浙江大學數學學院教授、詩人蔡天新最新出版力作——《數學簡史》。 《知識份子》在征得作者本人及出版社同意， 擬先行分三篇文章連載該書的第八章：《抽象化：20世紀以來》。
今天推送《數學簡史》第八章第一節：《走向抽象化》。
撰文 | 蔡天新
責編 | 呂浩然
知識份子為更好的智趣生活 ID：The-Intellectual
● ● ●
引言正如從古典藝術到現代藝術的演變以詩歌為先導， 科學革命的最早動力來源於數學， 尤以幾何學的變革為標誌。 它們的共同特點是， 從模仿到機智， 從形象到抽象。 現代科學與現代藝術之所以能在同一個時段到達這一境界，
自從亞里斯多德以來， 在文學藝術以模仿說為準則的同時， 科學尤其是數學也一直被視作絕對真理的典範。 古典數學在西方思想中擁有與宗教一樣神聖不可侵犯的地位， 歐幾裡得是廟堂中職位最高的“神父”。 1804年去世的德國哲學家康得正是在歐幾裡得幾何毋庸置疑的真理觀之上， 建立起深奧難懂的哲學體系。 可是， 到了1830年前後， 一向被視為關於數量關係和空間形式的真理的數學，
事實上， 幾千年來， 非歐幾何一直在人們的眼皮子底下（現代主義詩人筆下的素材也早已存在）。 但是， 即使最偉大的數學家也沒有想到通過檢驗球的幾何特性去推翻平行公設。 他們中的個別人曾經嘗試通過四邊形來證實平行公設， 而人類卻一直生活在一個堪稱非歐幾何模型的地球表面之上。 這一點表明， 人們是多麼容易受慣性思維和傳統習俗的束縛。 難怪功成名就的高斯遲遲不肯把他發現的非歐幾何學公之於眾， 他怕惹來不必要的麻煩， 以至於讓兩位俄羅斯和匈牙利的年輕人搶得先機。
►“數學王子”高斯
然而， 歐幾裡得幾何最終交出了它的絕對統治權， 這意味著絕對真理統治時代的終結， 正如愛倫·坡和波德賴爾的出現結束了浪漫派詩人的絕對統治一樣。 但是， 數學在喪失絕對真理和權威的同時， 也獲得了自由發展的機遇。 正如G.康托爾所說：“數學的本質就在於它的充分自由。
非歐幾何學的誕生和代數學的革命， 與微積分學產生的原因並不一致， 不是出於科學和社會經濟發展的需要， 而是出於數學內部發展的需要。 一般來說， 在我們的日常生活中， 歐幾裡得幾何更適用；在宇宙空間或原子核世界， 羅巴切夫斯基幾何更符合客觀實際；在地球表面研究航海、航空等實際問題， 黎曼幾何更準確一些。
不過， 空間和物理之間總存在難以厘清的關係，
數是各類藝術最終的抽象表現
—— 瓦西裡·康定斯基
集合論和公理化19世紀幾何學和代數學的變革， 給20世紀的數學帶來飛速的發展和空前的繁榮。 現代數學不再只是幾何、代數和分析這幾門傳統學科， 而成為分支眾多、結構龐雜的知識體系，並仍在不斷地發展和變化。數學的特點不只是嚴密的邏輯性，更添加了另外兩條，即高度的抽象性和廣泛的應用性，並因此形成了現代數學研究的兩個大的範圍，即純粹數學和應用數學。其中後者的一部分發展出電腦科學，撇開它的重要性，僅從為人類所提供的就業崗位來說，它就超過了所有其他數學分支的總和。
純粹數學最初主要受兩個因素推動，即集合論的滲透和公理化方法的應用。集合論本來是由G·康托爾於19世紀後期創立的，曾遭到包括克羅內克等在內的許多數學家的反對，後來因其在數學中的作用越來越明顯才獲得承認。集合最初是建立在數集或點集之上，不久它的定義範圍得以擴大，可以是任何元素的集合，如函數的集合、幾何圖形的集合等。這就使得集合論作為一種普遍的語言進入數學的不同領域，引起了數學中積分、函數、空間等基本概念的深刻變化，同時刺激了本章將要談到的數理邏輯中直覺主義與形式主義的進一步發展。
G·康托爾本是聖彼德堡出生的丹麥人，其猶太父母年輕時在俄國經商，生意做到了德國漢堡、英國倫敦乃至美國紐約。他與凱萊一樣，可謂在外從商者子女成才的楷模，只不過G·康托爾家在他祖父母那一代就來到了聖彼德堡。11歲那年，G·康托爾隨父母遷居德國，在那裡度過了一生的絕大部分時光。他在荷蘭阿姆斯特丹上了中學，後來又到瑞士蘇黎世和德國的幾所大學求學，逐漸喜歡上數學並決定以此為職業，儘管他在繪畫方面表現出的才能曾使全家為之驕傲。
►集合論的創始人康托爾
在G·康托爾的眼裡，集合是一些物件的總體，不管它們是有限的還是無限的。當運用“一一對應”的方法去研究集合時，他得出了驚人的結果：有理數是可數的，即能與自然數一一對應。他的證明非常有趣，
每行以大小次序排列，所有的正有理數均在其中，其中分母為i的在第i行，G.康托爾列出的排列順序如上圖所示。與此同時，他證明了全體實數是不可數的。
不僅如此，G·康托爾還給出了超越數存在性的非構造性證明。事實上，G·康托爾證明了代數數和有理數一樣也是可數的，又證明了實數是不可數的。這樣一來，由於代數數和超越數的全體構成了實數，超越數不僅存在而且數量比代數數要多得多。對超越數的研究後來成為20世紀數論研究的一道風景。
可是，由於G·康托爾認定無限是真實存在的，他受到同行長期的反對和攻擊，尤其是柏林大學的猶太教授克羅內克（Kronecker，1823—1891），後者不僅是一位傑出的數學家和成功的商人，在科學論戰方面也是最有力的鬥士。而G.康托爾卻軟弱無能，雖然真理在他那邊，以至於他畢生都在一所三流大學做教授。
G·康托爾為集合論引進了基數的理論，稱全體整數的基數為阿列夫零，稱後面較大的基數為阿列夫1、阿列夫2，等等（阿列夫是希伯來字母，G.康托爾是猶太人）。也就是說，他對無窮做了分類。他還證明，全體實數集合的基數大於阿列夫零。
這就引出了所謂的“康托爾連續統假設”：在阿列夫零與全體實數的基數之間不存在任何別的基數。20世紀初，德國數學家希爾伯特在巴黎國際數學家大會上發表著名的題為“數學問題”演講時，把這個假設或猜想排在留給20世紀的23個數學問題的第一位（超越數問題排在第7位）。
