一篇概率分佈的乾貨分享，收藏後今天終於用上了
我們已經瞭解概率的基礎，概率中通常將試驗的結果稱為隨機變數。
擲硬幣就是一個典型的離散型隨機變數，離散隨機變數可以取無限個但可數的數值。而連續變數相反，它在某一個區間內能取任意的數值。時間就是一個典型的連續變數，1.25分鐘、1.251分鐘，1.2512分鐘，它能無限分割。
既然隨機變數可以取不同的值，統計學家就用概率分佈描述隨機變數取不同值的概率。
對於離散型隨機變數x，定義一個概率函數叫f(x)，它給出了隨機變數取每一個值的概率。
拿出一個骰子，擲到6的概率是f(6) = 1/6，擲到1和6的概率則是f(1)+f(6) = 1/3。
數學期望和方差
現在有一個運營活動，兩套抽獎概率方案，如下：
作為運營人員，應該怎麼衡量兩種抽獎方法的好壞呢？
數學期望是對隨機變數中心位置的一種度量。
假設一等獎成本1000元，二等獎成本500元，三等獎成本100元，歡迎下次再來當然沒錢，而使用者參加一次抽獎需要5元。我們將概率問題轉換成運營方的收益和成本計算期望（下面的盈虧是公司角度的）。
於是E(x) = (-990*5%)+(-490*10%)+(-90*20%)+(10*65%) = -110。也就是說，A方案能夠期望每次抽獎運營方虧損110元。計算一下B方案，
想必大家已經知道了如何設計活動的盈虧機制，感興趣可以自行調節中獎概率和成本。
期望值衡量概率的平均值，可是抽獎本來就是很激動人心的事情，哪怕明知道會賠錢，人們還樂此不疲，為什麼？因為風險，因為以小搏大。
方差就是這種風險的度量，
方差越大，隨機變數的結果越不穩定，計算A方案的方差如下：
方差最後為62600，說明期望的波動很大。標準差為sqrt(62600) = 250.19，代表每一次的抽獎，與期望收益-110的距離是250.19元。
到這裡，概率和期望方差的基本玩法已經講完了。
二項概率分佈
二項分佈是一種離散型的概率分佈。故明思義，二項代表它有兩種可能的結果，
除了結果的規定，它還需要滿足其他性質：每次試驗成功的概率均是相同的，記錄為p；失敗的概率也相同，為1-p。每次試驗必須相互獨立，該試驗也叫做伯努利試驗，重複n次即二項概率。
擲硬幣就是一個典型的二項分佈。當我們要計算拋硬幣n次，恰巧有x次正面朝上的概率，可以使用二項分佈的公式：
假設拋硬幣5次，恰巧有3次正面朝上，則其概率為31.25%。可以使用Excel中的BINOM.DIST函數計算。
不妨把題目變化一下，變成計算硬幣至少有三次正面朝上的概率是多少？有一種簡單的方法是累加，將恰巧有3次，恰巧有4次，恰巧有5次的概率相加，結果便是至少3次，為50%。
回到運營活動的例子，上面一個運營活動公司虧慘了，現在運營需要重新做一個抽獎活動，每位用戶擁有10次抽獎機會，中獎概率是5%。老闆準備先考慮成本問題，想知道至少有3次以上中獎機會的概率是多少？
按照上題的思路，可以拿恰巧3次，恰巧4次直到恰巧10次累加求和，但是這樣太麻煩了。此時可以換一個思路，先計算最多2次的概率是多少。那麼便是f(0)+f(1)+f(2)，結果是92.98%，利用概率公式1-92.98%，就是至少3次的概率了，為7.02%。看來老闆還是能鬆口氣的。
二項概率的數學期望為E(x) = np，方差Var(x) = np(1-p)。抽獎10次，那麼抽獎的期望值就是1，方差為0.9。
運營學會二項分佈，在涉及概率的各種活動中，將變得遊刃有餘。它的原理甚至能用到AB測試。大學考試中二項概率需要查專門的概率表計算，不過現在各類工具層出不窮，Python、R、Excel都能直接計算。
泊松概率分佈
泊松概率是另外一個常用的離散型隨機變數，它主要用於估計某事件在特定時間或空間中發生的次數。比如一天內中獎的個數，一個月內某機器損壞的次數等。
