1.A4 紙為啥是這個尺寸？
今天的故事從身邊的 A4 紙開始講起。
前一陣網路上流行曬「A4 腰」， 在這個標準下， 腰部寬度不能超過多少呢？
搜索一下就能知道，
A4 紙每天都出現在我們身邊， 那麼你有沒有想過， 為什麼它是 210*297 這個尺寸呢？
「隨便定的唄？」也許你會想。
隨便定可不行， 可以說 A4 紙的尺寸在某種程度上決定了現代印刷業的標準， 從書籍的尺寸， 到印表機的尺寸， 都必須遵循一個全球通用的標準才行。 工業時代的一大特徵， 就是標準化。
德國人在 19 世紀 20 年代創建了自己的工業標準體系——德國工業標準比例（DIN）， 這一標準很快被推行到全世界， 被納入國際標準組織的 ISO216。 在這個標準中， 紙張的尺寸被定義為 A、B、C 三個系列。 我們最常見的 A4 紙就是屬於 A 系列的。
紙張的生產， 必然是先加工一張大紙， 然後通過對折裁切，
好， 我們知道了 A4 紙的尺寸是由 A0 紙確定的， 但問題還沒有解決， 為什麼 A0 紙是 841*1189 毫米這樣的尺寸呢？
首先， 紙張有一個重要的指標， 叫做克數。 我們去圖文店列印的時候， 對方會問我們選用多少克的紙張。 我們知道這個克數代表了紙張的厚度， 但因為實際中紙張的厚度很難測量， 所以國際標準中換了一個方式來表達。 這個紙張的克數指的就是「1 平方米的紙張的重量」。
為了方便把這個「1 平方米的紙張的重量」定量， 最好的方式就是 A0 的紙面積恰好是 1 平方米， 這樣生產出來就可以直接測量了。
最大紙張的面積確定了， 剩下的就是要確定它的邊長了。 我們看到現在 A0 紙的尺寸是 841*1189 毫米， 這兩個數字的乘積是 999.949， 很接近但不是精確的 1 平方米。
看上去這個尺寸很彆扭， 不好記又不湊整， 如果讓你來定義一張 1 平方米的紙張的邊長，
也許你首先會想到， 那就乾脆定為 1000*1000 毫米不就好啦！
好， 我們就按照這個思路來確定紙張的尺寸， 看看會不會出現什麼問題。
上面說了， 更小的紙張是由更大的紙張對折裁切一半而來的（這樣浪費最少）， 那麼我們把這張 1000*1000 毫米的 A0 紙對折， 得到的 A1 紙的尺寸就是 1000*500 毫米， 再對折得到的 A2 紙尺寸就是 500*500 毫米， 以此類推。
這樣的紙張規格雖然在生產上沒有問題， 但在實際的使用中就會出現一系列的問題。
比如我們在 A3 紙上排好了一篇圖文， 想要把它等比例縮小到 A4 紙的時候， 要麼會留出很大的白邊， 要麼就會拉伸圖像。
這兩種情況都不是我們想要的，我們需要紙張被裁切一半之後，長寬比仍然和原來一樣。看到這兒你可以停一下問問自己，這個問題怎麼解決？
其實這是一個小學數學就能解決的問題。
我們假設我們想要的這種紙張的長邊是 a，短邊是 b，裁切一半後的小長方形的長邊變成了 b，短邊變成了 a/2，就是下面的這個長方形。
我們希望的結果是大小兩個長方形的長短邊比例一樣，也就是：
a/b=2b/a。
方程兩邊都乘以 ab，得到：
a2=2b2
再變換一下得到：
(a/b)2=2
好，我們拿到了這樣一個結果，長方形的長邊和短邊的比值是一個數位，這個數位的平方等於 2。
生活在現代的我們知道，這個數字是√2，用計算器就可以算出來，它的數值是 1.4142135623731……
再來看看我們的紙張尺寸，從 A0 紙的 841*1189 毫米，到 A4 紙的 210*297 毫米，都是非常接近於 1.414 這個比例的。
這個比例非常好的解決了上述任意比例紙張的問題。畫在 A4 紙上的圖畫可以等比例放大到 A0 海報上；手邊只要有某一款 A 系列的紙，即能做出任意大小的 A 系列。
當然，√2：1 這個比例值是一個無限不循環小數，實際生產中人們只能取它的近似值。相信你剛剛讀到這個√2 的時候，也沒有覺得它有什麼神秘，想去深挖它究竟是個什麼東西。
而實際上，我們剛剛放出來的，是一個十足的魔鬼，它的出現在歷史上掀起了一場軒然大波，還有人在這場風波中為之喪命。
如果你堅持看到這裡還覺得有點無聊，那麼恭喜你，好戲即將開始。
2.第一次數學危機