當G·康托爾發現“數學的肌體”得了重病，古希臘的芝諾傳染給它的疾病還沒有得到診治時，他便不由自主地想醫治它。可是，他對無窮問題所做的普羅米修士式的進攻卻導致他自己精神崩潰，那時他才40歲。很久以後，他死於德國中部的一家精神病院。在希爾伯特發表演講的第二年，羅素也談了他的看法：
芝諾關心過三個問題：無窮小、無窮和連續。每一代最優秀的智者都嘗試過解決這些問題，但是確切地說，他們什麼也沒得到……魏爾斯特拉斯、戴德金和G.康托爾徹底解決了它們，他們的解答清楚得不再留下絲毫懷疑，這可能是這個時代所能誇耀的最偉大的成就……無窮小的問題是由魏爾斯特拉斯解決的，其他兩個問題的解決是從戴德金開始，最後由G.康托爾完成的。
公理化的方法早在古希臘時代就被歐幾裡得發現了，並在其名著《幾何原本》中加以應用。眾所周知，《幾何原本》共建立了5個公設和5個公理。可是，歐幾裡得構築的公理體系並不完善。德國數學家希爾伯特重新定義了現代的公理化方法，他指出，“不論這些物件是點、線、面，還是桌子、椅子、啤酒杯，它們都可以成為這樣的幾何物件，對於它們而言，公理所表述的關係都成立。”
►剛果郵票上的希爾伯特
以點、線、面為例，歐幾裡得給這些物件都賦予描述性的定義，而在希爾伯特眼裡它們卻都是純粹抽象的物件，沒有特定的具體內容。此外，希爾伯特還考察了各公理之間的相互關係，明確提出了對公理系統的基本邏輯要求，即相容性、獨立性和完備性。當然，公理化只是一種方法，不像集合論有豐富的內容。儘管如此，希爾伯特的公理化方法不僅使幾何學具備了嚴密的邏輯基礎，而且逐步滲透到數學的其他領域，成為綜合、提煉數學知識並推動具體數學研究的強有力的工具。
1861年，希爾伯特出生在東普魯士的哥尼斯堡郊外，如今屬於俄羅斯的版圖，周圍是波蘭、立陶宛和波羅的海，並早已更名為加里寧格勒。雖然在那座城市出生的最偉大的公民是哲學家康得（他的一生都在這座偏遠的城市度過），可是希爾伯特卻與數學結下了不解之緣。
原來流經市區的普萊格爾河分成兩支，河上共有7座橋，其中5座把河岸和河中的一座小島連接起來，於是產生了一個數學問題：假設一個人只能通過每座橋一次，能否把7座橋都走遍？這個看似簡單的問題後來成為拓撲學的出發點，並被瑞士數學家歐拉解決了。
巧合的是，歐拉長期的通信物件、數學家哥德巴赫（Goldbach，1690—1764）也出生在哥尼斯堡，後者以提出一個著名的猜想（任何一個大於或等於6的偶數必可表示成兩個奇素數之和）聞名於世，與這個猜想最接近的結果來自中國數學家陳景潤（1966）。
►哥尼斯堡七橋遊戲的抽象圖
不過，直接促使希爾伯特堅定地走上數學之路的卻是同城的比他小兩歲的赫爾曼·閔可夫斯基（Hermann Minkowski，1864—1909）。赫爾曼出生在俄國的亞力克索塔斯（今立陶宛的考納斯），8歲隨家人移居哥尼斯堡，與希爾伯爾家僅一河之隔。這位天才的猶太少年剛滿18歲就贏得了法蘭西科學院的數學大獎，比赫爾曼年長6歲的哥哥奧斯卡·閔可夫斯基（Oscar Minkowski，1858—1931）被稱為“胰島素之父”，奧斯卡發現了胰島素和糖尿病之間的關聯。
與赫爾曼·閔可夫斯基這樣一位曠世才俊為伍，希爾伯特的才華不僅沒有被埋沒，反而得到了磨煉和積澱，並促使他默默奮鬥，打下了更為堅實的基礎。兩人（後成為師兄弟）的友誼持續了四分之一個世紀，從哥尼斯堡一直延伸到哥廷根。赫爾曼·閔可夫斯基後來因患急性闌尾炎英年早逝，希爾伯特則活到了80多歲，成就了一代大師的偉業。1900年，希爾伯特在巴黎國際數學家大會上提出了23個數學問題，為20世紀的數學發展指明了方向。
數學的抽象化集合論的觀點與公理化的方法在20世紀逐漸成為數學抽象化的範式，它們相互結合之後力量更強，把數學的發展引向更抽象的道路，推動了20世紀上半葉實變函數論、泛函分析、拓撲學和抽象代數這四大抽象數學分支的崛起，堪稱4朵抽象數學之花。
有意思的是，上一節提到的5位數學家（包括克羅內克）都是德國人，德意志可能是最擅長抽象思維的民族之一。數學當然是最抽象的科學分支了，無論在最抽象的藝術——音樂，還是最抽象的人文社會科學——哲學方面，德國也是人才輩出。
集合論的觀點首先引起了積分學的變革，從而推動了實變函數論的建立。19世紀末，分析的嚴格化迫使許多數學家認真考慮所謂的“病態函數”，例如魏爾斯特拉斯定義的處處連續但處處不可微函數。又如，
這是由高斯的學生狄利克雷定義的，這個函數處處不連續。在此基礎上，數學家們研究了如何把積分的概念推廣到更廣泛的函數類別中去。
►現代分析之父勒貝格
在這方面首先獲得成功的是法國數學家勒貝格（Lebesgue，1875—1941），他用集合論的方法定義了測度（勒貝格測度），作為原先“長度”概念的推廣，建立起所謂的“勒貝格積分”，從而把定積分的概念做了推廣。在此基礎上，他利用微分運算與積分運算的互逆性，重建了牛頓和萊布尼茨的微積分基本定理，從而形成了一個新的數學分支——實變函數論。同樣，這一新生事物也受到某些數學權威的斥責，勒貝格公佈自己的研究結果以後差不多有10年時間找不到工作。今天，人們把勒貝格以前的分析學稱為“經典分析”，而把他以後的分析稱為“現代分析”。
除了實變函數論以外，現代分析的另一個重要組成部分是泛函分析。“泛函”可以看成是“函數的函數”，這個詞由法國數學家阿達馬（Hadamard，1865—1963，以率先證明數論中的素數定理聞名）引進，我們在前面講變分法時已經舉過例子了。不少數學家在泛函分析理論方面都有重要建樹，其中希爾伯特引進了無窮實數組{a1,a2,…,an,…}組成的集合，這裡必須是有限數。在定義“內積”等概念和運算法則之後，他建立了第一個無限維空間，即所謂的“希爾伯特空間”。
