第三章：古典希臘數學的產生。 本篇記錄亞里斯多德學派。
亞里斯多德學派
“亞里斯多德（西元前384—前332）生於馬其頓的一個城市史太其拉（Stageira）。 他是柏拉圖的學生和同事， 相處二十年之久， 並從西元前343年到前340年當亞歷山大大帝的老師。 西元前335年他成立了自己的學派學園學派。 學園裡有個花園、一個課堂和一所藝神（Muses）的祭壇。 亞里斯多德的著作涉及機械學（力學）、物理學、數學、邏輯、氣象學、植物學、心理學、動物學、倫理學、文學、形而上學、經濟學和其它許多領域。 ”按：小時候覺得亞里斯多德很弱， 錯誤百出， 每門學科幾乎都從批判他的錯誤開始。
“他認為科學可分三類：理論性的、生產性的和實務性的。 理論性科學是探求真理的， 包括數學、物理學（光學和聲學以及天文學）以及形而上學， 其中數學是最精確的科學；生產性科學是各項工藝；而實務性科學， 例如倫理學和政治學， 則是為了擺正人的行為動作。 ”按：用現代的語言， 理論性科學是基礎科學， 生產性科學是生產技術，
“在理論科學中， 邏輯是其中各門科學的先行學科， 而形而上學家則要討論並解釋數學家和自然哲學家（科學家）認為不言而喻的東西， 例如研究物件的存在性或真實性問題以及公理的本性問題。 ”按：亞里斯多德對邏輯學和形上學的定位非常準確， 思維非常超前。 中國古代哲學家根本不做這些分類， 把哲學、自然規律、倫理道德和治國方法一股腦兒都塞到一個“道”裡， 造成無數混淆和誤解。 典型例子是王陽明格竹子格不出名堂來， 就走到唯心主義的道路上， 一領悟“致良知”就宣佈自己成聖了。 基督教的“太初有道， 道成肉身”也是同樣的錯誤。 跟亞里斯多德一比， 都弱爆了。
跟柏拉圖的理念論不同，
亞里斯多德“對定義的想法是合乎現代精神的；他說定義只不過是給一批文字定個名。 ”按：正如羅素所指出的， 定義一個性質等於指出具有這個性質的事物的集合， 動物就是所有動物的集合， 2就是所有二元組的集合。
“他又指出定義必須用先存在于所定義事項的某種東西來表述。
亞里斯多德指出（據普魯塔克說柏拉圖較早指出過）“一個定義只能告訴我們一件事物是什麼， 並不說明它一定存在。 定義了的東西是否存在有待於證明， 除非是少數幾點第一性的東西諸如點和直線， 它們的存在是同公理（第一性原理）一起事先為人們接受的。
“亞里斯多德和歐幾裡得所採取的用以證明存在性的方法是構造（construction）。 歐幾裡得《原本》中頭三個公理承認直線和圓的構造；所有其他數學概念則必須構造出來以證明其存在， 例如角的三等分線雖可定義， 但不能用直線和圓構造出來， 所以在希臘幾何學裡不能加以考慮。 ”按：重視構造是中國古代數學的傳統， 在這一點上中國對數學的過去和未來有很大的貢獻。 然而把構造作為唯一的證明存在性的方法是過分的， 再把尺規作圖作為唯一的構造方法就更過分。在這個意義上，解析幾何極大地解放了數學，因為角的三等分線等尺規作圖無法解決的問題都可以用代數來精確定義，現在不會有人質疑它的存在性與合法性了。
亞里斯多德“把公理和公設加以區別，認為公理是一切科學所公有的真理，而公設則只是為某一門科學接受的第一性原理。他把邏輯原理（諸如矛盾律、排中律、等量加減等量後結果相等的公理以及其他這類原理）都列為公理。公設無需是不言自明的，但其是否屬真應受所推出結果的檢驗。”按：這個思想驚人的先進，正是現代自然科學的基本結構。每一門科學，如經典力學、量子力學、相對論、統計力學都有自己的基本原理。這些基本原理的可靠性不是由它們自己，而是由它們推出的結論跟實驗符合來證明的。所以這些基本原理完全可以遠離直觀，如量子力學的疊加原理、相對論的光速不變、統計力學的所有微觀態出現幾率相等。而在推理的過程中，無論哪一門學科都是完全遵守矛盾律、排中律等邏輯原理的。
