數的位數是無限的，和永遠達不到1，永遠小於1。這是一種錯誤的概念，是因為用有限的觀點來看待無限造成的；這樣的問題在數學上應該用極限的方法來解決，這是一個無窮等比遞縮數列求和的問題，前n項的和（當n趨向于無窮大時）的極限為1，所以上面數列的和是1。這時有的老師可能又會認為：極限是1，數列的和是1，就是一定能取完。這種觀點也只說對了一半，也就是說用極限1來作為數列的和是對的，但是原因說的不十分準確，如上所述，極限的概念裡沒有說變化的量最後是否一定達到1，只需要當n足夠大時，與1的距離要多小就有多小就足夠了。通俗地說，在數軸上，你可以先任意取一個很小的正數ε，針對這個ε，只要找到一個正整數N，N+1以後的每一項都會落在區間（1－ε，1+ε）裡，也許這裡的每一項與1還有一點點距離，但是已經不重要了，已經不影響極限的數學遊戲規則了，也就是不影響數列的和的取值了。
通過這個例子進一步說明：極限方法只關注一個無限的變化過程的確定趨勢是什麼，只要趨勢確定並且符合極限的定義，那麼這個無限變化的過程的結果就用極限來表示，它就是一個解決問題的方法而已，只要符合極限的規則和邏輯，就可以用極限來表示無限變化的過程和結果，它並不關心這個無限變化的過程何時能到達極限，它本質上不同於有限個數的和。
沒有最大的自然數，自然數的個數是無限的。也就是說，任意給定一個足夠大的自然數N，只需要把它加1就會得到一個更大的自然數N+1，N+1＞N，所以總是找不到一個最大的自然數，從而體會到自然數數列的無限多和趨向無窮大。由此可以推廣到奇數、偶數、一個數的倍數、兩個數的公倍數等都沒有最大的，都有無限多個。在學習分數的基本性質時，學生知道分母不同、分數值相等的分數有無限多個。在學習小數時，首先認識的是有限小數，然後認識無限循環小數，還知道圓周率是無限不循環小數。（2）在數的計算中體會極限思想。小學數學學習的數的計算一般都是經過有限的幾步計算就可以解決的問題，另外，作為知識的拓展，可適當介紹一些無限多個數相加的問題，如在數形結合思想中曾經介紹了無窮多個分數相加的問題，本文不再贅述。我國古代思想家莊子曾說過“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”這句話可用下面的數學語言來描述“長度為單位1的線段，第一天取走全長的一半，以後每天取走剩下的一半，永遠有剩餘”，用無窮等比遞縮數列的和來表示取走的長度，就是數形結合思想中的案例。另外，循環小數化分數的問題，也可以利用極限思想和數形結合思想來計算。
（3）在認識圖形時滲透無限的思想。與自然數列的趨向無窮大類似，有些圖形也具有無限長的特性，如直線、射線、角的邊、平行線等，都具有無限延伸的特性，可以滲透無限的思想。
（4）在圓的面積、圓柱的體積的計算中滲透極限思想。
如上所述，在小學數學中圓的面積不能像求長方形的面積那樣直接利用公式計算，圓柱的體積不能像長方體那樣直接利用公式計算，利用極限思想可以解決這些問題。如計算圓的面積時，先把圓平均分成若干等份，拼成近似的長方形，但它還不是長方形，仍然無法直接按照求長方形面積的方法來求；因為把一個圓不論進行怎樣細小的有限次的分割拼補，都無法真正拼成一個長方形；這時只有借助極限思想，把圓分割的越細小所拼成的圖形就越接近於長方形，可以這樣無限地分下去，拼成的圖形面積就越趨向於長方形的面積，最後通過取極限來得到它的面積，這是極限思想在小學數學中最完美的體現。也就是說，極限思想是這樣操作的理論基礎和計算精確性的保證。
極限的概念是抽象的、辯證的，在教學中應注意下面的問題。