10 年以後，波蘭數學家巴拿赫（Banach，1892—1945）又建立了更大的“賦範線性空間”（巴拿赫空間）概念，用“範數”替代內積來定義距離和收斂性等，極大地拓展了泛函分析的研究領域，同時真正做到空間理論的抽象化。與此同時，函數概念也進一步擴充和抽象化，最有代表性的便是廣義函數論的誕生，這方面我們僅舉一個例子，英國物理學家狄拉克（Dirac，1902—1984）定義了如下函數
這類函數雖然有悖傳統，但在物理學中卻十分常見。也正因為如此，泛函分析的觀點和方法後來被廣泛地應用到其他科學甚至是工程技術領域中。
在集合論的觀點説明建立實變函數論和泛函分析的同時，公理化方法也在向數學領域滲透，其中最有代表性的結果就是抽象代數的形成。自從伽羅華提出群的概念以後，群的類別就從有限群、離散群發展到了無限群、連續群。代數物件也在擴大，進一步產生了其他代數系統，如環（ring）、域（field）、格（lattice）、理想（ideal）等。
此後，代數學研究的中心就轉移到了代數結構上，這種結構由集合元素之間的若干二元關係合成運算組成，具有以下特點：一是集合的元素必須是抽象的，二是運算法則是通過公理來規定的。
►抽象代數奠基人諾特
一般認為，德國女數學家諾特（Noether，1882—1935）在1921年發表的《環中的理想論》是抽象代數的開端，她是這個領域最有建樹的數學家之一，她的弟子也遍佈世界。諾特被視為迄今為止最偉大的女數學家，也就是說，超過了在她之前的4位著名的女數學家，即古希臘的希帕蒂婭、近代義大利的阿涅西（Agnesi，1718—1799）、法國的熱爾曼（Germain，1776—1831）和俄國的柯瓦列夫斯卡婭。儘管如此，由於性別歧視，諾特在哥廷根大學很長時間都當不上講師，到納粹政府上臺時，年過半百的她還不是教授，到美國以後也只是在女子學院任教授。
►阿涅西箕舌線
最後，我們要談的是拓撲學，德裔美國數學家外爾（Weyl，1885—1955）說過，拓撲天使和代數魔鬼為佔有每一個數學地盤而展開了壯觀的鬥爭。由此可見這兩門學科的重要性，相比而言，拓撲學有比抽象代數更早的淵源和更有趣的例子，比如哥尼斯堡七橋問題（1736），地圖四色問題（1852），以及莫比烏斯帶（1858）。拓撲學研究幾何圖形的連續性質，即在連續變形（拉伸、扭曲但不能割斷和黏合）的情況下保持不變的性質。拓撲學這個詞是由高斯的一個學生引進的（1847），其希臘文原意是“位置的學問”。它雖然最初屬於幾何學，但其兩大分支卻分別是代數拓撲學和點集拓撲學。
點集拓撲學又名一般拓撲學，它把幾何圖形看作點的集合，同時把整個集合看作一個空間。數學家們從“鄰域”這個概念出發，引進連續、連通、維數等一系列概念，再加上緊致性、可分性和連通性等性質，建立了這門學科。它也有一些有趣的實例，比如，在地球的北極每一個方向都是朝南的，這本是經緯度的一種缺陷；地球上任何時刻總是至少有一個地方（颱風中心）沒有風。這兩個完全不同的事實對應於拓撲學中的“不動點定理”：n維單形到它自身的連續變換，至少有一個不動點。
►征服者而非殖民者：龐加萊
►俄羅斯數學家佩雷爾曼， 因證明龐加萊猜想而獲得 2006 年的菲爾茲獎
代數拓撲學的奠基人是法國數學家龐加萊（Poincaré，1854—1912），正如牆壁用磚砌成，他將幾何圖形分割成有限個相互連接的小圖形。他定義了所謂的高維流形、同胚和同調，後來的數學家又發展了同調論和同倫論，並把拓撲問題轉化為抽象代數問題。這個領域最早的一個著名定理是由笛卡兒（1635）提出後又被歐拉（1752）發現的，即任何沒有洞的多面體的頂點數加上面數再減去棱數等於2。還有一個“龐加萊猜想”（1904），即任意一個三維的單連通閉流形必與一個三維球面同胚。曾有人懸賞100萬美元以求證明這個猜想。
1854年，即黎曼拓展非歐幾何學的那一年，龐加萊出生在法國東北部城市南錫的一個顯赫家族。龐加萊有著超常的智力，卻不幸在5歲時患上白喉症，從此變得體弱多病，不能流暢地用話語表達自己的思想。但他依然喜歡各種遊戲，尤其是跳舞，他讀書的速度也十分驚人，能準確持久地記住讀過的內容，還擅長文學、歷史、地理、自然史等。他對數學的興趣產生得比較晚，大約是在15歲，不過很快就顯露出非凡的才華。19歲那年，龐加萊進入巴黎綜合理工學院。
龐加萊從未在一個研究領域做過久的逗留，一位同行戲稱他是“征服者，而不是殖民者”。從某種意義上講，整個數學領域都是龐加萊的“殖民地”（數學領域以外的貢獻也難以計數），但他對拓撲學的貢獻無疑最為重要。龐加萊猜想的證明及其推廣，即四維和四維以上空間的情形使得三位數學家前後各相隔20年分別獲得菲爾茲獎（1966、1986、2006），這在數學史上被傳為佳話。殊為難得的是，龐加萊還是天才的數學普及者，其平裝本的通俗讀物被譯成多種文字，在不同的國度和階層得到廣泛傳播，就如同後來的理論物理學家、《時間簡史》的作者史蒂芬·霍金（Stephen Hawking，1942—）那樣。
不同的是，龐加萊還是一位哲學家，他的著作《科學與假設》《科學的價值》《科學與方法》均產生了巨大影響。他是唯心主義哲學的約定論的代表人物，認為公理可以在一切可能的約定中進行選擇，但需以實驗事實為依據，並避開任何矛盾。同時，他反對無窮集合的概念，反對把自然數歸結為集合論，認為數學最基本的直觀概念是自然數，這又使他成為直覺主義的先驅者之一。龐加萊相信藝術家和科學家之間在創造力方面的共性，相信“只有通過科學與藝術，文明才能體現出價值”。
四維空間是非歐幾何學的一種特殊形式，當人們仍在辯論非歐幾何學以及違反歐幾裡得第五公設的哲學後果時，龐加萊是這樣引導我們想像四維世界的，“外在物體的形象被描繪在視網膜上，視網膜上的是一幅二維圖，而物體的形象是一幅透視圖……”按照他的解釋，既然二維面上的形象是從三維面來的投影，那麼三維面上的形象可以看作從四維面來的投影。龐加萊建議，可以將第四維描述成畫布上接連出現的不同透視圖。依照西班牙畫家畢卡索的視覺天賦，他認為不同的透視圖應該在時間的同時性裡展示出來，於是就有了《阿維尼翁的少女》（1907）——立體主義的開山之作。