“所列出的一批公理或公設，數目應該愈少愈好，只要它們能用以證明所有結果。”按：非常高明的見解。埋下了一代又一代數學家力圖證明歐幾裡得第五公設、最終導致非歐幾何的種子。
“雖然歐幾裡得也採用亞里斯多德之說，把公理和公設區別開來（從下章可知），但直到19世紀末為止的所有數學家都漠視這一區別，把公理和公設都當作是同樣不言自明的。”按：亞里斯多德真神人也！有人認為現存所謂柏拉圖、亞里斯多德的著作都是文藝復興時期偽造的。好，即使確實是偽造的，那偽造這些超前觀念的人仍然是神人，因為他遠遠超越了文藝復興時期的認識水準，其內涵直到19世紀末才被理解。如果真有這樣的作偽，那這水準比偽造古文《尚書》什麼的要高太多了！
亞里斯多德說點不可分，不論聚集起多少點來，總是聚不成能分的東西，因此點不能形成線段。“一點可能是一線的末端、開端或其上的分界線，但它不能是線的一部分，也不成其為量。一點只有通過運動才能產生一線從而成為量的本原。他又論證說點沒有長度，因此若一線由點組成，它將沒有長度。……亞里斯多德講過許多次關於連續量的話，講法都不一致。”按：離散與連續、靜止與運動的關係對古人是個大難題，即使是亞里斯多德這樣的智者也抓不住要點，說了一大堆似是而非的話。由此可見，把微積分的基本概念理清的柯西、維爾斯特拉斯等人是多麼偉大。
亞里斯多德“提出要把潛在的無窮（大）和真實的無窮（大）加以區別（這在今日有重要意義）。……亞里斯多德認為只存在潛在的無窮（大）。他承認正整數是潛在無窮的，因給任何數加上1後總能得一新數，但無窮集合這類集合是不存在的。其次，大多數的量甚至不能是潛在無窮的，因它們若不斷增加，就會超出宇宙範圍。但空間是潛在無窮的，因它能反復往下細分，而時間則在兩個方向上都是潛在無窮的。”按：區分潛無窮和實無窮，的確是高見！
“亞里斯多德的一個重大貢獻是創立邏輯學。希臘人在研究出正確的數學推理規律時就已奠定了邏輯的基礎，但要等到有亞里斯多德這樣的學者才能把這些規律典範化和系統化，使之形成一門獨立學科。從亞里斯多德的著作中，可以十分清楚地看出，他是從數學得出邏輯來的。他的基本邏輯原理——矛盾律，指出一個命題不能既是真的又是假的；排中律，指出一個命題必然是真的或者是假的——就是數學裡間接證法的核心。亞里斯多德用當時課本中的數學例子來說明他的推理原則。亞里斯多德的邏輯一直到19世紀無人能挑出它的毛病。”按：後來誰挑出了亞里斯多德邏輯的什麼毛病？是羅素悖論？哥德爾不完全定理？
“邏輯這門科學雖來自數學，但其後卻被人們認為是獨立于並且先行於數學的，而且能應用於一切推理過程。若前所述，甚至亞里斯多德自己也認為邏輯先行於科學和哲學。在數學裡他強調演繹證明，認為這是確定事實的唯一基礎。就柏拉圖而論，他相信數學真理早先存在于或獨立於物質的世界，故認為推理不足以保證定理正確；他認為邏輯的作用是第二位元的。邏輯無非是把我們已知其為真的命題明白說出來罷了。”按：又一次，亞里斯多德的觀點完全正確，跟現代一致，而柏拉圖的唯心主義完全被拋棄。
“亞里斯多德學派中有一人特別值得一提，這就是羅德島的歐德摩斯。此人生活於西元前4世紀後期……寫過算術、幾何及天文學方面的歷史。他是有案可查的第一位科學史家。”按：中國最早的科學史家是誰？