西元前 500 年，有一位牛人，叫畢達哥拉斯。如果你對這位牛人有點兒陌生，那你一定知道「畢達哥拉斯」定理，那就是「直角三角形中，兩直角邊的平方和等於斜邊的平方」。
在我國，這個定理就是著名的畢氏定理。
在畢達哥拉斯的時代，這個定理還有個有趣的名字，叫做「百牛定理」。原因是畢達哥拉斯發現並證明這個定理的時候太興奮了，傳說殺了 100 頭牛來祭祀神明，感謝神明賜給他的靈感。
這位牛人創辦了一個數學學派，叫做畢達哥拉斯學派。你可別認為這個學派和現在的什麼後現代美術學派是一回事，畢達哥拉斯學派在當時那基本就是個宗教。
比如這個學派中有「不允許吃豆子」、「不允許用鐵撥弄火」等奇怪的規定，畢達哥拉斯本人作為「教主」，稱呼自己創辦的學派為「教團」，他給學生們講課的時候身穿白色法衣，頭頂金冠站在法壇上。
哲學家赫拉克利特這樣評價他：「畢達哥拉斯讀了大量的書，親自創造出智慧、博識與妖術。」
那麼這個「畢達哥拉斯教團」信奉的神靈是什麼呢？——別笑，他們信數字。
教團相信，整數像原子一樣，構成了宇宙中的一切，並描述宇宙中的一切。宇宙的一切事物的度量都可用整數或整數的比來表示，除此之外，就再沒有什麼了。
也許你會覺得這種想法很幼稚，但聽聽下面的描述，也許你會覺得畢達哥拉斯說的很有道理。
我們問一個問題：整數，以及兩個整數相除的分數，可以占滿整個數軸嗎？
我們先從整數（也就是分母為 1 的分數開始），把這些數位扔到數軸上。
嗯，有一些空隙，沒填滿。那我們再把所有分母為 2 的數位（上面數位的一半）插進去。
然後再插入分母為 4 的數字：
隨著分母的不斷增大，我們插入的數字會越來越多，插到數軸上的點將會越來越密集。任意給出一小段長度，比如 1/1000，那麼我們可以找出 1/10000 這樣小的數位插進去。
無論多麼小的兩個分數之間，我們都能插入分母都更大的數字插進去（也就是更精確的整數比值），比如 1/7 和 2/7 之間，我們想要一個更精確的數，那麼可以把 3/14 插進去。
於是畢達哥拉斯學派認為「組成和描述世界的，只有整數和整數之比」這個觀點，你是不是覺得也很有道理？
然而，這個觀點是錯的，而且錯的很遠很遠。
畢達戈拉斯有一個學生，叫希勃索斯。這個哥們勤奮好學，善於觀察分析和思考。一天，他跑到畢達哥拉斯面前問他：「邊長為 1 的正方形，其對角線的長是多少呢？」
畢達哥拉斯聽到這個問題就愣了，根據他證明的定理，邊長為 1 的正方形的對角線長度的平方應該等於 2（即 12+12），那麼什麼數字的平方等於 2 呢？
畢達哥拉斯尋找了很久都沒有找到，他希望能找到兩個很大很大的數字相除，結果等於這個數字。但無論找到的分數的分子和分母多大，這個比值都只能很接近，卻不能精確地等於 2 開平方（當時還沒有√2 這種表達方式）。
也許你會想，數字要多大有多大，現在找不到，不代表以後找不到，也許有某兩個 100 億位元的數字相除，結果正好等於 2 開平方呢？
答案是沒有。不需要一直找下去，就可以直接證明，√2 不是任何兩個整數之比。如果你有興趣可以看看下面這段證明，不感興趣的話跳過去也不影響閱讀。
反證法：假設√2=p/q，
p、q 為互質的正整數
（兩個正整數,除了 1 以外,沒有其他公約數時,稱這兩個數為互質數，非互質的兩個數相除，可以消去公約數而成為更小的分數，比如 2/4 可以消掉公約數 2 變成 1/2）
兩邊平方：2=p2/q2
p2=2q2 ——（1）
2q2顯然為偶數,所以 p2也是偶數，所以 p 必為偶數
設 p=2k（k 為正整數）
則（1）式變為：4k2=2q2
q2=2k2
同理得 q 也為偶數
兩個偶數必有一個公約數 2
與題設的 p、q 互質矛盾
故不存在互質的正整數 p 和 q 構成一個等於√2 的分數
希勃索斯的這個發現，從根本上動搖了畢達哥拉斯神教的立教之本。畢達戈拉斯無法解釋這種“怪” 現象，他驚駭極了，整個學派的理論體系將面臨崩潰。忐忑不安下，他採取了錯誤的方式：下令封鎖消息，也不准西佰斯再研究和談論此事。
希勃索斯在畢達戈拉斯的高壓下，心情非常痛苦，但在事實面前，他認為根號 2 是客觀存在的，老師的理論體系無法解釋它，這說明老師的理論有問題。
