你花時間寫微博、交朋友、挖八卦，還用剩下的時間來親自建立友誼。但悲哀的是，儘管做了這麼多努力，你的朋友可能還是比你大多數朋友少。但不要絕望，我們大多數人都是這樣。一般來說我們的朋友比我們受歡迎。
不相信？想想最近Johan Ugander、Brian Karrer、Lars Backstrom 、Cameron Marlow最近寫的有關Facebook的論文吧。（資訊披露：Ugander是康奈爾的學生，我是他博士論文答辯委員會成員。）他們調查了 Facebook上所有的活躍用戶（當時為7.21億人，約為世界人口的10%），其中共有690億對好友關係。研究人員研究了用戶們的數量與其朋友的朋友數量，發現93%的用戶的朋友數量低於他朋友的朋友數量的平均值。之後，他們從整體上對Facebook進行了研究，發現平均一個用戶有190個朋友，而他們的朋友平均有635個朋友。
對線下社交網路的研究也發現了同樣的趨勢。這與每個人的性格無關，只是一個基本的算數問題。一個人朋友的朋友平均數量總是大於這個人朋友的數量。只要社交網路有人朋友多有人朋友少，這條定理就必然存在。
這一現象被稱之為好友悖論，其根本原因是一種在很多其他情況下都會出現數學模型（一種特別的“加權平均數“模型”）。瞭解了這種模型能幫你化解一些生活中的小煩惱。
比如說你現在走進了一家健身房。看看周圍，是不是覺得好像每個人的身材都比你好？恩，你也許是對的，但這種情況無法避免而且完全不需要因此覺得慚愧。如果你只是一個普通的健身房會員，根據預期你就應該看到這樣的場景，因為那些大汗淋漓喘著粗氣的人不代表平均值。他們是那種會花時間在健身房的類型，所以你才會第一眼就看到他們。那些沙發土豆正窩在家裡你沒法把他們算在內。換句話說，你所取的健身館會員這個樣本不具有代表性，它其中健身迷的比例偏多。
這也解釋了為何人們總覺得機場、餐館、公園、海灘的擁擠程度總大於實際統計的平均值。這些地方沒人的時候，沒有人在場見證它們的空空如也。
加權平均數是用在這些情況下自然會用到的方法。這裡有個例子來說明全球教育界如何說明自己的運行狀況。比如一個教授教兩個班，一個是面向90名新生的基礎課程，另一個是有十個高年級學生的高級研習班。這個教授平均一個班有多少人？
學校大概會說50個人，因為 (90 + 10)/2 = 50。教授也會同意這種演算法。這種演算法預設兩個班是一樣的，一般平均數都是這麼算的：把總數的一半分到90個人的班，再把另一半分到10個人的班，得到的數量正好在兩者的中間。這種演算法沒錯，不過在這種情況下有些誤導性。
想要瞭解其中的原因，就從學生的角度來思考一下這個問題。大多數學生（100個學生中有90人）發現自己坐在有90人的大班級裡，只要十個人體驗過10個人的課堂。當然這必然會讓學生眼裡的平均數更接近90而不是10，因此也會高於50.
為了計算學生眼裡的平均數，假設我們在每個班讓每個人進行投票。如果你問他們“你們班有多少人？”，90個學生會回答“90”還有10個會回答“10”。他們答案的總數為：（90×90）+(10×10)=8200.
由於總共有90 + 10 = 100名學生，他們感覺平均班級的大小等於8,200/100=82，這比學校廣告裡說的平均50人的班級要大很多。
我希望你們注意這一模式（請把這一模式刻在神經裡，我們之後還需要用到它們）。在這一模式裡，90和10各自扮演了兩個角色。正因如此在計算學生眼裡的平均數的算式裡出現了兩個90兩個10.
每個數位用兩次這一模型將是我們理解好友悖論的關鍵所在。
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下面詳細講解一個小例子，這樣最能說明社交網路中的這個模式了。（我所說的任何內容都不依賴特定網路結構。只要網路中每個人朋友的數量有多有少，這一結果都會出現。我挑這個小網路只是想算起來容易一點。）
在這個案例中，Abby, Becca, Chloe和Deb是四個高中生，連線代表連互為好友。如果兩個人都視對方為好友，她們之間就會連起來。
Becca是Abby唯一的好友，她是個小交際花，和每個人都是朋友。Chole和Deb是朋友，她們也是Becca的朋友。因此Abby有一個朋友，Becca有三個，Chole和Deb各有兩個，加起來共有8個朋友。由於共有4個人，平均每個人有2個朋友。
2這個平均數代表好友悖論裡平均每個人的朋友數量。記住，好友悖論聲稱這個數量比平均朋友的朋友數量小，但真實如此嗎？這個問題有點讓人頭昏是因為這句話念起來比較拗口。不停的說或者寫或者想“朋友的朋友”很容易感到噁心。為了避免這種情況，我們用朋友的“分數”來表示朋友的朋友的數量。所有問題就成了：“你的圈子裡所有朋友的平均分是多少？”
假設每個女孩都會喊出她的朋友的分數，一名記錄員會等在一旁記錄下這些分數的平均值。
Abby:“Becca得了三分。”
Becca:“Abby一分，Chloe兩分，Deb兩分。”
Chloe:“Becca三分，Deb兩分。”
Deb: “Becca三分，Chloe兩分。”
把這些分數加起來3 + 1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2，等於18。由於一共有八個分數，因此平均值是18除以8，等於2.25。
注意2.25比2大。看來朋友平均分分數的確比女孩自己的高。正因如此好友悖論的理論才會是真的。
關鍵在於這一現象為什麼會發生。這是因為Becca這樣受歡迎的人不僅分數高，被朋友提到的次數也多，因此對平均分的貢獻不成比例的高。看看Becca是怎麼樣把平均數變成18的吧：Abby被提到了一次，因為她的得分是1（只被一個朋友提到），因此她對總分的貢獻是1×1；Becca被提到了三次因為她的分數是3，因此她的貢獻是3X3；Chloe和Deb都被提到了兩次，每次貢獻兩分，因此為總分貢獻了2×2。所以這四個人的總分是(1 x 1) + (3 x 3) + (2 x 2) + (2 x 2)，而相應的平均分是：
這是1,3,2,2這四個數的加權平均分，這種每個數用兩次的模式在班級規模的問題中也一樣存在。看看上面的算式你就明白了。每個人的得分乘以自己了一次然後才相加。這個平方的做法令大數字所占的比重更多重（就像上面的例子中Becca的3分一樣），平均分也因此提高了。
正因如此，我們會直觀感覺自己朋友的朋友比自己的朋友多。朋友的分數是平方後的加權平均數，因此總是比沒有以這種方式加權的自己的分數高。
一旦發現了這種結構，其他定律的證明也就變成了普通的數學問題。
與很多美好的數學思想一樣，好友悖論也有很多令人振奮的實際應用，這些是其發現者未曾預見的。最近根據好友悖論建立了一個早期報警系統以預防流行病爆發。
哈佛大學一項在2009年H1N1禽流感期間進行了一項研究，科學家Nicholas Christakis和James Fowler隨機監測了一大群本科生以及他們提到的一小群朋友（這也是這項研究聰明的地方）感染流感的狀況。很明顯，他們的朋友就和哨兵一樣——他們比普通大學生早兩個星期生病，這大概是因為他們總體上與其他人聯繫更緊密。這和好友悖論預期的一樣。這兩周時間對公共健康部門官員及早採取措施以預防大面積感染非常重要。
這一點不由小視。