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布林巴基結構主義
與希爾伯特形式主義的比較研究
黃秦安
作者簡介：黃秦安(1962- )， 男， 陝西西安人， 陝西師範大學數學與資訊科學學院教授， 博士生導師， 研究方向為數學哲學與科學哲學。 西安 710119
人大複印：《科學技術哲學》2017 年 01 期
原發期刊：《科學技術哲學研究》2016 年第 20165 期 第 1-6 頁
摘要：20世紀初， 為克服樸素集合論悖論， 構建堅實的數學基礎， 形式主義者提出了宏偉的“希爾伯特綱領”， 哥德爾不完全性定理的發表使得形式主義的整體目標以失敗告終。 重建數學基礎的問題再次變得迫切。 布林巴基學派應運而生，
為了解決集合論悖論造成的數學基礎危機， 在數學界最有影響的是以希爾伯特為代表的形式主義學派提出的解決方案， 然而， 希爾伯特建立在元數學基礎上的證明論卻並沒有成功。 20世紀30年代， 布林巴基結構主義運動端倪初現並逐步形成一股強有力的“新數學基礎”運動。
一、形式主義綱領與其基本目標的落空
形式主義數學思想形成的一個重要動因是致力於將數學的抽象化推向捨棄任何具象內容的形式公理化的高度。 其先驅和代表人物希爾伯特(D.Hilbert)主張把數學表示為形式化的系統， 在《幾何基礎》這部劃時代的著作中， 與歐幾裡得的實質公理， 學不同， 希爾伯特對點、線、面等基本概念不給予任何解釋， 其意義僅僅存在於其滿足的公理及其結構之中。 因此， 一個數學系統可以稱為公理化的系統， 是指選取盡可能少的未加定義的原始概念(或者叫作基本概念)，
形式主義數學思想形成的另一個重要動因是如何克服集合論悖論。 集合論誕生之後， 很快成為建構任何可能的數學物件及關係的一個絕佳平臺。 而集合論悖論(如布拉利—福蒂悖論、康托悖論和羅素悖論等)卻困擾著數學家們。 面對數學基礎危機， 形式主義者主張用形式公理化系統去整合整個古典數學。 “希爾伯特的計畫是把古典算術充分地加以形式化分析同時力求避免悖論。 ”[1]一個數學系統的形式化就是把這個數學系統用形式語言進行描述，
為了實現這一綱領， 希爾伯特創立了證明論。 著名數學家馮·諾伊曼(J.V.Neumann)曾把證明論的思想概括為以下4個步驟：
(1)羅列出在系統中所使用的所有符號。 包括符號“～”和“→”(分別表示“否定”和“蘊涵”)。 這些符號稱為“原始符號”。
(2)列出所有在經典數學中被列為“有意義”類的陳述的組合。 這些組合叫作“公式”。 (這裡只是說公式是“有意義”的， 並不表示必然“為真”。 像“1+1=2”這樣的公式是有意義的， “1+1=1”也是有意義的， 因為一個公式有意義與否與其中一個為真另一個為假無關。 而像“1+→=1”和“++1=→”這樣的組合公式就是沒有意義的。
(3)接下來需要給出一個構造的程式， 借助於這一程式， 可以構造出相當於經典數學中的“可證明的”陳述的所有公式。 這樣一個構造程式就被叫作本系統中的“證明”。
(4)採用有限的組合方式去對那些與在經典數學中採用有限性算術方法得到的陳述相應的公式加以證明， 也就是說， 可以被(3)中所描述的過程證明(或構造出來)。 [2]73
有學者相信， 如果堅持有窮主義原則和方法， 根據哥德爾不完全性定理的結論， 希爾伯特的上述證明論目標就是無法實現的。 [3]
形式主義者對於數學和元數學的劃分以及不同的意義賦予可謂意味深長。 在數學層面上， 形式主義者傾向於保留古典數學、集合論和實無限領域， 但到了元數學的層面上，形式主義者就開始否認數學物件的實在性，把數學僅僅看成是符號與符號之間的某種關係，數學系統就只不過是一套形式化了的符號系統而已。“數學中的真理和存在等價於其一致性，數學可以用多重存在的真理構造多重的符號世界。”[4]希爾伯特的這一見解體現了不同于傳統數學觀的新認識，有著解構關於數學物件存在的柏拉圖主義觀念的價值，同時也留下了對數學應用性的解釋幾乎“失語”的理論軟肋。
二
布林巴基結構主義的思想脈絡
20世紀30年代，包括形式主義和邏輯主義在內的基礎主義整體目標遭到失敗，這促使數學家再次思考：數學究竟應該有一個怎樣的基礎?數學基礎如何加以構造?這些嚴峻的問題再次被數學共同體所關注。布林巴基學派由此應運而生。布林巴基並不是一個人名，而是一個集體的筆名(全名為Nicholas Bourbaki)。1935年成立時有七位數學家①，之後布林巴基的成員在不斷地變化著，但其宗旨卻始終一致。布林巴基學派從一開始就計畫通過回顧式的梳理，對全部現代數學進行一番徹底的探討，並書寫一部百科全書式的數學巨著《數學原理》。在1947年，以布林巴基這一筆名發表的《數學的建築》一文，被布林巴基看作是自己思想的宣言。[5]