後來，他不顧一切的將自己的發現和看法傳揚了出去，整個學派頓時轟動了，也使畢達戈拉斯惱羞成怒，無法容忍這個“叛逆”。決定對希勃索斯施加加懲罰。後者聽到風聲後，連夜乘船逃走。然而，就在他所乘坐的海船的後面追來了幾艘小船，當他還未醒悟過來的時候，畢達戈拉斯學派的打手已出現在他的面前，他手腳被綁後，投入到了浩瀚無邊的大海之中。這位年輕的數學家就這樣為了知識獻出了生命。
後來的人們把希勃索斯發現的這種數稱之為無理數，之前畢達哥拉斯所認為是宇宙全部的數（整數和兩個整數至比），稱為有理數。
實際上這兩個稱呼的翻譯是錯誤的，有理數來自於單詞「rational number」, 詞根 ratio 意思除了「合理」之外，還有一個含義是「比率」，所以更准切的翻譯是「可被比例描述的數」和「不可被比例描述的數」。只不過叫習慣了，也就沒必要改了。
後來的人們又證明，不僅存在著無理數，而且無理數的數量遠遠多於有理數。上述不斷增大分母插入分數的方法，無論進行到多少，數軸上都有著數不清的「縫隙」，被無理數填滿。
在 0 和 1 之間隨便插一根針，你有幾乎是 100%的概率得到一個無理數。這個證明有點兒複雜，我放到最後的推薦書目裡。
無理數的發現和芝諾關於無限的四大悖論，共同掀起了第一次數學危機。這又是另一個龐大的故事了。
3.細思極恐的無理數
現在回頭看看，A4 紙裡面藏著的√2，是不是一個十足的魔鬼？
那麼這個√2 到底是個什麼東西呢？前面我們說到，用越來越小的分數，可以把數軸填的無限滿，似乎在直覺上，無論我們把數軸放大多少倍，總能有一個分數插入到更小的區域中去。但無論我們插入的數有多精確，小數點之後有多少位，它都只能夠「接近」√2，而我們卻永遠不知道它的精確值。
我們先來說說，這個√2 到底等於多少？
如果我們去買布，肯定不能和店員說，給我√2 米的布，人家沒法給你量。我們知道√2 的數值近似等於 1.414，但這個數值還遠遠不夠精確。
希勃索斯發現的「邊長為 1 的正方形對角線等於√2」這個方法也不行，即便你可以毫無誤差地畫一個邊長為 1 米的正方形，也無法精確地測量出對角線的長度。
最早的計算方法是這樣的，我們一個數位一個數位地來不斷接近它。
首先，我們知道 1然後我們依次計算(1.1)2、(1.2)2、(1.3)2，得到(1.4)2=1.96
(1.5)2=2.25>2
我們又得到√2 是介於 1.4 和 1.5 之間的數，這第二位 4 也就確定了。
用這種笨辦法，我們可以一位接一位永遠算下去。
隨著數學的不斷發展，人們發明了各種方法來計算√2 的數值，其中最簡潔的表達是這個無窮無盡的連除式：
√2 的小數位，是無限不循環小數。可以用數學工具證明，所有的分數要麼是有限位元的小數，要麼是循環小數；而所有的無理數，都一定是無限不循環小數。
這個「無限且不迴圈」又是什麼呢？細細想想，這種數真的很怪異。
在幾何上，它有一個確定的長度，在數軸上有一個非常確定的位置。如下圖，以邊長為 1 的正方形的對角線為半徑畫一個圓，圓與數軸的交點就是√2。
然而，當我們想把它數出來的時候，它就無止境地向遠方跑，使我們無法掌握它。既然缺乏準確性，又能麼能叫做數呢？
這個在西元前就被放出來的魔鬼，雖然在兩千多年來一直被全世界的人們使用，卻又讓人們一直在邏輯上無法接受它的存在。甚至有很多人人為，是我們基於整數的整個數學體系出了問題。
有很多人（比如東方的數學家和歐幾裡得學派的幾何學家）則是完全從實用的角度出發，不管什麼意義，只要它存在，就拿來使用。
無理數之謎直到十九世紀中葉，數學界發展對微積分和連續性的研究，才慢慢解開。此時的數學，已經離人們的直覺越來越遠。這個故事若講起來就很長了。
簡單來說，人們在積分中引入了「連續」的概念，與上面提到的「不斷增加分母的大小插入分數」的理念是很不同的。後者無論進行到多精密，都是把數軸看作一個個珠子串起來的項鍊（儘管珠子可以非常小），而「連續」的理念則是認為數軸是無需放大從本質上就是沒有縫隙的。
由珠子串起來的項鍊，在用一把非常鋒利的刀砍下去的時候，會有可能砍空。比如我們把所有負有理數和平方不超過 2 的正有理數看作左半段，把所有平方超過 2 的正有理數看作右半段，如果數軸上只有有理數，那用到砍在這兩半之間就會砍個空。誰填補在這裡呢？就是我們的老朋友√2。
4.更怪異的超越數