泊松概率的成立條件是在任意兩個長度相等的區間中，時間發生的概率是相同的，並且事件是否發生都是相互獨立的。
泊松概率既然表示事件在一個區間發生的次數，這裡的次數就不會有上限，x取值可以無限大，只是可能性無限接近0，f(x)的最終值很小。
x代表發生x次，u代表發生次數的數學期望，概率函數為：
現在又舉辦了一個新的運營活動，這次的中獎概率未知，只知24小時內中獎的平均個數為5個，老闆異想天開地想知道24小時內恰巧中獎次數為7的概率是多少？
此時x=7，u=5（區間內發生的平均次數就是期望），代入公式求出概率為10.44%。Excel中的函數為POISSON.DIST。
接下來繼續加大問題難度，求中獎次數至少7次的概率。此時f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=86.66%，那麼至少七次的概率為13.33%。
如果問題變成12小時內呢？老闆希望知道12小時內中獎次數為3次的概率是多少？
24小時內中獎概率的期望數是5，那麼12小時內的中獎概率期望數是2.5，於是令u=2.5，求出12小時內中獎次數為3的概率是79.99%。
泊松概率還有一個重要性質，它的數學期望和方差相等，所以上題的方差為2.5，標準差為根號2.5，即1.58。
正態分佈
上述分佈都是離散概率分佈，當隨機變數是連續型時，情況就完全不一樣了。因為離散概率的本質是求x取某個特定值的概率，而連續隨機變數不行，它的取值是可以無限分割的，它取某個值時概率近似於0。連續變數是隨機變數在某個區間內取值的概率，此時的概率函數叫做概率密度函數。
正態概率分佈是連續型隨機變數中最重要的分佈。世界上絕大部分的分佈都屬於正態分佈，人的身高體重、考試成績、降雨量等都近似服從。
正態分佈如同一條鐘形曲線。中間高，兩邊低，左右對稱。想像身高體重、考試成績，是否都呈現這一類分佈態勢：大部分資料集中在某處，小部分往兩端傾斜。
正態概率密度函數為：
是不是看得頭暈了？u代表均值，σ代表標準差，兩者不同的取值將會造成不同形狀的正態分佈。均值表示正態分佈的左右偏移，標準差決定曲線的寬度和平坦，標準差越大曲線越平坦。
以前介紹過一個正態分佈的經驗法則：
正態隨機變數有69.3%的值在均值加減一個標準差的範圍內，95.4%的值在兩個標準差內，99.7%的值在三個標準差內。這條經驗法則可以説明我們快速計算資料的大體分佈。
均值u=0，標準差σ=1的正態分佈叫做標準正態分佈。它的隨機變數用z表示，它是推斷統計的基礎。將均值和標準差代入正態概率密度函數，得到一個簡化的公式：
現在可以用簡化的公式計算概率密度了。首先學習一個新的函數叫累計分佈函數，它是概率密度函數的積分。用P(X
曲線就是概率密度函數，當x取某個值時，曲線上f(x)點的數值即表示隨機變數在對應的x點值的取值概率，曲線與X軸相交的陰影面積就是累計分佈函數。我們不妨把概率密度函數按其名字簡單理解成「密度」，畢竟連續變數只有在區間中才有計算的意義，於是密度函數充當了輔助計算的角色。分析中我們更多實用累計分佈函數。
標準正態分佈中，給定一個值z，可以計算隨機變數z小於等於某一個值的概率；z在兩個值之間的概率；以及z大於等於一個值的概率。這三種計算都用到累計分佈函數，分別記作P(z=x)。
首先計算z小於等於1的概率，即P(z1) = 1-P(z
若要計算z在區間-1～1.25的概率，即P(-1
如果大家在公式轉換中有困惑，不妨結合上面的陰影圖看。靠左的陰影即z小於等於0.8時(目測)的概率，如果我們要算0～0.8之間的概率呢？就是把z
到了這裡大家可能發覺，在正態分佈的計算中，不論求哪一類區間，我們都是先轉換成z小於等於某個值先計算。這是一個潛移默化的規則，因為早期正態概率的計算都要用到標準正態概率表，它以z小於等於作查詢標準。現在雖然計算資源已經大大豐富，但是這個習慣還是保留了下來。