在《數學的建築》這篇劃時代的文獻中，布林巴基表達了對數學高度的專業化發展帶來的分化與分裂局面的擔憂以及重新構築數學統一性的宏偉願望：“數學這樣如此強有力建構的有機體，隨著其新的生長，是會獲得更強大的凝聚力和統一，還是像外部呈現的那樣走向逐步分裂的趨勢，並成為內在於數學的本質。數學的領域是否不會成為巴別塔，這意味著其中自主的學科之間不僅在目標上，而且在方法和語言上會越來越普遍地彼此分離。”[6]布林巴基認為，數學不是由一系列孤立的學科構成的，傳統的數學分類實際上不符合這門學科的深刻性質。例如，算術是研究數的科學，幾何是研究空間物件的科學，代數是研究方程的科學，分析是研究函數的科學等。布林巴基認為，真正要緊的不是所研究物件的性質，而是它們相互的關係。
布林巴基的結構思想得益於19世紀中葉以來數學在各個知識領域的繁榮與進步。特別是像群、域、環、向量空間這樣一些基本的抽象結構，為處理各種數學物件及其關係奠定了基礎。利用這些結構的一般性質，可以輕易地得到以前是由一些複雜的特殊論證和計算才能得到的東西。與之前的許多數學哲學流派和主張相比，布林巴基顯現出其新的思想特色，這就是結構主義思想及其範式。結構主義範式對於深入理解數學發展的特點有著多重的價值。尤其是對於純粹數學來說，結構主義思想具有一種揭示其知識內在關聯性和本質的功效。
在對以往數學，尤其是19世紀中葉以來的數學進展進行梳理的基礎上，布林巴基學派提出了數學的三種基本結構或者叫母結構。[6]一個是代數結構，比較典型的代數結構有群、環、域、代數系統、範疇、線性空間等。第二個是序結構，如果可以在集合中的某些元素之間建立或規定一種順序關係，那麼就可以稱之為具有了一種序結構。其中比較典型的有數系中的大小關係、類的包含關係等，還有諸如半序集、全序集和良序集等等都是具有序結構的。還有一個是拓撲結構，這一結構可以用於描述具有連續性、分離性、鄰近等空間性質的數學物件。比較典型的有緊致集、連通集和拓撲空間等。一個系統可以根據不同的運算規則和性質形成不同的結構。比如在實數系中，有加(減)運算或乘(除)運算，它們可以各自按照加法或乘法運算構成兩種互相聯繫的代數結構。而在實數集合中，由於任意兩個實數都可以比較大小，因此其大小關係可以形成了一種序的結構。同樣還是在實數集上，其連續性又能體現出其拓撲結構的性質。
在三種基本結構(母結構)的基礎上，通過添加一些性質和公理，就可以派生出各種子結構，其中兩種以上的結構可以通過添加新的條件產生出複合結構。如在實數集中，如果a>b，則a+c>b+c，這樣代數結構與序結構就被聯繫在一起了。再如，拓撲群是在群結構上通過引入拓撲結構得到的。H空間(希爾伯特空間)是線性空間(代數結構)添上內積型拓撲(拓撲空間)所構成的數學系統。
三
布林巴基對形式主義的承繼性與兩者之間的相似性
與形式主義者相比，布林巴基的數學工作則可以看作是在更為廣泛的知識背景之下對數學進行新的構成基礎的探索。從兩者的共性看，與形式主義一樣，結構主義仍有很深的基礎主義、元敘事和宏大敘事痕跡。儘管結構主義者特別聲稱其基本立場與基礎主義三大流派的差異，但形式主義是布林巴基結構主義思想的一個重要來源，而結構主義也可以看作是一種新的數學基礎主義思潮。具體來看，其承繼性與相似性表現為如下幾個方面：
(1)數學思想的承繼性。從一定意義上講，布林巴基結構主義就是形式主義綱領在數學層面(而非元數學層面)上的一種實現。布林巴基的代表人物之一迪奧多涅認為，布林巴基“原來的產生是為了以細緻和完備的方式闡明所謂‘形式主義’數學家的實踐”。[7]188而雷克(E.R.Reck)和普利斯(M.P.Price)在“當代數學哲學中的結構與結構主義”一文中，把形式主義看作是結構主義的一種主要類型。[8]所以，形式主義與布林巴基在數學思想與立場上的相似性是明顯的。
(2)兩者都具有數學話語的宏大敘事性和元敘事性。追求整體性和統一性，是形式主義與布林巴基結構主義的一個共同特徵。形式主義是數學基礎主義的一個典範。“論無限”是希爾伯特的一篇著名的演講，希爾伯特在其中表達了對於數學基礎在數學知識判斷上所具有的最高權威的看法：“在某種意義上，數學成了一個仲裁法庭，一個裁決根本問題的最高法庭。”[2]230然而，這種具有終極意義的宏大敘事或元理論的基本立場卻遭到了來自多方面的質疑。法國哲學家利奧塔爾(J.F.Lyotard)站在後現代的立場上對元敘事的合理性提出批評：“我們不再相信存在著一個能一勞永逸地捕捉住每一個最初級話語真理的具有特權的元話語。……所謂的元話語只不過是所有話語中的一種。”[9]