電影和漫畫中經常有這樣的橋段：當主人公費了九牛二虎之力終於戰勝了 BOSS 之後，卻發現在他的背後還有更大的 BOSS 存在。
在人們使用微積分工具，終於找到了無理數的存在意義並真正理解它的時候，又一頭怪獸被放了出來。
現在的我們都知道圓的周長與直徑之比π≈3.1415926，也知道它是個無限不循環小數，即無理數。
然而，人們對π的理解，卻比√2 慢得多。
從π出現到確定它是無理數，人類花了三千年的時間。
西元前 1650 年，埃及人用（16/9）2≈3.16 來近似π的值。
西元前 300 多年，阿基米德用 22/7≈3.14 來近似π值。
前面我們提到了√2 的笨演算法，所以古人可以很容易地推算它的數值。兩千多年前人們就能把它算的很精確。而把π值從 3.14 推進到 3.1416（三國時期中國數學家劉徽）就用了 500 多年的時間。
又過了 200 多年，祖沖之用 355/113 來近似的估計π，將π的精度計算到小數點後 7 位。
π與√2 還有一個很大的不同，後者是方程 x2=2 的解，而在 1882 年，德國的林德曼證明了，π不是任何一個整數系代數方程的根。
好吧，無理數不能用任何兩個整數相除來表達，我們好不容易才弄清楚，這又出來一種不僅不能用相除，而且是不能用任何代數方程來表達的數！
人們給了這種數一個更辣眼的名字：超越數。
值得一提的是，東方和西方的數學家都不約而同地使用圓的內切或外切多邊形來逼近π的值（不斷增加多邊形的邊數來越來越接近圓）。祖沖之得出的 355/113，要算到 24576 邊形！天曉得這位仁兄是怎麼算的。
後來人們發現π可以通過一些數列的極限來表示，比如萊布尼茨公式：
π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9……
用這一類的方法，後人又算出了更精確的π值。比如德國的魯道夫算出小數點後第 35 位。
目前人們根據這些公式編寫電腦程式，已經把π的值計算到小數點後 60 萬億位。
然而，這已經沒什麼實際的測量意義了，即便我們僅僅使用小數點後 40 位的π來計算整個可視宇宙的周長，誤差也不會超過一個原子。
那麼，人們為什麼還要費那麼大力來測算π的精確值呢？
因為，數學界有一個巨大的猜想：π，極有可能是一個合取數。
啥？合取數？
我保證這是這篇文章中出現的最後一個 BOSS 了。
在影視劇《疑犯追蹤》中，哈樂德·芬奇說了這樣一段話：
圓周長與直徑之比，無窮無盡，永不重複。在這串數位中，包含每種可能的組合。你的生日、儲物櫃密碼、社保號碼，都在其中某處。如果把這些數位轉換為字母，就能得到所有的單詞，無數種組合。你嬰兒時發出的第一個音節，你心上人的名字，你一輩子從始至終的故事，我們做過或說過的每件事，宇宙中所有無限的可能，都在這個簡單的圓中。這種包含全部數位組合可能的數，就叫做合取數。
在下面這個網站中，儲存了 2 億位的π值。你可以去裡面檢索任意一段數位串——比如暗戀女孩的生日。都可以檢索到它在π的小數點後多少位。
π值檢索
即便你檢測不到，也不代表它不在π中，別忘了，我們目前已經計算到第 60 萬億位，而後邊還有無窮無盡的位數，而這裡只儲存了 2 億位。
科普作家卡爾薩根著名的科幻小說《接觸》中，就描述到主人公被外星人指引，得到一個新的演算法，把π值計算到非常靠後的位置時，得到了規律性的字串。在進行 11 進制的轉換後，主人公得到了可以由 0 和 1 組成的陣列，陣列中 0 和 1 清晰地拼出一個完美的圓。外星人告訴它，這就是宇宙超級文明，或是上帝留給所有宇宙文明的「大消息」。無論你來自哪個星系，是什麼樣的生物，π這個數值已經被一個設計者根植在這個宇宙的基本量中。π，是設計者留下的簽名。
基於π很可能有的合取性，有人半開玩笑地設計了一套檔案系統“πfs”，你的所有的資料都很可能存在π的某一個地方，只要找到那個地方就好了。這種方式可以極大的壓縮資料。比如把一本書編制成二進位資料，找到這個二進位資料在π中的位置，然後記錄下這個位置即可。
當然，這只是個玩笑，不說π尚未被證明是合取數，即便是，你要的資料在π中的位元數，也許也是一個比資料本身更大的天文數字呢！
5.兩本書