再把尺規作圖作為唯一的構造方法就更過分。在這個意義上，解析幾何極大地解放了數學，因為角的三等分線等尺規作圖無法解決的問題都可以用代數來精確定義，現在不會有人質疑它的存在性與合法性了。亞里斯多德“把公理和公設加以區別，認為公理是一切科學所公有的真理，而公設則只是為某一門科學接受的第一性原理。他把邏輯原理（諸如矛盾律、排中律、等量加減等量後結果相等的公理以及其他這類原理）都列為公理。公設無需是不言自明的，但其是否屬真應受所推出結果的檢驗。”按：這個思想驚人的先進，正是現代自然科學的基本結構。每一門科學，如經典力學、量子力學、相對論、統計力學都有自己的基本原理。這些基本原理的可靠性不是由它們自己，而是由它們推出的結論跟實驗符合來證明的。所以這些基本原理完全可以遠離直觀，如量子力學的疊加原理、相對論的光速不變、統計力學的所有微觀態出現幾率相等。而在推理的過程中，無論哪一門學科都是完全遵守矛盾律、排中律等邏輯原理的。
“所列出的一批公理或公設，數目應該愈少愈好，只要它們能用以證明所有結果。”按：非常高明的見解。埋下了一代又一代數學家力圖證明歐幾裡得第五公設、最終導致非歐幾何的種子。
“雖然歐幾裡得也採用亞里斯多德之說，把公理和公設區別開來（從下章可知），但直到19世紀末為止的所有數學家都漠視這一區別，把公理和公設都當作是同樣不言自明的。”按：亞里斯多德真神人也！有人認為現存所謂柏拉圖、亞里斯多德的著作都是文藝復興時期偽造的。好，即使確實是偽造的，那偽造這些超前觀念的人仍然是神人，因為他遠遠超越了文藝復興時期的認識水準，其內涵直到19世紀末才被理解。如果真有這樣的作偽，那這水準比偽造古文《尚書》什麼的要高太多了！
亞里斯多德說點不可分，不論聚集起多少點來，總是聚不成能分的東西，因此點不能形成線段。“一點可能是一線的末端、開端或其上的分界線，但它不能是線的一部分，也不成其為量。一點只有通過運動才能產生一線從而成為量的本原。他又論證說點沒有長度，因此若一線由點組成，它將沒有長度。……亞里斯多德講過許多次關於連續量的話，講法都不一致。”按：離散與連續、靜止與運動的關係對古人是個大難題，即使是亞里斯多德這樣的智者也抓不住要點，說了一大堆似是而非的話。由此可見，把微積分的基本概念理清的柯西、維爾斯特拉斯等人是多麼偉大。
亞里斯多德“提出要把潛在的無窮（大）和真實的無窮（大）加以區別（這在今日有重要意義）。……亞里斯多德認為只存在潛在的無窮（大）。他承認正整數是潛在無窮的，因給任何數加上1後總能得一新數，但無窮集合這類集合是不存在的。其次，大多數的量甚至不能是潛在無窮的，因它們若不斷增加，就會超出宇宙範圍。但空間是潛在無窮的，因它能反復往下細分，而時間則在兩個方向上都是潛在無窮的。”按：區分潛無窮和實無窮，的確是高見！
“亞里斯多德的一個重大貢獻是創立邏輯學。希臘人在研究出正確的數學推理規律時就已奠定了邏輯的基礎，但要等到有亞里斯多德這樣的學者才能把這些規律典範化和系統化，使之形成一門獨立學科。從亞里斯多德的著作中，可以十分清楚地看出，他是從數學得出邏輯來的。他的基本邏輯原理——矛盾律，指出一個命題不能既是真的又是假的；排中律，指出一個命題必然是真的或者是假的——就是數學裡間接證法的核心。亞里斯多德用當時課本中的數學例子來說明他的推理原則。亞里斯多德的邏輯一直到19世紀無人能挑出它的毛病。”按：後來誰挑出了亞里斯多德邏輯的什麼毛病？是羅素悖論？哥德爾不完全定理？
“邏輯這門科學雖來自數學，但其後卻被人們認為是獨立于並且先行於數學的，而且能應用於一切推理過程。若前所述，甚至亞里斯多德自己也認為邏輯先行於科學和哲學。在數學裡他強調演繹證明，認為這是確定事實的唯一基礎。就柏拉圖而論，他相信數學真理早先存在于或獨立於物質的世界，故認為推理不足以保證定理正確；他認為邏輯的作用是第二位元的。邏輯無非是把我們已知其為真的命題明白說出來罷了。”按：又一次，亞里斯多德的觀點完全正確，跟現代一致，而柏拉圖的唯心主義完全被拋棄。
“亞里斯多德學派中有一人特別值得一提，這就是羅德島的歐德摩斯。此人生活於西元前4世紀後期……寫過算術、幾何及天文學方面的歷史。他是有案可查的第一位科學史家。”按：中國最早的科學史家是誰？