(3)對基礎主義的追求。形式主義本身就是典型的基礎主義流派之一，在布林巴基斯想中仍有很濃重的基礎主義痕跡。布林巴基力圖建立整體化的數學知識結構。力度強大的理論綜合和對幾乎所有純粹數學的重新整理，幾十卷浩瀚的數學巨著，都是其重建數學基礎的成就。
(4)對公理化方法和邏輯方法的推崇和應用。公理化思想可以追溯至2000多年前古希臘著名幾何學家歐幾裡得的《幾何原本》。在非歐幾何的發現過程中，古希臘時期的實質公理化逐漸演變為當代的形式公理化方法。在希爾伯特的《幾何基礎》以及形式主義綱領中，形式公理化方法都發揮了重要的作用。同樣在布林巴基學派那裡，公理化方法依然是數學知識系統化的一個銳利武器。此外，對邏輯方法的堅持和使用也是形式主義和結構主義的一個共同特色。其代表人物之一迪奧多涅對邏輯方法的重視甚至超過了集合論，另一個代表人物嘉當則表達了數學建立在邏輯基礎上的觀點。[10]
四
結構主義與形式主義的異質性與差異性
當代著名數學家阿迪亞(M.Atiyah)在2000年一次重要的會議上所做的題為“20世紀的數學”的著名演講中，把布林巴基看作是希爾伯特最著名的弟子。“布林巴基嘗試將希爾伯特的數學公理化和形式化規劃推進到一個更加卓越的範圍，並取得了不小的成功。”[11]這一判斷應該說只說對了一半，即布林巴基在一定程度上承繼了形式主義的事業，但布林巴基的結構主義數學與數學哲學卻不能簡單地看作是形式主義數學與數學哲學思想的一個放大、延伸和擴充。除了上節所論述的結構主義與形式主義之間的相似性之外，還應該看到結構主義與形式主義之間的若干本質差異。
結構主義作為在時間上稍後的一種新學派，對形式主義學派所遭受的挫折自然是知悉的。因而，布林巴基在制定自己的研究規劃的時候，放棄甚至遠離了形式主義的一些基本立場、原則和問題，以避免重蹈形式主義的覆轍。[12]吸取形式主義的思想精髓，同時避免其缺陷和短板，盡力形成自己獨特的研究範式，這正是結構主義自覺的理論選擇，也是其強大持續的生命力所在。
概括看來，布林巴基結構主義與形式主義數學的差異性體現在哲學或數學的觀念、知識範式、研究邏輯與共同體形式等各個方面。
首先，在數學觀上，由靜態、絕對主義的數學觀向動態發展的數學觀的轉變。形式主義是絕對主義數學觀的一個典型。[13]151與形式主義的絕對主義數學哲學主張相比，布林巴基數學哲學顯現為一種動態相對性，並因此拉開與形式主義的距離，同時也構成了與形式主義的哲學分野之一。布林巴基這樣寫道：“對於公理方法來說，沒有什麼比靜止的科學概念更異己的了，我們不想給讀者留下一個印象，仿佛我們企圖給出公理方法的終極狀況的綱要。無論在數量方面還是在本質方面，結構都並非始終不變的，完全可能的是，數學的進一步發展將導致基本結構的數量的增長。”[6]
其次，在知識範式上，由知識的永恆封閉系統向多樣開放系統的轉變。與形式主義試圖一勞永逸地解決數學基礎問題的看法不同，按照布林巴基的說法，數學雖然有三種基本的母結構，但卻可以通過添加新的結構性質來構建新的結構類型。這也就意味著，數學不是一個單一的知識體，而是一個彼此交互作用的動態知識生物體。這是與形式主義綱領的一個根本性差異。
第三，從元數學回歸到數學以及內容與方法的分離。形式主義者區分數學與元數學，並對“元數學”抱有極大的期待。而布林巴基則從根本上放棄了元數學的立場。在布林巴基的數學宏圖中，直接把研究的視角對準20世紀的純粹數學，加快了當代數學的整體重建，因此其規模更為壯觀，與數學家和實際的數學研究更加接近。
在知識體系上，形式主義建構了元數學的系統，這樣數學就被劃分為二元結構：元層面和非元層面的。但布林巴基取消了元層面，簡化了數學知識體系，變為結構論。進而，元數學和數理邏輯在數學基礎建構中的核心地位也被動搖了：“對於當今幾乎所有數學家來說，邏輯和集合論已經成為邊緣學科，在1925年以後就已經如此”。[7]188即便是劃時代意義的“哥德爾不完全性定理”，布林巴基都不提及。[12]布林巴基在方法與內容上的這一背離(即在方法上對嚴格性的追求，對邏輯的強烈依賴與在內容上遠離元數學和數理邏輯)構成了結構主義思想的一個內在悖論。