人們從基本的計數需要發明了整數，然後由於分配的需要發明了分數，又由於記帳的需求發明了負數。從√2 的發現的時候起，人們開始逐漸脫離直覺，正式進入正式的抽象數學領域。以至於後來出現的虛數、極限、微分和積分，仿佛只為了折磨上學的孩子而產生的。
而實際上並非如此。每一種新的矛盾的出現，都迫使人們為解決實際的問題而發明新的數學工具，不斷擴充數的概念。從一開始的整數，到分數，到有理數，到實數，再到複數，數域的不斷擴大，是為了滿足人們越來越複雜的計算需求。
整個數學的發展史，就是一次次出現危機，並一次次解決這些危機的歷史。這歷史讀起來驚心動魄，妙趣橫生。
這篇文章由於篇幅有限，且考慮到很多人對數學語言不感興趣，有很多問題沒有展開說。比如「所有分數不是有限位元小數，就是無限循環小數」的證明，比如微積分如何解決了無理數之謎，比如為什麼無理數比有理數多得多（即使有理數的數量已經是無限多），再比如文章最後提到的數系的擴張。
如果你堅持看到這裡還覺得有點意思又還不過癮，那麼我強烈推薦兩本書，一本是遠山啟的《數學與生活》，另外一本是張景中的《從√2 談起》，上述內容在這兩本書中都有更詳細的闡述，相信你讀完一定大呼過癮，原來數學這麼有意思！
如果你有孩子在讀中學，那麼更加建議你買上兩本送給他們，一定能燃起他們對數學強烈的興趣，而不像我們這一代的大多數人，學了「假的數學」。
這兩種情況都不是我們想要的，我們需要紙張被裁切一半之後，長寬比仍然和原來一樣。看到這兒你可以停一下問問自己，這個問題怎麼解決？
其實這是一個小學數學就能解決的問題。
我們假設我們想要的這種紙張的長邊是 a，短邊是 b，裁切一半後的小長方形的長邊變成了 b，短邊變成了 a/2，就是下面的這個長方形。
我們希望的結果是大小兩個長方形的長短邊比例一樣，也就是：
a/b=2b/a。
方程兩邊都乘以 ab，得到：
a2=2b2
再變換一下得到：
(a/b)2=2
好，我們拿到了這樣一個結果，長方形的長邊和短邊的比值是一個數位，這個數位的平方等於 2。
生活在現代的我們知道，這個數字是√2，用計算器就可以算出來，它的數值是 1.4142135623731……
再來看看我們的紙張尺寸，從 A0 紙的 841*1189 毫米，到 A4 紙的 210*297 毫米，都是非常接近於 1.414 這個比例的。
這個比例非常好的解決了上述任意比例紙張的問題。畫在 A4 紙上的圖畫可以等比例放大到 A0 海報上；手邊只要有某一款 A 系列的紙，即能做出任意大小的 A 系列。
當然，√2：1 這個比例值是一個無限不循環小數，實際生產中人們只能取它的近似值。相信你剛剛讀到這個√2 的時候，也沒有覺得它有什麼神秘，想去深挖它究竟是個什麼東西。
而實際上，我們剛剛放出來的，是一個十足的魔鬼，它的出現在歷史上掀起了一場軒然大波，還有人在這場風波中為之喪命。
如果你堅持看到這裡還覺得有點無聊，那麼恭喜你，好戲即將開始。
2.第一次數學危機
西元前 500 年，有一位牛人，叫畢達哥拉斯。如果你對這位牛人有點兒陌生，那你一定知道「畢達哥拉斯」定理，那就是「直角三角形中，兩直角邊的平方和等於斜邊的平方」。
在我國，這個定理就是著名的畢氏定理。
在畢達哥拉斯的時代，這個定理還有個有趣的名字，叫做「百牛定理」。原因是畢達哥拉斯發現並證明這個定理的時候太興奮了，傳說殺了 100 頭牛來祭祀神明，感謝神明賜給他的靈感。
這位牛人創辦了一個數學學派，叫做畢達哥拉斯學派。你可別認為這個學派和現在的什麼後現代美術學派是一回事，畢達哥拉斯學派在當時那基本就是個宗教。
比如這個學派中有「不允許吃豆子」、「不允許用鐵撥弄火」等奇怪的規定，畢達哥拉斯本人作為「教主」，稱呼自己創辦的學派為「教團」，他給學生們講課的時候身穿白色法衣，頭頂金冠站在法壇上。
哲學家赫拉克利特這樣評價他：「畢達哥拉斯讀了大量的書，親自創造出智慧、博識與妖術。」
那麼這個「畢達哥拉斯教團」信奉的神靈是什麼呢？——別笑，他們信數字。
教團相信，整數像原子一樣，構成了宇宙中的一切，並描述宇宙中的一切。宇宙的一切事物的度量都可用整數或整數的比來表示，除此之外，就再沒有什麼了。
也許你會覺得這種想法很幼稚，但聽聽下面的描述，也許你會覺得畢達哥拉斯說的很有道理。
我們問一個問題：整數，以及兩個整數相除的分數，可以占滿整個數軸嗎？
