貝塔分佈背後的直覺：概率的概率分佈

編者按：貝塔分佈的定義很簡單，具有兩個參數α、β（α,β > 0）的一組定義在(0, 1)區間的連續概率分佈。但是，它背後的直覺卻不是那麼明顯。 Stack Overflow資料科學家David Robinson在Cross Validated解釋了貝塔分佈背後的直覺。

簡而言之，貝塔分佈代表probabilities（概率的複數形式）的分佈，也就是說，它代表當我們不知道概率是什麼時，概率的所有可能值。

所有看棒球的人都熟悉打擊率這個概念，也就是安打數除以打數（因此，打擊率是0到1之間的百分數）。

.266是一個平均水準的打擊率，而.300是一個優秀的打擊率。

假設我們想預測某個棒球手在整個賽季的打擊率。你可能會說，

使用已有的打擊率資料不就行了？但是在賽季剛開始的時候，這會是一個非常差的衡量指標，如果棒球手的打數只有幾次，可能預測出棒球手的打擊率為1.000或0.000這樣的數字。

我們為什麼知道上面的預測很糟糕？如果我們觀察到棒球手在賽季一開始出現了一個三振，為什麼沒人會預測這個棒球手在整個賽季都拿不到一個安打？因為我們有先驗知識，我們知道，在歷史上，絕大多數棒球手的賽季平均打擊率在.215到.360之間，有一些極端罕見的例外低於或高於這個範圍。我們知道，如果一個棒球手剛開始出現了幾個三振，那可能意味著他最終的打擊率會比平均值低一點，但我們知道他大概不會偏離上面提到的範圍。

我們的打擊率問題可以表示為二項分佈（一系列成功和失敗），表示這些先驗預期（在統計學上我們直接稱為先驗）的最好方式是貝塔分佈——也就是說，在我們觀測到棒球手的打擊資料前，我們大致期望他的打擊率會是這樣的。貝塔分佈的定義域為(0, 1)，和概率一樣，因此我們知道我們的路線是正確的——但是貝塔分佈與當前任務的相關性遠不止這些。

我們期望，棒球手整個賽季的打擊率最有可能在.27附近，但.21到.35
也很合理。這可以用參數α=81、β=219的貝塔分佈表示：

curve(dbeta(x, 81, 219))

注意，分佈的均值為α/(α+β) = 81/(81+219) = .270。

整個分佈基本上完全位於(.2, .35)之間，對打擊率而言，這個範圍很合理。

在我們的例子中，貝塔分佈的x軸代表打擊率。因此，不僅y軸代表概率（更準確地說，概率密度）， x軸也代表概率（打擊率是安打的概率）！貝塔分佈是概率的概率分佈。

接著我們討論為什麼貝塔分佈非常合適我們的問題。假設棒球手完成了一個安打。當前賽季的記錄為安打 1；打數 1。我們需要更新概率——我們希望略微移動整個曲線以反映我們新獲得的資訊。

儘管相應的數學證明有點複雜（證明見此），結果非常簡單。新的貝塔分佈將是：

Beta(α0+hits,β0+misses)

其中， α0和β0是剛開始的參數81和219。因此，在這一情形下， α增加了1（1次安打），而β完全沒有增加（目前還沒有落空）。這意味著我們的新分佈是Beta(81+1,219)：

curve(dbeta(x, 82, 219))

注意上面的圖像基本上沒有變動——肉眼觀察不到改變！（這是因為一個安打其實說明不了什麼。

）

然而，隨著賽季的進行，棒球手的安打數越多，曲線為了適應新證據所作的移動也會越多，而且，由於我們有更多的證據，它會收攏。比如，到賽季的一半，球手的打數達到了300，其中有100個安打。新的分佈會是Beta(81+100,219+200)：

curve(dbeta(x, 81+100, 219+200))

注意，和原來相比，現在曲線變得更狹長了，同時向右側（更高的擊打率）移動了。我們對球手的打擊率更有概念了。

基本上，所得貝塔分佈的期望值，就是我們新的估計。回顧一下，貝塔分佈的期望值為α/(α+β)。因此，在真實打數為300，安打數為100的情況下，新貝塔分佈的期望值為(81+100)/(81+100+219+200) = .303。注意它比樸素的估計值100/(100+200) = .333要低，但比賽季開始前的估計值81/(81+219) = .270要高。你可能會注意到，這一等式等價於球手加上“提前開始”的安打數和落空數——也就是說“在賽季開始時，球手已經有81安打、219落空的記錄”。

因此，貝塔函數最適宜用來表示概率的概率分佈——當你並不預先知道概率是多少，但具備一些合理的猜測的時候。

注意，和原來相比，現在曲線變得更狹長了，同時向右側（更高的擊打率）移動了。我們對球手的打擊率更有概念了。

因此，貝塔函數最適宜用來表示概率的概率分佈——當你並不預先知道概率是多少，但具備一些合理的猜測的時候。