第四，從追求數學基礎的統一性到追求數學結構的統一性的轉變。追求數學的統一，是形式主義和結構主義孜孜以求的一個共同目標。在“數學問題”這篇著名的演講中，希爾伯特宣稱：“數學的有機的統一，是這門科學固有的特點，因為它是一切精確自然科學知識的基礎。”[14]形式主義者區分了古典數學和現代數學，有限數學和無限數學等。因此，有窮主義方法和算術基礎的可靠l生就成為焦點。與形式主義的元數學綱領相比，結構主義者卻有著更大的野心，它試圖整理的是19世紀中葉以來數學各個領域的知識總體。除了使用公理化方法之外，布林巴基選擇了採用結構的觀念作為建築數學的工具。[15]與形式主義的基礎統一性相比，布林巴基追求的是結構的統一性。
第五，與希爾伯特的哥廷根學院派數學團體不同，布林巴基開創了一種新的數學研究範式。布林巴基是數學共同體緊密合作的範例。以集體筆名的形式長達數十年發表論文和專著，為布林巴基首創。在之前和之後，再也沒有出現過像布林巴基學派這樣如此長的時間、如此大的規模和如此有影響力的數學團體。更重要的是，布林巴基開創了一種與工作數學家(working mathematicians)緊密相關的數學哲學範式。[16]在布林巴基看來，一種數學哲學如果沒有與大多數數學家的數學研究有緊密的關係，就不能認為是很好地體現了數學的基本發展趨勢。迪奧多涅就曾在“布林巴基的數學哲學”一文中提出：“真正的數學的認識論或數學哲學應該以數學家具體的研究方式為其主題。”[7]187這種工作數學家的數學哲學，其基本特點是數學家的數學立場和哲學取向與其數學研究相一致。[17]
五
若干回顧與反思
強的意義下(即有限主義立場)的形式主義綱領在30年代以來已成強弩之末。但形式主義規劃在數學的專業化方向上卻是碩果累累，特別是在集合論、證明論、元數學、遞迴論、圖靈機等學科領域上的發展。[13]20②而在純粹數學領域，自1935年始，布林巴基結構主義在輝煌了近半個世紀之後，到1983年，布林巴基出版了其最後一部著作之後就陷入沉寂。那麼，形式主義和布林巴基運動的理論軟肋何在?對於認識數學的發展和數學哲學又有怎樣的啟示呢?
形式主義與結構主義對應用數學和現實世界的不敏感性和弱的解釋力，是其各自主張的共同缺陷。由於形式主義者視數學為純粹的符號系統，如此一來，數學與實在的關係就被割裂開來。因此其理論就無法對數學在科學、社會、現實生活中作用給出很好的解釋。形式主義數學的這一缺陷常被學者所詬病。③同樣，結構主義對自然科學問題的淡漠甚至讓赫爾曼(R.Hermann)感到驚訝：“布林巴基的傳奇興起于量子力學繁盛的時期，在達到其全速發展的時期，正是愛因斯坦的幾何學引力理論被最終理解，基本粒子物理開始散播……許多核心數學正在通過系統、控制和最優化理論整合到工程和經濟學當中的時代，然而這些發展卻沒有在他們的文獻中留下一絲痕跡。”[20]④而數學只有與科學和現實世界保持豐富的聯繫，從中汲取無盡的養料和源泉，才可能避免退化，保持旺盛的活力。
形式主義數學與結構主義數學作為追求嚴格性數學範式的兩個典範，其所秉持的范式與信念受到了多樣化、非形式化和非嚴格化數學知識範式及其觀念的挑戰。在形式主義和在結構主義那裡，嚴格性是衡量數學知識可信性的一個重要指標。而對嚴格性的追求又與公理化理論的語境與框架緊密相關。[21]這一純粹的數學內部嚴格性標準受到了來自多方的批評。數學家瑟斯頓(W.Thurston)並不看重形式化的證明，而是強調了在進行數學研究時想法的湧動和數學共同體關於有效性標準的看法的重要性。[22]而在推測性數學的宣導者那裡，數學傳統的嚴格性受到了質疑。其代表人物賈弗(A.Jaffe)和奎因(F.Quinn)在引起極大反響的“假設數學：走向數學和理論物理的文化綜合”一文中，主張把數學分為由證明所確立的“嚴格數學”(rigorous mathematics)和建立在推測和直覺基礎上的“假設數學”(theoretical mathematics)，並論證了允許“推測數學”(speculative mathematics)存在的理由。[23]在“證明和數學中的革命”一文中，賈弗還特別談到了布林巴基的形式論證。賈弗認為隨著數學的發展，人們日益感到有必要放寬證明嚴格化的標準，而“在另一個方向上，從柯西到布林巴基的鐘擺卻晃得太遠了”。[24]
通常而言，一個流派或學派最顯著和突出的特色也恰恰就是其可能的缺陷和不足。形式主義規劃的突出特點是過於強勢和嚴苛的主張。事實是，如果把有限主義原則予以放寬，那麼證明論可以沿著一條新的道路繼續前進。比如在1935年，數學家根岑(G.Gentzen)運用超限歸納法證明了算術的相容性。[25]而結構主義對形式化結構系統的青睞，排斥了難以結構化的數學物件和實體，自然就給自己設立了認識的局限和盲點。比較而言，形式化和結構化並不能完全覆蓋數學知識的所有領域。尤其是20世紀下半葉，數學知識演化出現了多樣化的態勢。非形式化和非結構化的知識類型不斷出現，構成了數學知識建構的突出特徵。諸如混沌、分形、突變理論、非線性科學(如非線性動力系統)、模糊數學、亂數學等複雜性科學學科，都是宏大的範式難以刻畫的。其中，複雜關聯度(即與其他學科的交叉度高，難以完全析出知識的結構性獨立指標)、內隱性(即難以完全刻畫和窮盡的)和邊際模糊性(即沒有明顯的結構形態)構成了這些學科的知識特點。