我們先從整數（也就是分母為 1 的分數開始），把這些數位扔到數軸上。
嗯，有一些空隙，沒填滿。那我們再把所有分母為 2 的數位（上面數位的一半）插進去。
然後再插入分母為 4 的數字：
隨著分母的不斷增大，我們插入的數字會越來越多，插到數軸上的點將會越來越密集。任意給出一小段長度，比如 1/1000，那麼我們可以找出 1/10000 這樣小的數位插進去。
無論多麼小的兩個分數之間，我們都能插入分母都更大的數字插進去（也就是更精確的整數比值），比如 1/7 和 2/7 之間，我們想要一個更精確的數，那麼可以把 3/14 插進去。
於是畢達哥拉斯學派認為「組成和描述世界的，只有整數和整數之比」這個觀點，你是不是覺得也很有道理？
然而，這個觀點是錯的，而且錯的很遠很遠。
畢達戈拉斯有一個學生，叫希勃索斯。這個哥們勤奮好學，善於觀察分析和思考。一天，他跑到畢達哥拉斯面前問他：「邊長為 1 的正方形，其對角線的長是多少呢？」
畢達哥拉斯聽到這個問題就愣了，根據他證明的定理，邊長為 1 的正方形的對角線長度的平方應該等於 2（即 12+12），那麼什麼數字的平方等於 2 呢？
畢達哥拉斯尋找了很久都沒有找到，他希望能找到兩個很大很大的數字相除，結果等於這個數字。但無論找到的分數的分子和分母多大，這個比值都只能很接近，卻不能精確地等於 2 開平方（當時還沒有√2 這種表達方式）。
也許你會想，數字要多大有多大，現在找不到，不代表以後找不到，也許有某兩個 100 億位元的數字相除，結果正好等於 2 開平方呢？
答案是沒有。不需要一直找下去，就可以直接證明，√2 不是任何兩個整數之比。如果你有興趣可以看看下面這段證明，不感興趣的話跳過去也不影響閱讀。
反證法：假設√2=p/q，
p、q 為互質的正整數
（兩個正整數,除了 1 以外,沒有其他公約數時,稱這兩個數為互質數，非互質的兩個數相除，可以消去公約數而成為更小的分數，比如 2/4 可以消掉公約數 2 變成 1/2）
兩邊平方：2=p2/q2
p2=2q2 ——（1）
2q2顯然為偶數,所以 p2也是偶數，所以 p 必為偶數
設 p=2k（k 為正整數）
則（1）式變為：4k2=2q2
q2=2k2
同理得 q 也為偶數
兩個偶數必有一個公約數 2
與題設的 p、q 互質矛盾
故不存在互質的正整數 p 和 q 構成一個等於√2 的分數
希勃索斯的這個發現，從根本上動搖了畢達哥拉斯神教的立教之本。畢達戈拉斯無法解釋這種“怪” 現象，他驚駭極了，整個學派的理論體系將面臨崩潰。忐忑不安下，他採取了錯誤的方式：下令封鎖消息，也不准西佰斯再研究和談論此事。
希勃索斯在畢達戈拉斯的高壓下，心情非常痛苦，但在事實面前，他認為根號 2 是客觀存在的，老師的理論體系無法解釋它，這說明老師的理論有問題。
後來，他不顧一切的將自己的發現和看法傳揚了出去，整個學派頓時轟動了，也使畢達戈拉斯惱羞成怒，無法容忍這個“叛逆”。決定對希勃索斯施加加懲罰。後者聽到風聲後，連夜乘船逃走。然而，就在他所乘坐的海船的後面追來了幾艘小船，當他還未醒悟過來的時候，畢達戈拉斯學派的打手已出現在他的面前，他手腳被綁後，投入到了浩瀚無邊的大海之中。這位年輕的數學家就這樣為了知識獻出了生命。
後來的人們把希勃索斯發現的這種數稱之為無理數，之前畢達哥拉斯所認為是宇宙全部的數（整數和兩個整數至比），稱為有理數。
實際上這兩個稱呼的翻譯是錯誤的，有理數來自於單詞「rational number」, 詞根 ratio 意思除了「合理」之外，還有一個含義是「比率」，所以更准切的翻譯是「可被比例描述的數」和「不可被比例描述的數」。只不過叫習慣了，也就沒必要改了。
後來的人們又證明，不僅存在著無理數，而且無理數的數量遠遠多於有理數。上述不斷增大分母插入分數的方法，無論進行到多少，數軸上都有著數不清的「縫隙」，被無理數填滿。
在 0 和 1 之間隨便插一根針，你有幾乎是 100%的概率得到一個無理數。這個證明有點兒複雜，我放到最後的推薦書目裡。
無理數的發現和芝諾關於無限的四大悖論，共同掀起了第一次數學危機。這又是另一個龐大的故事了。
3.細思極恐的無理數
現在回頭看看，A4 紙裡面藏著的√2，是不是一個十足的魔鬼？