►畢卡索的《阿維尼翁的少女》
值得一提的是，在《科學與假設》（1902）的眾多讀者裡，有一位叫普蘭斯的巴黎保險精算師，在立體主義誕生前夕，他是西班牙畫家畢卡索的“洗衣舫”藝術家圈子的成員。據說在一段時間裡，他的情人和畢卡索的情人是同一個。正是在普蘭斯的推介下，新幾何學成了“充滿熱情地探索著的”新藝術語言。
畢卡索的好友、立體主義的闡釋者阿波利奈爾總結道，“第四維不是一個數學概念，而是一個隱喻，它包含著新美術的種子。”在他看來，“立體主義用一個無限的宇宙取代了一個以人為中心的有限宇宙。”他還指出，“幾何圖形是繪畫必不可少的，幾何學對於造型藝術就如同語法對於寫作那樣重要。”或許我們可以這樣認為，立體主義是文藝復興以來，繪畫和幾何又一次美妙的邂逅。
繪畫中的抽象“抽象”（abstract）這個詞作為名詞在西文裡的意思是摘要，它常常被置於一篇數學論文的開頭，在標題、作者姓名和單位下面。在藝術領域，它可以被理解成從自然裡提取出來的什麼東西。正如集合論這類抽象數學的出現曾經引起一番爭議，長期以來抽象這個詞用在藝術上多少有些貶義，也讓人爭論不休。自從亞里斯多德以來，繪畫和雕塑一直被當成模仿的藝術，對此我們在第七章已有過較為詳細的論述。
直到19世紀中葉，藝術家才開始傾向於一種新的藝術觀念，即繪畫是獨立存在的一個實體，而並非對別的什麼東西的模仿。後來漸漸產生了這樣一種藝術：主題變成了附屬的或彎曲變形了的東西，以便強調造型或表現手段，那是一種不以表現自然為目的的藝術。塞尚可謂是這種藝術的先驅，他發現眼睛是連續而同時地觀看一個景色，他對於自然、人以及繪畫的觀念，全都展現在對他的故鄉普魯旺斯地區的山川、靜物和肖像的繪製中。對塞尚來說，抽象主要是一種方法，目的在於重建獨立繪畫的自然景致。
►塞尚自畫像
►塞尚的《玩紙牌者》
塞尚（Cézanne，1839—1906）被譽為“現代藝術之父”，在他的引領下， 19世紀末和20世紀初的藝術家們掀起了一波波現代主義的浪潮，典型的有以法國畫家馬蒂斯（Matisse，1869—1954）為代表的野獸派和以西班牙畫家畢卡索為代表的立體主義。可是，這些畫家的作品裡仍有一點兒可以辨認的主題，因此它們只能被稱為“抽象的”或“半抽象的”藝術。至此，抽象只是一個泛泛的形容詞，還不是一個專有名詞。
真正與“抽象代數”這個數學專業詞彙相對應的應該是“抽象藝術”，它專指那些沒有任何可以辨認主題的繪畫。俄國畫家康定斯基（Kandinsky，1866—1944）被視為第一個“抽象畫家”。18世紀以來，彼得大帝和葉卡捷琳娜女皇統治的俄國，在長期聘請像伯努利兄弟和歐拉這樣的大科學家的同時，也開啟了一種贊助藝術的傳統，並與西方不斷進行著密切的接觸，俄國人經常到法國、義大利和德國等地旅行。進入19世紀後，俄國的文學和音樂達到了很高的水準，戲劇和芭蕾也取得了長足的進步。
►凡·高的《星空》 與康定斯基的《莫爾諾的風景》
1866年，正好是黎曼去世的那一年，康定斯基出生在莫斯科，幾個月以後，波德賴爾也在巴黎去世了。康定斯基家族是來自西伯利亞的茶葉商人，有蒙古貴族的血統，據說康定斯基的祖母是一位中國的蒙古族公主，他的母親則是地地道道的莫斯科人。康定斯基幼時隨父母和姨母去義大利旅行，不久遷居黑海之濱的奧德薩（今屬烏克蘭）。父母離異後他隨姨母生活，在奧德薩上完中學，後來成為鋼琴與大提琴的演奏者和業餘畫家。
►康定斯基的作品
20歲那年，康定斯基進入莫斯科大學攻讀法律和經濟學，直至取得博士學位。其間他仍對繪畫保持著極大的興趣，並在一次去北部的沃洛格達州進行與法律有關的種族史調查時，對當地民間繪畫中色彩豔麗的非寫實風格產生了強烈的興趣。1896年，30歲的康定斯基立志成為畫家，他毅然放棄了莫斯科大學的助理教授職位，前往德國南方進入慕尼克的一所美術學院學習，4年後畢業。同學中有比他年輕13歲的瑞士人克利（Klee，1879—1940），後來他倆攜手成為20世紀的繪畫大師。
正是在慕尼克期間，康定斯基關於非客觀物體的或沒有實際主題的繪畫風格開始形成。經過一番探索，他找到並確立了自己的藝術目標：通過線條和色彩、空間和運動，無須參照可見的自然物體，來表現一種精神上的反應或決斷。早年的法學薰陶也幫助康定斯基成為畫家中理論水準最高的人，在《論藝術的精神》一書裡，他談到從法國印象派畫家馬奈（Manet，1832—1883）的作品裡第一次察覺到物體的非物質化問題，並不斷地吸引著他。自然科學中的革命性進展，也粉碎了他對可觸摸感知的物理世界秉持的信念。
►《論藝術的精神》德文版
從康定斯基身上我們可以感覺到一種神秘主義的內在力量，這是一種精神產品而不是外部景象或手工技巧的產品。他這樣寫道：“色彩和形式的和諧，從嚴格意義上講必須以觸及人類靈魂的原則為唯一基礎。”在他中年出版的《康定斯基回憶錄》裡，有這樣的一段描述：
最初給我留下深刻印象的色彩是明亮的翠綠、白、洋紅、黑，以及褐黃。這些回憶可以追溯到我三歲的時光。我曾在各種不同的物體上觀察它們，如今在我眼中那些物體的形狀已經遠不如色彩那麼清晰了。
隨著年齡的增長，康定斯基的作品開始向抽象幾何的風格演變，以圓和三角形為主要形式，這從其作品的名字也可以看出來，如《幾個圓圈》《一個中心》《黃紅藍》《不同的聲音》。
►從具象到抽象：蒙德里安的《紅樹》（上）《灰樹》（中）和《紅、黃、藍的構成》（下）