注釋：
①這七位數學家分別是嘉當(Henri Gartan)、謝瓦萊(Claude Chevalley)、迪奧多涅(Jean Dieudonné)、德爾薩特(Jean Delsarte)、曼德爾布羅依特(Szolem Mandelbrojt)、波塞爾(René de Possel)和韋爾(André Weil)。
②在哲學理論觀點上，其後繼者庫裡(H.Curry)是一個代表。庫裡提出了作為結構主義的形式主義理論。在庫裡看來，形式主義就意味著把數學當作是形式系統的命題。後來，庫裡確認了形式主義所堅持的數學的本質在於其形式的方法的見解，進而認定了數學是關於形式方法的科學。[18]此外，魯濱遜(A.Robinson)、科恩(P.Cohen)、亨利(J.Henle)和德特勒夫森(M.Detlefsen)等都發展了各自不同樣式的形式主義。
③需要說明的是，在數學與物理學的關係上，希爾伯特所堅持的並不是嚴格的形式主義態度。希爾伯特對物理學的數學基礎、相對論、量子力學等都有濃厚的興趣和研究。[19]
④在布林巴基的成員中，嘉當可能是個例外，他曾在研究愛因斯坦的相對論時發展了聯絡論(theory of connections)。
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但到了元數學的層面上，形式主義者就開始否認數學物件的實在性，把數學僅僅看成是符號與符號之間的某種關係，數學系統就只不過是一套形式化了的符號系統而已。“數學中的真理和存在等價於其一致性，數學可以用多重存在的真理構造多重的符號世界。”[4]希爾伯特的這一見解體現了不同于傳統數學觀的新認識，有著解構關於數學物件存在的柏拉圖主義觀念的價值，同時也留下了對數學應用性的解釋幾乎“失語”的理論軟肋。二
布林巴基結構主義的思想脈絡
20世紀30年代，包括形式主義和邏輯主義在內的基礎主義整體目標遭到失敗，這促使數學家再次思考：數學究竟應該有一個怎樣的基礎?數學基礎如何加以構造?這些嚴峻的問題再次被數學共同體所關注。布林巴基學派由此應運而生。布林巴基並不是一個人名，而是一個集體的筆名(全名為Nicholas Bourbaki)。1935年成立時有七位數學家①，之後布林巴基的成員在不斷地變化著，但其宗旨卻始終一致。布林巴基學派從一開始就計畫通過回顧式的梳理，對全部現代數學進行一番徹底的探討，並書寫一部百科全書式的數學巨著《數學原理》。在1947年，以布林巴基這一筆名發表的《數學的建築》一文，被布林巴基看作是自己思想的宣言。[5]
在《數學的建築》這篇劃時代的文獻中，布林巴基表達了對數學高度的專業化發展帶來的分化與分裂局面的擔憂以及重新構築數學統一性的宏偉願望：“數學這樣如此強有力建構的有機體，隨著其新的生長，是會獲得更強大的凝聚力和統一，還是像外部呈現的那樣走向逐步分裂的趨勢，並成為內在於數學的本質。數學的領域是否不會成為巴別塔，這意味著其中自主的學科之間不僅在目標上，而且在方法和語言上會越來越普遍地彼此分離。”[6]布林巴基認為，數學不是由一系列孤立的學科構成的，傳統的數學分類實際上不符合這門學科的深刻性質。例如，算術是研究數的科學，幾何是研究空間物件的科學，代數是研究方程的科學，分析是研究函數的科學等。布林巴基認為，真正要緊的不是所研究物件的性質，而是它們相互的關係。
布林巴基的結構思想得益於19世紀中葉以來數學在各個知識領域的繁榮與進步。特別是像群、域、環、向量空間這樣一些基本的抽象結構，為處理各種數學物件及其關係奠定了基礎。利用這些結構的一般性質，可以輕易地得到以前是由一些複雜的特殊論證和計算才能得到的東西。與之前的許多數學哲學流派和主張相比，布林巴基顯現出其新的思想特色，這就是結構主義思想及其範式。結構主義範式對於深入理解數學發展的特點有著多重的價值。尤其是對於純粹數學來說，結構主義思想具有一種揭示其知識內在關聯性和本質的功效。