之所以強調標準正態分佈，是因為所有的正態分佈概率都可以利用標準正態分佈計算。當我們具有一個任意均值的u和標準差σ，都能將其轉換成標準狀態分佈。
現在有一個u=10和σ=2的正態隨機變數，求x在10與14之間的概率是多少？
當x=10時，z=(10-10)/2=2。當x=14時，z=(14-10)/2=2。於是x在10和14之間的概率等價於標準正態分佈中0和2之間的概率。計算P(0
現在是最後一個運營活動了，不再是抽獎，而是最終贈送獎品的環節。已知獎品的保質期滿足正態分佈，均值90天，標準差5天。為了考慮用戶體驗，想知道獎品70天以內就壞的概率是多少？
當x=70時，有z=(70-90)/5 = -4。p(z
在概率分佈中還有一個概念叫正態近似。當試驗次數很大時，二項分佈可以近似於正態分佈，泊松分佈也有相似的情況，大家有興趣可以去瞭解，這是一種簡便方法，不過工作中現在都是電腦了，這點反而不重要了。
瞭解完各類分佈後，我們將進入最後的環節，假設檢驗，它是基於概率的理論，資料分析中的AB測試，就是其最常見的應用。
End.
作者：秦路 （本網站特邀認證作者）
不妨把題目變化一下，變成計算硬幣至少有三次正面朝上的概率是多少？有一種簡單的方法是累加，將恰巧有3次，恰巧有4次，恰巧有5次的概率相加，結果便是至少3次，為50%。
回到運營活動的例子，上面一個運營活動公司虧慘了，現在運營需要重新做一個抽獎活動，每位用戶擁有10次抽獎機會，中獎概率是5%。老闆準備先考慮成本問題，想知道至少有3次以上中獎機會的概率是多少？
按照上題的思路，可以拿恰巧3次，恰巧4次直到恰巧10次累加求和，但是這樣太麻煩了。此時可以換一個思路，先計算最多2次的概率是多少。那麼便是f(0)+f(1)+f(2)，結果是92.98%，利用概率公式1-92.98%，就是至少3次的概率了，為7.02%。看來老闆還是能鬆口氣的。
二項概率的數學期望為E(x) = np，方差Var(x) = np(1-p)。抽獎10次，那麼抽獎的期望值就是1，方差為0.9。
運營學會二項分佈，在涉及概率的各種活動中，將變得遊刃有餘。它的原理甚至能用到AB測試。大學考試中二項概率需要查專門的概率表計算，不過現在各類工具層出不窮，Python、R、Excel都能直接計算。
泊松概率分佈
泊松概率是另外一個常用的離散型隨機變數，它主要用於估計某事件在特定時間或空間中發生的次數。比如一天內中獎的個數，一個月內某機器損壞的次數等。
泊松概率的成立條件是在任意兩個長度相等的區間中，時間發生的概率是相同的，並且事件是否發生都是相互獨立的。
泊松概率既然表示事件在一個區間發生的次數，這裡的次數就不會有上限，x取值可以無限大，只是可能性無限接近0，f(x)的最終值很小。
x代表發生x次，u代表發生次數的數學期望，概率函數為：
現在又舉辦了一個新的運營活動，這次的中獎概率未知，只知24小時內中獎的平均個數為5個，老闆異想天開地想知道24小時內恰巧中獎次數為7的概率是多少？
此時x=7，u=5（區間內發生的平均次數就是期望），代入公式求出概率為10.44%。Excel中的函數為POISSON.DIST。
接下來繼續加大問題難度，求中獎次數至少7次的概率。此時f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=86.66%，那麼至少七次的概率為13.33%。
如果問題變成12小時內呢？老闆希望知道12小時內中獎次數為3次的概率是多少？
24小時內中獎概率的期望數是5，那麼12小時內的中獎概率期望數是2.5，於是令u=2.5，求出12小時內中獎次數為3的概率是79.99%。