在他晚年出版的理論著作《康定斯基論點線面》中，他甚至分析了圖畫的抽象因素的想像效果，認為橫線表冷、分隔號表熱。康定斯基可能沒有一幅特別讓人印象深刻的代表作，但是任何一幅作品都具有鮮明的形象和豔麗的色彩，會讓你立刻辨認出，並帶給你愉悅感或引人深思。這一點似乎可以說明，抽象藝術（就像非歐幾何學）有著更廣闊的表現空間。
►馬列維奇的作品
►波洛克的行動繪畫
除了康定斯基以外，抽象藝術的畫家代表至少還有法國的馬列維奇（Malevich，1878—1935）、荷蘭的蒙德里安（Mondrian，1872—1944）和美國的波洛克（Pollock，1912—1956）。馬列維奇把抽象帶到一種最後的幾何簡化圖形中，例如，在一張白方塊中畫上一個斜的黑邊方塊。馬列維奇與康定斯基代表了抽象藝術的兩個方向，他和同時代的蒙德里安都直接從立體主義那裡得到啟示；而波洛克則採用了超現實主義的無意識行動技術，創造了在畫布甚至汽車發動機蓋上滴落與傾倒顏料的技術，他和從荷蘭偷渡到美國的庫寧（Kooning，1904—1997）是最早揚名世界的新大陸藝術家。
此次，《知識份子》還將選出五位讀者，獲贈此書，以饗讀者。讀者只要將本文轉發至朋友圈，並將截圖發送至《知識份子》微信公眾號首頁，即可參與此次贈書活動。更多書籍介紹，請點擊文末連結，進入預售介面瞭解詳情。
封底推薦語彭實戈，數學家
美是數學的一個重要特徵，這一特徵體現在了數學發展的整個歷史進程中，但由於數學的嚴格性和抽象性而難以為“局外人”所體會。《數學簡史》做到了這一點，作者蔡天新是我們這個世界上難得的詩人數學家。在閱讀本書時體會其無處不在的詩韻本身就是一種享受，它是數學自身固有的美和作者優雅的藝術品位的巧妙融合。
梁小民，經濟學家
小時候我們常把聰明的同學稱為“數學腦瓜”，是指數學好才聰明。數學不僅僅是計算方法，更重要的是思維方式。我一直想推薦一本數學史，讀過幾本，覺得還是太專業，太難讀。但這本《數學簡史》我覺得任何人都會有興趣讀下去，且會有所收穫。數學的發展主要在西方，但作者並沒有忘記中國。更可貴的是，這本書著眼於從整個人類文明的角度來介紹數學，這就讓人讀起來興趣盎然了。
饒 毅，生物學家
人類智力高低的標準是什麼？一直以來有較多的爭議。但數學作為人類智慧的結晶，卻是長久以來達成的共識。瞭解數學的歷史，既能瞭解作為高級動物的人類發展的歷史，更能窺見人類智力的進步。蔡天新的《數學簡史》敘述角度新穎、文字優美，讓我們一起享受這本書帶來的智趣吧。
►《數學簡史》封面，蔡天新著，中信出版社
https://world.tmall.com/item/559640592793.htm?spm=0.0.0.0.L5LDit&id=559640592793
製版編輯： 呂浩然｜
本頁刊發內容未經書面許可禁止轉載及使用
公眾號、報刊等轉載請聯繫授權
copyright@zhishifenzi.com
知識份子為更好的智趣生活 ID：The-Intellectual
純粹數學最初主要受兩個因素推動，即集合論的滲透和公理化方法的應用。集合論本來是由G·康托爾於19世紀後期創立的，曾遭到包括克羅內克等在內的許多數學家的反對，後來因其在數學中的作用越來越明顯才獲得承認。集合最初是建立在數集或點集之上，不久它的定義範圍得以擴大，可以是任何元素的集合，如函數的集合、幾何圖形的集合等。這就使得集合論作為一種普遍的語言進入數學的不同領域，引起了數學中積分、函數、空間等基本概念的深刻變化，同時刺激了本章將要談到的數理邏輯中直覺主義與形式主義的進一步發展。
G·康托爾本是聖彼德堡出生的丹麥人，其猶太父母年輕時在俄國經商，生意做到了德國漢堡、英國倫敦乃至美國紐約。他與凱萊一樣，可謂在外從商者子女成才的楷模，只不過G·康托爾家在他祖父母那一代就來到了聖彼德堡。11歲那年，G·康托爾隨父母遷居德國，在那裡度過了一生的絕大部分時光。他在荷蘭阿姆斯特丹上了中學，後來又到瑞士蘇黎世和德國的幾所大學求學，逐漸喜歡上數學並決定以此為職業，儘管他在繪畫方面表現出的才能曾使全家為之驕傲。
►集合論的創始人康托爾
在G·康托爾的眼裡，集合是一些物件的總體，不管它們是有限的還是無限的。當運用“一一對應”的方法去研究集合時，他得出了驚人的結果：有理數是可數的，即能與自然數一一對應。他的證明非常有趣，
每行以大小次序排列，所有的正有理數均在其中，其中分母為i的在第i行，G.康托爾列出的排列順序如上圖所示。與此同時，他證明了全體實數是不可數的。
不僅如此，G·康托爾還給出了超越數存在性的非構造性證明。事實上，G·康托爾證明了代數數和有理數一樣也是可數的，又證明了實數是不可數的。這樣一來，由於代數數和超越數的全體構成了實數，超越數不僅存在而且數量比代數數要多得多。對超越數的研究後來成為20世紀數論研究的一道風景。
可是，由於G·康托爾認定無限是真實存在的，他受到同行長期的反對和攻擊，尤其是柏林大學的猶太教授克羅內克（Kronecker，1823—1891），後者不僅是一位傑出的數學家和成功的商人，在科學論戰方面也是最有力的鬥士。而G.康托爾卻軟弱無能，雖然真理在他那邊，以至於他畢生都在一所三流大學做教授。
G·康托爾為集合論引進了基數的理論，稱全體整數的基數為阿列夫零，稱後面較大的基數為阿列夫1、阿列夫2，等等（阿列夫是希伯來字母，G.康托爾是猶太人）。也就是說，他對無窮做了分類。他還證明，全體實數集合的基數大於阿列夫零。
這就引出了所謂的“康托爾連續統假設”：在阿列夫零與全體實數的基數之間不存在任何別的基數。20世紀初，德國數學家希爾伯特在巴黎國際數學家大會上發表著名的題為“數學問題”演講時，把這個假設或猜想排在留給20世紀的23個數學問題的第一位（超越數問題排在第7位）。