在對以往數學，尤其是19世紀中葉以來的數學進展進行梳理的基礎上，布林巴基學派提出了數學的三種基本結構或者叫母結構。[6]一個是代數結構，比較典型的代數結構有群、環、域、代數系統、範疇、線性空間等。第二個是序結構，如果可以在集合中的某些元素之間建立或規定一種順序關係，那麼就可以稱之為具有了一種序結構。其中比較典型的有數系中的大小關係、類的包含關係等，還有諸如半序集、全序集和良序集等等都是具有序結構的。還有一個是拓撲結構，這一結構可以用於描述具有連續性、分離性、鄰近等空間性質的數學物件。比較典型的有緊致集、連通集和拓撲空間等。一個系統可以根據不同的運算規則和性質形成不同的結構。比如在實數系中，有加(減)運算或乘(除)運算，它們可以各自按照加法或乘法運算構成兩種互相聯繫的代數結構。而在實數集合中，由於任意兩個實數都可以比較大小，因此其大小關係可以形成了一種序的結構。同樣還是在實數集上，其連續性又能體現出其拓撲結構的性質。
在三種基本結構(母結構)的基礎上，通過添加一些性質和公理，就可以派生出各種子結構，其中兩種以上的結構可以通過添加新的條件產生出複合結構。如在實數集中，如果a>b，則a+c>b+c，這樣代數結構與序結構就被聯繫在一起了。再如，拓撲群是在群結構上通過引入拓撲結構得到的。H空間(希爾伯特空間)是線性空間(代數結構)添上內積型拓撲(拓撲空間)所構成的數學系統。
三
布林巴基對形式主義的承繼性與兩者之間的相似性
與形式主義者相比，布林巴基的數學工作則可以看作是在更為廣泛的知識背景之下對數學進行新的構成基礎的探索。從兩者的共性看，與形式主義一樣，結構主義仍有很深的基礎主義、元敘事和宏大敘事痕跡。儘管結構主義者特別聲稱其基本立場與基礎主義三大流派的差異，但形式主義是布林巴基結構主義思想的一個重要來源，而結構主義也可以看作是一種新的數學基礎主義思潮。具體來看，其承繼性與相似性表現為如下幾個方面：
(1)數學思想的承繼性。從一定意義上講，布林巴基結構主義就是形式主義綱領在數學層面(而非元數學層面)上的一種實現。布林巴基的代表人物之一迪奧多涅認為，布林巴基“原來的產生是為了以細緻和完備的方式闡明所謂‘形式主義’數學家的實踐”。[7]188而雷克(E.R.Reck)和普利斯(M.P.Price)在“當代數學哲學中的結構與結構主義”一文中，把形式主義看作是結構主義的一種主要類型。[8]所以，形式主義與布林巴基在數學思想與立場上的相似性是明顯的。
(2)兩者都具有數學話語的宏大敘事性和元敘事性。追求整體性和統一性，是形式主義與布林巴基結構主義的一個共同特徵。形式主義是數學基礎主義的一個典範。“論無限”是希爾伯特的一篇著名的演講，希爾伯特在其中表達了對於數學基礎在數學知識判斷上所具有的最高權威的看法：“在某種意義上，數學成了一個仲裁法庭，一個裁決根本問題的最高法庭。”[2]230然而，這種具有終極意義的宏大敘事或元理論的基本立場卻遭到了來自多方面的質疑。法國哲學家利奧塔爾(J.F.Lyotard)站在後現代的立場上對元敘事的合理性提出批評：“我們不再相信存在著一個能一勞永逸地捕捉住每一個最初級話語真理的具有特權的元話語。……所謂的元話語只不過是所有話語中的一種。”[9]
(3)對基礎主義的追求。形式主義本身就是典型的基礎主義流派之一，在布林巴基斯想中仍有很濃重的基礎主義痕跡。布林巴基力圖建立整體化的數學知識結構。力度強大的理論綜合和對幾乎所有純粹數學的重新整理，幾十卷浩瀚的數學巨著，都是其重建數學基礎的成就。
(4)對公理化方法和邏輯方法的推崇和應用。公理化思想可以追溯至2000多年前古希臘著名幾何學家歐幾裡得的《幾何原本》。在非歐幾何的發現過程中，古希臘時期的實質公理化逐漸演變為當代的形式公理化方法。在希爾伯特的《幾何基礎》以及形式主義綱領中，形式公理化方法都發揮了重要的作用。同樣在布林巴基學派那裡，公理化方法依然是數學知識系統化的一個銳利武器。此外，對邏輯方法的堅持和使用也是形式主義和結構主義的一個共同特色。其代表人物之一迪奧多涅對邏輯方法的重視甚至超過了集合論，另一個代表人物嘉當則表達了數學建立在邏輯基礎上的觀點。[10]
四
結構主義與形式主義的異質性與差異性
當代著名數學家阿迪亞(M.Atiyah)在2000年一次重要的會議上所做的題為“20世紀的數學”的著名演講中，把布林巴基看作是希爾伯特最著名的弟子。“布林巴基嘗試將希爾伯特的數學公理化和形式化規劃推進到一個更加卓越的範圍，並取得了不小的成功。”[11]這一判斷應該說只說對了一半，即布林巴基在一定程度上承繼了形式主義的事業，但布林巴基的結構主義數學與數學哲學卻不能簡單地看作是形式主義數學與數學哲學思想的一個放大、延伸和擴充。除了上節所論述的結構主義與形式主義之間的相似性之外，還應該看到結構主義與形式主義之間的若干本質差異。