那麼這個√2 到底是個什麼東西呢？前面我們說到，用越來越小的分數，可以把數軸填的無限滿，似乎在直覺上，無論我們把數軸放大多少倍，總能有一個分數插入到更小的區域中去。但無論我們插入的數有多精確，小數點之後有多少位，它都只能夠「接近」√2，而我們卻永遠不知道它的精確值。
我們先來說說，這個√2 到底等於多少？
如果我們去買布，肯定不能和店員說，給我√2 米的布，人家沒法給你量。我們知道√2 的數值近似等於 1.414，但這個數值還遠遠不夠精確。
希勃索斯發現的「邊長為 1 的正方形對角線等於√2」這個方法也不行，即便你可以毫無誤差地畫一個邊長為 1 米的正方形，也無法精確地測量出對角線的長度。
最早的計算方法是這樣的，我們一個數位一個數位地來不斷接近它。
首先，我們知道 1然後我們依次計算(1.1)2、(1.2)2、(1.3)2，得到(1.4)2=1.96
(1.5)2=2.25>2
我們又得到√2 是介於 1.4 和 1.5 之間的數，這第二位 4 也就確定了。
用這種笨辦法，我們可以一位接一位永遠算下去。
隨著數學的不斷發展，人們發明了各種方法來計算√2 的數值，其中最簡潔的表達是這個無窮無盡的連除式：
√2 的小數位，是無限不循環小數。可以用數學工具證明，所有的分數要麼是有限位元的小數，要麼是循環小數；而所有的無理數，都一定是無限不循環小數。
這個「無限且不迴圈」又是什麼呢？細細想想，這種數真的很怪異。
在幾何上，它有一個確定的長度，在數軸上有一個非常確定的位置。如下圖，以邊長為 1 的正方形的對角線為半徑畫一個圓，圓與數軸的交點就是√2。
然而，當我們想把它數出來的時候，它就無止境地向遠方跑，使我們無法掌握它。既然缺乏準確性，又能麼能叫做數呢？
這個在西元前就被放出來的魔鬼，雖然在兩千多年來一直被全世界的人們使用，卻又讓人們一直在邏輯上無法接受它的存在。甚至有很多人人為，是我們基於整數的整個數學體系出了問題。
有很多人（比如東方的數學家和歐幾裡得學派的幾何學家）則是完全從實用的角度出發，不管什麼意義，只要它存在，就拿來使用。
無理數之謎直到十九世紀中葉，數學界發展對微積分和連續性的研究，才慢慢解開。此時的數學，已經離人們的直覺越來越遠。這個故事若講起來就很長了。
簡單來說，人們在積分中引入了「連續」的概念，與上面提到的「不斷增加分母的大小插入分數」的理念是很不同的。後者無論進行到多精密，都是把數軸看作一個個珠子串起來的項鍊（儘管珠子可以非常小），而「連續」的理念則是認為數軸是無需放大從本質上就是沒有縫隙的。
由珠子串起來的項鍊，在用一把非常鋒利的刀砍下去的時候，會有可能砍空。比如我們把所有負有理數和平方不超過 2 的正有理數看作左半段，把所有平方超過 2 的正有理數看作右半段，如果數軸上只有有理數，那用到砍在這兩半之間就會砍個空。誰填補在這裡呢？就是我們的老朋友√2。
4.更怪異的超越數
電影和漫畫中經常有這樣的橋段：當主人公費了九牛二虎之力終於戰勝了 BOSS 之後，卻發現在他的背後還有更大的 BOSS 存在。
在人們使用微積分工具，終於找到了無理數的存在意義並真正理解它的時候，又一頭怪獸被放了出來。
現在的我們都知道圓的周長與直徑之比π≈3.1415926，也知道它是個無限不循環小數，即無理數。
然而，人們對π的理解，卻比√2 慢得多。
從π出現到確定它是無理數，人類花了三千年的時間。
西元前 1650 年，埃及人用（16/9）2≈3.16 來近似π的值。
西元前 300 多年，阿基米德用 22/7≈3.14 來近似π值。
前面我們提到了√2 的笨演算法，所以古人可以很容易地推算它的數值。兩千多年前人們就能把它算的很精確。而把π值從 3.14 推進到 3.1416（三國時期中國數學家劉徽）就用了 500 多年的時間。
又過了 200 多年，祖沖之用 355/113 來近似的估計π，將π的精度計算到小數點後 7 位。
π與√2 還有一個很大的不同，後者是方程 x2=2 的解，而在 1882 年，德國的林德曼證明了，π不是任何一個整數系代數方程的根。
好吧，無理數不能用任何兩個整數相除來表達，我們好不容易才弄清楚，這又出來一種不僅不能用相除，而且是不能用任何代數方程來表達的數！