當G·康托爾發現“數學的肌體”得了重病，古希臘的芝諾傳染給它的疾病還沒有得到診治時，他便不由自主地想醫治它。可是，他對無窮問題所做的普羅米修士式的進攻卻導致他自己精神崩潰，那時他才40歲。很久以後，他死於德國中部的一家精神病院。在希爾伯特發表演講的第二年，羅素也談了他的看法：
芝諾關心過三個問題：無窮小、無窮和連續。每一代最優秀的智者都嘗試過解決這些問題，但是確切地說，他們什麼也沒得到……魏爾斯特拉斯、戴德金和G.康托爾徹底解決了它們，他們的解答清楚得不再留下絲毫懷疑，這可能是這個時代所能誇耀的最偉大的成就……無窮小的問題是由魏爾斯特拉斯解決的，其他兩個問題的解決是從戴德金開始，最後由G.康托爾完成的。
公理化的方法早在古希臘時代就被歐幾裡得發現了，並在其名著《幾何原本》中加以應用。眾所周知，《幾何原本》共建立了5個公設和5個公理。可是，歐幾裡得構築的公理體系並不完善。德國數學家希爾伯特重新定義了現代的公理化方法，他指出，“不論這些物件是點、線、面，還是桌子、椅子、啤酒杯，它們都可以成為這樣的幾何物件，對於它們而言，公理所表述的關係都成立。”
►剛果郵票上的希爾伯特
以點、線、面為例，歐幾裡得給這些物件都賦予描述性的定義，而在希爾伯特眼裡它們卻都是純粹抽象的物件，沒有特定的具體內容。此外，希爾伯特還考察了各公理之間的相互關係，明確提出了對公理系統的基本邏輯要求，即相容性、獨立性和完備性。當然，公理化只是一種方法，不像集合論有豐富的內容。儘管如此，希爾伯特的公理化方法不僅使幾何學具備了嚴密的邏輯基礎，而且逐步滲透到數學的其他領域，成為綜合、提煉數學知識並推動具體數學研究的強有力的工具。
1861年，希爾伯特出生在東普魯士的哥尼斯堡郊外，如今屬於俄羅斯的版圖，周圍是波蘭、立陶宛和波羅的海，並早已更名為加里寧格勒。雖然在那座城市出生的最偉大的公民是哲學家康得（他的一生都在這座偏遠的城市度過），可是希爾伯特卻與數學結下了不解之緣。
原來流經市區的普萊格爾河分成兩支，河上共有7座橋，其中5座把河岸和河中的一座小島連接起來，於是產生了一個數學問題：假設一個人只能通過每座橋一次，能否把7座橋都走遍？這個看似簡單的問題後來成為拓撲學的出發點，並被瑞士數學家歐拉解決了。
巧合的是，歐拉長期的通信物件、數學家哥德巴赫（Goldbach，1690—1764）也出生在哥尼斯堡，後者以提出一個著名的猜想（任何一個大於或等於6的偶數必可表示成兩個奇素數之和）聞名於世，與這個猜想最接近的結果來自中國數學家陳景潤（1966）。
►哥尼斯堡七橋遊戲的抽象圖
不過，直接促使希爾伯特堅定地走上數學之路的卻是同城的比他小兩歲的赫爾曼·閔可夫斯基（Hermann Minkowski，1864—1909）。赫爾曼出生在俄國的亞力克索塔斯（今立陶宛的考納斯），8歲隨家人移居哥尼斯堡，與希爾伯爾家僅一河之隔。這位天才的猶太少年剛滿18歲就贏得了法蘭西科學院的數學大獎，比赫爾曼年長6歲的哥哥奧斯卡·閔可夫斯基（Oscar Minkowski，1858—1931）被稱為“胰島素之父”，奧斯卡發現了胰島素和糖尿病之間的關聯。
與赫爾曼·閔可夫斯基這樣一位曠世才俊為伍，希爾伯特的才華不僅沒有被埋沒，反而得到了磨煉和積澱，並促使他默默奮鬥，打下了更為堅實的基礎。兩人（後成為師兄弟）的友誼持續了四分之一個世紀，從哥尼斯堡一直延伸到哥廷根。赫爾曼·閔可夫斯基後來因患急性闌尾炎英年早逝，希爾伯特則活到了80多歲，成就了一代大師的偉業。1900年，希爾伯特在巴黎國際數學家大會上提出了23個數學問題，為20世紀的數學發展指明了方向。
數學的抽象化集合論的觀點與公理化的方法在20世紀逐漸成為數學抽象化的範式，它們相互結合之後力量更強，把數學的發展引向更抽象的道路，推動了20世紀上半葉實變函數論、泛函分析、拓撲學和抽象代數這四大抽象數學分支的崛起，堪稱4朵抽象數學之花。
有意思的是，上一節提到的5位數學家（包括克羅內克）都是德國人，德意志可能是最擅長抽象思維的民族之一。數學當然是最抽象的科學分支了，無論在最抽象的藝術——音樂，還是最抽象的人文社會科學——哲學方面，德國也是人才輩出。
集合論的觀點首先引起了積分學的變革，從而推動了實變函數論的建立。19世紀末，分析的嚴格化迫使許多數學家認真考慮所謂的“病態函數”，例如魏爾斯特拉斯定義的處處連續但處處不可微函數。又如，
這是由高斯的學生狄利克雷定義的，這個函數處處不連續。在此基礎上，數學家們研究了如何把積分的概念推廣到更廣泛的函數類別中去。
►現代分析之父勒貝格
在這方面首先獲得成功的是法國數學家勒貝格（Lebesgue，1875—1941），他用集合論的方法定義了測度（勒貝格測度），作為原先“長度”概念的推廣，建立起所謂的“勒貝格積分”，從而把定積分的概念做了推廣。在此基礎上，他利用微分運算與積分運算的互逆性，重建了牛頓和萊布尼茨的微積分基本定理，從而形成了一個新的數學分支——實變函數論。同樣，這一新生事物也受到某些數學權威的斥責，勒貝格公佈自己的研究結果以後差不多有10年時間找不到工作。今天，人們把勒貝格以前的分析學稱為“經典分析”，而把他以後的分析稱為“現代分析”。
除了實變函數論以外，現代分析的另一個重要組成部分是泛函分析。“泛函”可以看成是“函數的函數”，這個詞由法國數學家阿達馬（Hadamard，1865—1963，以率先證明數論中的素數定理聞名）引進，我們在前面講變分法時已經舉過例子了。不少數學家在泛函分析理論方面都有重要建樹，其中希爾伯特引進了無窮實數組{a1,a2,…,an,…}組成的集合，這裡必須是有限數。在定義“內積”等概念和運算法則之後，他建立了第一個無限維空間，即所謂的“希爾伯特空間”。