結構主義作為在時間上稍後的一種新學派，對形式主義學派所遭受的挫折自然是知悉的。因而，布林巴基在制定自己的研究規劃的時候，放棄甚至遠離了形式主義的一些基本立場、原則和問題，以避免重蹈形式主義的覆轍。[12]吸取形式主義的思想精髓，同時避免其缺陷和短板，盡力形成自己獨特的研究範式，這正是結構主義自覺的理論選擇，也是其強大持續的生命力所在。
概括看來，布林巴基結構主義與形式主義數學的差異性體現在哲學或數學的觀念、知識範式、研究邏輯與共同體形式等各個方面。
首先，在數學觀上，由靜態、絕對主義的數學觀向動態發展的數學觀的轉變。形式主義是絕對主義數學觀的一個典型。[13]151與形式主義的絕對主義數學哲學主張相比，布林巴基數學哲學顯現為一種動態相對性，並因此拉開與形式主義的距離，同時也構成了與形式主義的哲學分野之一。布林巴基這樣寫道：“對於公理方法來說，沒有什麼比靜止的科學概念更異己的了，我們不想給讀者留下一個印象，仿佛我們企圖給出公理方法的終極狀況的綱要。無論在數量方面還是在本質方面，結構都並非始終不變的，完全可能的是，數學的進一步發展將導致基本結構的數量的增長。”[6]
其次，在知識範式上，由知識的永恆封閉系統向多樣開放系統的轉變。與形式主義試圖一勞永逸地解決數學基礎問題的看法不同，按照布林巴基的說法，數學雖然有三種基本的母結構，但卻可以通過添加新的結構性質來構建新的結構類型。這也就意味著，數學不是一個單一的知識體，而是一個彼此交互作用的動態知識生物體。這是與形式主義綱領的一個根本性差異。
第三，從元數學回歸到數學以及內容與方法的分離。形式主義者區分數學與元數學，並對“元數學”抱有極大的期待。而布林巴基則從根本上放棄了元數學的立場。在布林巴基的數學宏圖中，直接把研究的視角對準20世紀的純粹數學，加快了當代數學的整體重建，因此其規模更為壯觀，與數學家和實際的數學研究更加接近。
在知識體系上，形式主義建構了元數學的系統，這樣數學就被劃分為二元結構：元層面和非元層面的。但布林巴基取消了元層面，簡化了數學知識體系，變為結構論。進而，元數學和數理邏輯在數學基礎建構中的核心地位也被動搖了：“對於當今幾乎所有數學家來說，邏輯和集合論已經成為邊緣學科，在1925年以後就已經如此”。[7]188即便是劃時代意義的“哥德爾不完全性定理”，布林巴基都不提及。[12]布林巴基在方法與內容上的這一背離(即在方法上對嚴格性的追求，對邏輯的強烈依賴與在內容上遠離元數學和數理邏輯)構成了結構主義思想的一個內在悖論。
第四，從追求數學基礎的統一性到追求數學結構的統一性的轉變。追求數學的統一，是形式主義和結構主義孜孜以求的一個共同目標。在“數學問題”這篇著名的演講中，希爾伯特宣稱：“數學的有機的統一，是這門科學固有的特點，因為它是一切精確自然科學知識的基礎。”[14]形式主義者區分了古典數學和現代數學，有限數學和無限數學等。因此，有窮主義方法和算術基礎的可靠l生就成為焦點。與形式主義的元數學綱領相比，結構主義者卻有著更大的野心，它試圖整理的是19世紀中葉以來數學各個領域的知識總體。除了使用公理化方法之外，布林巴基選擇了採用結構的觀念作為建築數學的工具。[15]與形式主義的基礎統一性相比，布林巴基追求的是結構的統一性。
第五，與希爾伯特的哥廷根學院派數學團體不同，布林巴基開創了一種新的數學研究範式。布林巴基是數學共同體緊密合作的範例。以集體筆名的形式長達數十年發表論文和專著，為布林巴基首創。在之前和之後，再也沒有出現過像布林巴基學派這樣如此長的時間、如此大的規模和如此有影響力的數學團體。更重要的是，布林巴基開創了一種與工作數學家(working mathematicians)緊密相關的數學哲學範式。[16]在布林巴基看來，一種數學哲學如果沒有與大多數數學家的數學研究有緊密的關係，就不能認為是很好地體現了數學的基本發展趨勢。迪奧多涅就曾在“布林巴基的數學哲學”一文中提出：“真正的數學的認識論或數學哲學應該以數學家具體的研究方式為其主題。”[7]187這種工作數學家的數學哲學，其基本特點是數學家的數學立場和哲學取向與其數學研究相一致。[17]
五
若干回顧與反思
強的意義下(即有限主義立場)的形式主義綱領在30年代以來已成強弩之末。但形式主義規劃在數學的專業化方向上卻是碩果累累，特別是在集合論、證明論、元數學、遞迴論、圖靈機等學科領域上的發展。[13]20②而在純粹數學領域，自1935年始，布林巴基結構主義在輝煌了近半個世紀之後，到1983年，布林巴基出版了其最後一部著作之後就陷入沉寂。那麼，形式主義和布林巴基運動的理論軟肋何在?對於認識數學的發展和數學哲學又有怎樣的啟示呢?