對有關極限的一些概念、教學要求和解題方法應準確把握。極限思想是用無限逼近的方式來研究數量的變化趨勢的思想，這裡要抓住兩個關鍵語句：一個是變化的量是無窮多個，另一個是無限變化的量趨向於一個確定的常數，二者缺一不可。如自然數列是無限的，但是它趨向於無窮大，不趨向於一個確定的常數，因而自然數列沒有極限。在教學中一方面要讓學生體會無限，更重要的是通過具體案例讓學生體會無限變化的量趨向於一個確定的常數。極限以及在此基礎上定義的導數、定積分是解決用函數表達的現實問題的有力工具。有限與無限是辨證思維的一種體現，要辨證地看待二者的關係，不要用初等數學的“有限的”眼光看“無限的”問題，要用極限思想看無限，極限方法是一種處理無限變化的量的變化趨勢的有力工具。換句話說，當我們面對無限的問題時，就不要再用有限的觀點來思考，要進入無限的狀態，數學上極限就是這麼一個規則和邏輯，我們按照這個規則和邏輯去做就可以了。
另外，對循環小數和無限不循環小數的理解和表示也體現了有限與無限的辯證關係。我們知道，在中學數學裡一般用整數和分數來定義有理數，用無限不循環小數來定義無理數，有理數和無理數統稱為實數。有理數包括整數、有限小數和循環小數。整數和有限小數化成分數是學生非常熟悉的，那麼，循環小數怎樣化成分數呢？我們以前曾經介紹過用方程的方法可以解決這一問題。下面我們再用極限的方法來解決。
案例：把循環小數0.999…化成分數。
分析：0.999…是一個循環小數，也就是說，它的小數部分的位元數有限多個。對於小學生來說，能夠接受的方法就是數形結合思想和極限思想的共同應用和滲透，通過構造一個直觀地幾何圖形來描述極限思想。先看下面的數列
0.9，0.09，0.009，…
用數形結合的思想，把這個數列用線段構造如下：把一條長度是1的線段，先平均分成10份，取其中的9份；然後把剩下的1份再平均分成10份，取其中的9份……所有取走的線段的長度是
0.9+0.09+0.009+…=0.999…
如此無限的取下去，剩下的線段長度趨向於0，取走的長度趨向於1，根據極限思想，可得0.999…=1。
對於教師而言，光有極限思想的滲透是不夠的，還需要進一步理解如何用極限方法來解決。這是一個無窮比遞縮數列的求和問題，根據公式可得
0.9+0.09+0.009+…=0.9÷(1－0.1)＝1
所以0.999…=1。
也許有的老師會認為：無限循環小數的位數是無限的，和永遠達不到1，永遠小於1。這是一種錯誤的概念，是因為用有限的觀點來看待無限造成的；這樣的問題在數學上應該用極限的方法來解決，這是一個無窮等比遞縮數列求和的問題，前n項的和（當n趨向于無窮大時）的極限為1，所以上面數列的和是1。這時有的老師可能又會認為：極限是1，數列的和是1，就是一定能取完。這種觀點也只說對了一半，也就是說用極限1來作為數列的和是對的，但是原因說的不十分準確，如上所述，極限的概念裡沒有說變化的量最後是否一定達到1，只需要當n足夠大時，與1的距離要多小就有多小就足夠了。通俗地說，在數軸上，你可以先任意取一個很小的正數ε，針對這個ε，只要找到一個正整數N，N+1以後的每一項都會落在區間（1－ε，1+ε）裡，也許這裡的每一項與1還有一點點距離，但是已經不重要了，已經不影響極限的數學遊戲規則了，也就是不影響數列的和的取值了。
通過這個例子進一步說明：極限方法只關注一個無限的變化過程的確定趨勢是什麼，只要趨勢確定並且符合極限的定義，那麼這個無限變化的過程的結果就用極限來表示，它就是一個解決問題的方法而已，只要符合極限的規則和邏輯，就可以用極限來表示無限變化的過程和結果，它並不關心這個無限變化的過程何時能到達極限，它本質上不同於有限個數的和。