10 年以後，波蘭數學家巴拿赫（Banach，1892—1945）又建立了更大的“賦範線性空間”（巴拿赫空間）概念，用“範數”替代內積來定義距離和收斂性等，極大地拓展了泛函分析的研究領域，同時真正做到空間理論的抽象化。與此同時，函數概念也進一步擴充和抽象化，最有代表性的便是廣義函數論的誕生，這方面我們僅舉一個例子，英國物理學家狄拉克（Dirac，1902—1984）定義了如下函數
這類函數雖然有悖傳統，但在物理學中卻十分常見。也正因為如此，泛函分析的觀點和方法後來被廣泛地應用到其他科學甚至是工程技術領域中。
在集合論的觀點説明建立實變函數論和泛函分析的同時，公理化方法也在向數學領域滲透，其中最有代表性的結果就是抽象代數的形成。自從伽羅華提出群的概念以後，群的類別就從有限群、離散群發展到了無限群、連續群。代數物件也在擴大，進一步產生了其他代數系統，如環（ring）、域（field）、格（lattice）、理想（ideal）等。
此後，代數學研究的中心就轉移到了代數結構上，這種結構由集合元素之間的若干二元關係合成運算組成，具有以下特點：一是集合的元素必須是抽象的，二是運算法則是通過公理來規定的。
►抽象代數奠基人諾特
一般認為，德國女數學家諾特（Noether，1882—1935）在1921年發表的《環中的理想論》是抽象代數的開端，她是這個領域最有建樹的數學家之一，她的弟子也遍佈世界。諾特被視為迄今為止最偉大的女數學家，也就是說，超過了在她之前的4位著名的女數學家，即古希臘的希帕蒂婭、近代義大利的阿涅西（Agnesi，1718—1799）、法國的熱爾曼（Germain，1776—1831）和俄國的柯瓦列夫斯卡婭。儘管如此，由於性別歧視，諾特在哥廷根大學很長時間都當不上講師，到納粹政府上臺時，年過半百的她還不是教授，到美國以後也只是在女子學院任教授。
►阿涅西箕舌線
最後，我們要談的是拓撲學，德裔美國數學家外爾（Weyl，1885—1955）說過，拓撲天使和代數魔鬼為佔有每一個數學地盤而展開了壯觀的鬥爭。由此可見這兩門學科的重要性，相比而言，拓撲學有比抽象代數更早的淵源和更有趣的例子，比如哥尼斯堡七橋問題（1736），地圖四色問題（1852），以及莫比烏斯帶（1858）。拓撲學研究幾何圖形的連續性質，即在連續變形（拉伸、扭曲但不能割斷和黏合）的情況下保持不變的性質。拓撲學這個詞是由高斯的一個學生引進的（1847），其希臘文原意是“位置的學問”。它雖然最初屬於幾何學，但其兩大分支卻分別是代數拓撲學和點集拓撲學。
點集拓撲學又名一般拓撲學，它把幾何圖形看作點的集合，同時把整個集合看作一個空間。數學家們從“鄰域”這個概念出發，引進連續、連通、維數等一系列概念，再加上緊致性、可分性和連通性等性質，建立了這門學科。它也有一些有趣的實例，比如，在地球的北極每一個方向都是朝南的，這本是經緯度的一種缺陷；地球上任何時刻總是至少有一個地方（颱風中心）沒有風。這兩個完全不同的事實對應於拓撲學中的“不動點定理”：n維單形到它自身的連續變換，至少有一個不動點。
►征服者而非殖民者：龐加萊
►俄羅斯數學家佩雷爾曼， 因證明龐加萊猜想而獲得 2006 年的菲爾茲獎
代數拓撲學的奠基人是法國數學家龐加萊（Poincaré，1854—1912），正如牆壁用磚砌成，他將幾何圖形分割成有限個相互連接的小圖形。他定義了所謂的高維流形、同胚和同調，後來的數學家又發展了同調論和同倫論，並把拓撲問題轉化為抽象代數問題。這個領域最早的一個著名定理是由笛卡兒（1635）提出後又被歐拉（1752）發現的，即任何沒有洞的多面體的頂點數加上面數再減去棱數等於2。還有一個“龐加萊猜想”（1904），即任意一個三維的單連通閉流形必與一個三維球面同胚。曾有人懸賞100萬美元以求證明這個猜想。
1854年，即黎曼拓展非歐幾何學的那一年，龐加萊出生在法國東北部城市南錫的一個顯赫家族。龐加萊有著超常的智力，卻不幸在5歲時患上白喉症，從此變得體弱多病，不能流暢地用話語表達自己的思想。但他依然喜歡各種遊戲，尤其是跳舞，他讀書的速度也十分驚人，能準確持久地記住讀過的內容，還擅長文學、歷史、地理、自然史等。他對數學的興趣產生得比較晚，大約是在15歲，不過很快就顯露出非凡的才華。19歲那年，龐加萊進入巴黎綜合理工學院。
龐加萊從未在一個研究領域做過久的逗留，一位同行戲稱他是“征服者，而不是殖民者”。從某種意義上講，整個數學領域都是龐加萊的“殖民地”（數學領域以外的貢獻也難以計數），但他對拓撲學的貢獻無疑最為重要。龐加萊猜想的證明及其推廣，即四維和四維以上空間的情形使得三位數學家前後各相隔20年分別獲得菲爾茲獎（1966、1986、2006），這在數學史上被傳為佳話。殊為難得的是，龐加萊還是天才的數學普及者，其平裝本的通俗讀物被譯成多種文字，在不同的國度和階層得到廣泛傳播，就如同後來的理論物理學家、《時間簡史》的作者史蒂芬·霍金（Stephen Hawking，1942—）那樣。
不同的是，龐加萊還是一位哲學家，他的著作《科學與假設》《科學的價值》《科學與方法》均產生了巨大影響。他是唯心主義哲學的約定論的代表人物，認為公理可以在一切可能的約定中進行選擇，但需以實驗事實為依據，並避開任何矛盾。同時，他反對無窮集合的概念，反對把自然數歸結為集合論，認為數學最基本的直觀概念是自然數，這又使他成為直覺主義的先驅者之一。龐加萊相信藝術家和科學家之間在創造力方面的共性，相信“只有通過科學與藝術，文明才能體現出價值”。
四維空間是非歐幾何學的一種特殊形式，當人們仍在辯論非歐幾何學以及違反歐幾裡得第五公設的哲學後果時，龐加萊是這樣引導我們想像四維世界的，“外在物體的形象被描繪在視網膜上，視網膜上的是一幅二維圖，而物體的形象是一幅透視圖……”按照他的解釋，既然二維面上的形象是從三維面來的投影，那麼三維面上的形象可以看作從四維面來的投影。龐加萊建議，可以將第四維描述成畫布上接連出現的不同透視圖。依照西班牙畫家畢卡索的視覺天賦，他認為不同的透視圖應該在時間的同時性裡展示出來，於是就有了《阿維尼翁的少女》（1907）——立體主義的開山之作。