形式主義與結構主義對應用數學和現實世界的不敏感性和弱的解釋力，是其各自主張的共同缺陷。由於形式主義者視數學為純粹的符號系統，如此一來，數學與實在的關係就被割裂開來。因此其理論就無法對數學在科學、社會、現實生活中作用給出很好的解釋。形式主義數學的這一缺陷常被學者所詬病。③同樣，結構主義對自然科學問題的淡漠甚至讓赫爾曼(R.Hermann)感到驚訝：“布林巴基的傳奇興起于量子力學繁盛的時期，在達到其全速發展的時期，正是愛因斯坦的幾何學引力理論被最終理解，基本粒子物理開始散播……許多核心數學正在通過系統、控制和最優化理論整合到工程和經濟學當中的時代，然而這些發展卻沒有在他們的文獻中留下一絲痕跡。”[20]④而數學只有與科學和現實世界保持豐富的聯繫，從中汲取無盡的養料和源泉，才可能避免退化，保持旺盛的活力。
形式主義數學與結構主義數學作為追求嚴格性數學範式的兩個典範，其所秉持的范式與信念受到了多樣化、非形式化和非嚴格化數學知識範式及其觀念的挑戰。在形式主義和在結構主義那裡，嚴格性是衡量數學知識可信性的一個重要指標。而對嚴格性的追求又與公理化理論的語境與框架緊密相關。[21]這一純粹的數學內部嚴格性標準受到了來自多方的批評。數學家瑟斯頓(W.Thurston)並不看重形式化的證明，而是強調了在進行數學研究時想法的湧動和數學共同體關於有效性標準的看法的重要性。[22]而在推測性數學的宣導者那裡，數學傳統的嚴格性受到了質疑。其代表人物賈弗(A.Jaffe)和奎因(F.Quinn)在引起極大反響的“假設數學：走向數學和理論物理的文化綜合”一文中，主張把數學分為由證明所確立的“嚴格數學”(rigorous mathematics)和建立在推測和直覺基礎上的“假設數學”(theoretical mathematics)，並論證了允許“推測數學”(speculative mathematics)存在的理由。[23]在“證明和數學中的革命”一文中，賈弗還特別談到了布林巴基的形式論證。賈弗認為隨著數學的發展，人們日益感到有必要放寬證明嚴格化的標準，而“在另一個方向上，從柯西到布林巴基的鐘擺卻晃得太遠了”。[24]
通常而言，一個流派或學派最顯著和突出的特色也恰恰就是其可能的缺陷和不足。形式主義規劃的突出特點是過於強勢和嚴苛的主張。事實是，如果把有限主義原則予以放寬，那麼證明論可以沿著一條新的道路繼續前進。比如在1935年，數學家根岑(G.Gentzen)運用超限歸納法證明了算術的相容性。[25]而結構主義對形式化結構系統的青睞，排斥了難以結構化的數學物件和實體，自然就給自己設立了認識的局限和盲點。比較而言，形式化和結構化並不能完全覆蓋數學知識的所有領域。尤其是20世紀下半葉，數學知識演化出現了多樣化的態勢。非形式化和非結構化的知識類型不斷出現，構成了數學知識建構的突出特徵。諸如混沌、分形、突變理論、非線性科學(如非線性動力系統)、模糊數學、亂數學等複雜性科學學科，都是宏大的範式難以刻畫的。其中，複雜關聯度(即與其他學科的交叉度高，難以完全析出知識的結構性獨立指標)、內隱性(即難以完全刻畫和窮盡的)和邊際模糊性(即沒有明顯的結構形態)構成了這些學科的知識特點。
注釋：
①這七位數學家分別是嘉當(Henri Gartan)、謝瓦萊(Claude Chevalley)、迪奧多涅(Jean Dieudonné)、德爾薩特(Jean Delsarte)、曼德爾布羅依特(Szolem Mandelbrojt)、波塞爾(René de Possel)和韋爾(André Weil)。
②在哲學理論觀點上，其後繼者庫裡(H.Curry)是一個代表。庫裡提出了作為結構主義的形式主義理論。在庫裡看來，形式主義就意味著把數學當作是形式系統的命題。後來，庫裡確認了形式主義所堅持的數學的本質在於其形式的方法的見解，進而認定了數學是關於形式方法的科學。[18]此外，魯濱遜(A.Robinson)、科恩(P.Cohen)、亨利(J.Henle)和德特勒夫森(M.Detlefsen)等都發展了各自不同樣式的形式主義。
③需要說明的是，在數學與物理學的關係上，希爾伯特所堅持的並不是嚴格的形式主義態度。希爾伯特對物理學的數學基礎、相對論、量子力學等都有濃厚的興趣和研究。[19]
④在布林巴基的成員中，嘉當可能是個例外，他曾在研究愛因斯坦的相對論時發展了聯絡論(theory of connections)。
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