人們給了這種數一個更辣眼的名字：超越數。
值得一提的是，東方和西方的數學家都不約而同地使用圓的內切或外切多邊形來逼近π的值（不斷增加多邊形的邊數來越來越接近圓）。祖沖之得出的 355/113，要算到 24576 邊形！天曉得這位仁兄是怎麼算的。
後來人們發現π可以通過一些數列的極限來表示，比如萊布尼茨公式：
π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9……
用這一類的方法，後人又算出了更精確的π值。比如德國的魯道夫算出小數點後第 35 位。
目前人們根據這些公式編寫電腦程式，已經把π的值計算到小數點後 60 萬億位。
然而，這已經沒什麼實際的測量意義了，即便我們僅僅使用小數點後 40 位的π來計算整個可視宇宙的周長，誤差也不會超過一個原子。
那麼，人們為什麼還要費那麼大力來測算π的精確值呢？
因為，數學界有一個巨大的猜想：π，極有可能是一個合取數。
啥？合取數？
我保證這是這篇文章中出現的最後一個 BOSS 了。
在影視劇《疑犯追蹤》中，哈樂德·芬奇說了這樣一段話：
圓周長與直徑之比，無窮無盡，永不重複。在這串數位中，包含每種可能的組合。你的生日、儲物櫃密碼、社保號碼，都在其中某處。如果把這些數位轉換為字母，就能得到所有的單詞，無數種組合。你嬰兒時發出的第一個音節，你心上人的名字，你一輩子從始至終的故事，我們做過或說過的每件事，宇宙中所有無限的可能，都在這個簡單的圓中。這種包含全部數位組合可能的數，就叫做合取數。
在下面這個網站中，儲存了 2 億位的π值。你可以去裡面檢索任意一段數位串——比如暗戀女孩的生日。都可以檢索到它在π的小數點後多少位。
π值檢索
即便你檢測不到，也不代表它不在π中，別忘了，我們目前已經計算到第 60 萬億位，而後邊還有無窮無盡的位數，而這裡只儲存了 2 億位。
科普作家卡爾薩根著名的科幻小說《接觸》中，就描述到主人公被外星人指引，得到一個新的演算法，把π值計算到非常靠後的位置時，得到了規律性的字串。在進行 11 進制的轉換後，主人公得到了可以由 0 和 1 組成的陣列，陣列中 0 和 1 清晰地拼出一個完美的圓。外星人告訴它，這就是宇宙超級文明，或是上帝留給所有宇宙文明的「大消息」。無論你來自哪個星系，是什麼樣的生物，π這個數值已經被一個設計者根植在這個宇宙的基本量中。π，是設計者留下的簽名。
基於π很可能有的合取性，有人半開玩笑地設計了一套檔案系統“πfs”，你的所有的資料都很可能存在π的某一個地方，只要找到那個地方就好了。這種方式可以極大的壓縮資料。比如把一本書編制成二進位資料，找到這個二進位資料在π中的位置，然後記錄下這個位置即可。
當然，這只是個玩笑，不說π尚未被證明是合取數，即便是，你要的資料在π中的位元數，也許也是一個比資料本身更大的天文數字呢！
5.兩本書
人們從基本的計數需要發明了整數，然後由於分配的需要發明了分數，又由於記帳的需求發明了負數。從√2 的發現的時候起，人們開始逐漸脫離直覺，正式進入正式的抽象數學領域。以至於後來出現的虛數、極限、微分和積分，仿佛只為了折磨上學的孩子而產生的。
而實際上並非如此。每一種新的矛盾的出現，都迫使人們為解決實際的問題而發明新的數學工具，不斷擴充數的概念。從一開始的整數，到分數，到有理數，到實數，再到複數，數域的不斷擴大，是為了滿足人們越來越複雜的計算需求。
整個數學的發展史，就是一次次出現危機，並一次次解決這些危機的歷史。這歷史讀起來驚心動魄，妙趣橫生。
這篇文章由於篇幅有限，且考慮到很多人對數學語言不感興趣，有很多問題沒有展開說。比如「所有分數不是有限位元小數，就是無限循環小數」的證明，比如微積分如何解決了無理數之謎，比如為什麼無理數比有理數多得多（即使有理數的數量已經是無限多），再比如文章最後提到的數系的擴張。
如果你堅持看到這裡還覺得有點意思又還不過癮，那麼我強烈推薦兩本書，一本是遠山啟的《數學與生活》，另外一本是張景中的《從√2 談起》，上述內容在這兩本書中都有更詳細的闡述，相信你讀完一定大呼過癮，原來數學這麼有意思！
如果你有孩子在讀中學，那麼更加建議你買上兩本送給他們，一定能燃起他們對數學強烈的興趣，而不像我們這一代的大多數人，學了「假的數學」。