泊松概率還有一個重要性質，它的數學期望和方差相等，所以上題的方差為2.5，標準差為根號2.5，即1.58。
正態分佈
上述分佈都是離散概率分佈，當隨機變數是連續型時，情況就完全不一樣了。因為離散概率的本質是求x取某個特定值的概率，而連續隨機變數不行，它的取值是可以無限分割的，它取某個值時概率近似於0。連續變數是隨機變數在某個區間內取值的概率，此時的概率函數叫做概率密度函數。
正態概率分佈是連續型隨機變數中最重要的分佈。世界上絕大部分的分佈都屬於正態分佈，人的身高體重、考試成績、降雨量等都近似服從。
正態分佈如同一條鐘形曲線。中間高，兩邊低，左右對稱。想像身高體重、考試成績，是否都呈現這一類分佈態勢：大部分資料集中在某處，小部分往兩端傾斜。
正態概率密度函數為：
是不是看得頭暈了？u代表均值，σ代表標準差，兩者不同的取值將會造成不同形狀的正態分佈。均值表示正態分佈的左右偏移，標準差決定曲線的寬度和平坦，標準差越大曲線越平坦。
以前介紹過一個正態分佈的經驗法則：
正態隨機變數有69.3%的值在均值加減一個標準差的範圍內，95.4%的值在兩個標準差內，99.7%的值在三個標準差內。這條經驗法則可以説明我們快速計算資料的大體分佈。
均值u=0，標準差σ=1的正態分佈叫做標準正態分佈。它的隨機變數用z表示，它是推斷統計的基礎。將均值和標準差代入正態概率密度函數，得到一個簡化的公式：
現在可以用簡化的公式計算概率密度了。首先學習一個新的函數叫累計分佈函數，它是概率密度函數的積分。用P(X
曲線就是概率密度函數，當x取某個值時，曲線上f(x)點的數值即表示隨機變數在對應的x點值的取值概率，曲線與X軸相交的陰影面積就是累計分佈函數。我們不妨把概率密度函數按其名字簡單理解成「密度」，畢竟連續變數只有在區間中才有計算的意義，於是密度函數充當了輔助計算的角色。分析中我們更多實用累計分佈函數。
標準正態分佈中，給定一個值z，可以計算隨機變數z小於等於某一個值的概率；z在兩個值之間的概率；以及z大於等於一個值的概率。這三種計算都用到累計分佈函數，分別記作P(z=x)。
首先計算z小於等於1的概率，即P(z1) = 1-P(z
若要計算z在區間-1～1.25的概率，即P(-1
如果大家在公式轉換中有困惑，不妨結合上面的陰影圖看。靠左的陰影即z小於等於0.8時(目測)的概率，如果我們要算0～0.8之間的概率呢？就是把z
到了這裡大家可能發覺，在正態分佈的計算中，不論求哪一類區間，我們都是先轉換成z小於等於某個值先計算。這是一個潛移默化的規則，因為早期正態概率的計算都要用到標準正態概率表，它以z小於等於作查詢標準。現在雖然計算資源已經大大豐富，但是這個習慣還是保留了下來。
之所以強調標準正態分佈，是因為所有的正態分佈概率都可以利用標準正態分佈計算。當我們具有一個任意均值的u和標準差σ，都能將其轉換成標準狀態分佈。
現在有一個u=10和σ=2的正態隨機變數，求x在10與14之間的概率是多少？
當x=10時，z=(10-10)/2=2。當x=14時，z=(14-10)/2=2。於是x在10和14之間的概率等價於標準正態分佈中0和2之間的概率。計算P(0
現在是最後一個運營活動了，不再是抽獎，而是最終贈送獎品的環節。已知獎品的保質期滿足正態分佈，均值90天，標準差5天。為了考慮用戶體驗，想知道獎品70天以內就壞的概率是多少？
當x=70時，有z=(70-90)/5 = -4。p(z
在概率分佈中還有一個概念叫正態近似。當試驗次數很大時，二項分佈可以近似於正態分佈，泊松分佈也有相似的情況，大家有興趣可以去瞭解，這是一種簡便方法，不過工作中現在都是電腦了，這點反而不重要了。
瞭解完各類分佈後，我們將進入最後的環節，假設檢驗，它是基於概率的理論，資料分析中的AB測試，就是其最常見的應用。
End.
作者：秦路 （本網站特邀認證作者）