►畢卡索的《阿維尼翁的少女》
值得一提的是，在《科學與假設》（1902）的眾多讀者裡，有一位叫普蘭斯的巴黎保險精算師，在立體主義誕生前夕，他是西班牙畫家畢卡索的“洗衣舫”藝術家圈子的成員。據說在一段時間裡，他的情人和畢卡索的情人是同一個。正是在普蘭斯的推介下，新幾何學成了“充滿熱情地探索著的”新藝術語言。
畢卡索的好友、立體主義的闡釋者阿波利奈爾總結道，“第四維不是一個數學概念，而是一個隱喻，它包含著新美術的種子。”在他看來，“立體主義用一個無限的宇宙取代了一個以人為中心的有限宇宙。”他還指出，“幾何圖形是繪畫必不可少的，幾何學對於造型藝術就如同語法對於寫作那樣重要。”或許我們可以這樣認為，立體主義是文藝復興以來，繪畫和幾何又一次美妙的邂逅。
繪畫中的抽象“抽象”（abstract）這個詞作為名詞在西文裡的意思是摘要，它常常被置於一篇數學論文的開頭，在標題、作者姓名和單位下面。在藝術領域，它可以被理解成從自然裡提取出來的什麼東西。正如集合論這類抽象數學的出現曾經引起一番爭議，長期以來抽象這個詞用在藝術上多少有些貶義，也讓人爭論不休。自從亞里斯多德以來，繪畫和雕塑一直被當成模仿的藝術，對此我們在第七章已有過較為詳細的論述。
直到19世紀中葉，藝術家才開始傾向於一種新的藝術觀念，即繪畫是獨立存在的一個實體，而並非對別的什麼東西的模仿。後來漸漸產生了這樣一種藝術：主題變成了附屬的或彎曲變形了的東西，以便強調造型或表現手段，那是一種不以表現自然為目的的藝術。塞尚可謂是這種藝術的先驅，他發現眼睛是連續而同時地觀看一個景色，他對於自然、人以及繪畫的觀念，全都展現在對他的故鄉普魯旺斯地區的山川、靜物和肖像的繪製中。對塞尚來說，抽象主要是一種方法，目的在於重建獨立繪畫的自然景致。
►塞尚自畫像
►塞尚的《玩紙牌者》
塞尚（Cézanne，1839—1906）被譽為“現代藝術之父”，在他的引領下， 19世紀末和20世紀初的藝術家們掀起了一波波現代主義的浪潮，典型的有以法國畫家馬蒂斯（Matisse，1869—1954）為代表的野獸派和以西班牙畫家畢卡索為代表的立體主義。可是，這些畫家的作品裡仍有一點兒可以辨認的主題，因此它們只能被稱為“抽象的”或“半抽象的”藝術。至此，抽象只是一個泛泛的形容詞，還不是一個專有名詞。
真正與“抽象代數”這個數學專業詞彙相對應的應該是“抽象藝術”，它專指那些沒有任何可以辨認主題的繪畫。俄國畫家康定斯基（Kandinsky，1866—1944）被視為第一個“抽象畫家”。18世紀以來，彼得大帝和葉卡捷琳娜女皇統治的俄國，在長期聘請像伯努利兄弟和歐拉這樣的大科學家的同時，也開啟了一種贊助藝術的傳統，並與西方不斷進行著密切的接觸，俄國人經常到法國、義大利和德國等地旅行。進入19世紀後，俄國的文學和音樂達到了很高的水準，戲劇和芭蕾也取得了長足的進步。
►凡·高的《星空》 與康定斯基的《莫爾諾的風景》
1866年，正好是黎曼去世的那一年，康定斯基出生在莫斯科，幾個月以後，波德賴爾也在巴黎去世了。康定斯基家族是來自西伯利亞的茶葉商人，有蒙古貴族的血統，據說康定斯基的祖母是一位中國的蒙古族公主，他的母親則是地地道道的莫斯科人。康定斯基幼時隨父母和姨母去義大利旅行，不久遷居黑海之濱的奧德薩（今屬烏克蘭）。父母離異後他隨姨母生活，在奧德薩上完中學，後來成為鋼琴與大提琴的演奏者和業餘畫家。
►康定斯基的作品
20歲那年，康定斯基進入莫斯科大學攻讀法律和經濟學，直至取得博士學位。其間他仍對繪畫保持著極大的興趣，並在一次去北部的沃洛格達州進行與法律有關的種族史調查時，對當地民間繪畫中色彩豔麗的非寫實風格產生了強烈的興趣。1896年，30歲的康定斯基立志成為畫家，他毅然放棄了莫斯科大學的助理教授職位，前往德國南方進入慕尼克的一所美術學院學習，4年後畢業。同學中有比他年輕13歲的瑞士人克利（Klee，1879—1940），後來他倆攜手成為20世紀的繪畫大師。
正是在慕尼克期間，康定斯基關於非客觀物體的或沒有實際主題的繪畫風格開始形成。經過一番探索，他找到並確立了自己的藝術目標：通過線條和色彩、空間和運動，無須參照可見的自然物體，來表現一種精神上的反應或決斷。早年的法學薰陶也幫助康定斯基成為畫家中理論水準最高的人，在《論藝術的精神》一書裡，他談到從法國印象派畫家馬奈（Manet，1832—1883）的作品裡第一次察覺到物體的非物質化問題，並不斷地吸引著他。自然科學中的革命性進展，也粉碎了他對可觸摸感知的物理世界秉持的信念。
►《論藝術的精神》德文版
從康定斯基身上我們可以感覺到一種神秘主義的內在力量，這是一種精神產品而不是外部景象或手工技巧的產品。他這樣寫道：“色彩和形式的和諧，從嚴格意義上講必須以觸及人類靈魂的原則為唯一基礎。”在他中年出版的《康定斯基回憶錄》裡，有這樣的一段描述：
最初給我留下深刻印象的色彩是明亮的翠綠、白、洋紅、黑，以及褐黃。這些回憶可以追溯到我三歲的時光。我曾在各種不同的物體上觀察它們，如今在我眼中那些物體的形狀已經遠不如色彩那麼清晰了。
隨著年齡的增長，康定斯基的作品開始向抽象幾何的風格演變，以圓和三角形為主要形式，這從其作品的名字也可以看出來，如《幾個圓圈》《一個中心》《黃紅藍》《不同的聲音》。
►從具象到抽象：蒙德里安的《紅樹》（上）《灰樹》（中）和《紅、黃、藍的構成》（下）
在他晚年出版的理論著作《康定斯基論點線面》中，他甚至分析了圖畫的抽象因素的想像效果，認為橫線表冷、分隔號表熱。康定斯基可能沒有一幅特別讓人印象深刻的代表作，但是任何一幅作品都具有鮮明的形象和豔麗的色彩，會讓你立刻辨認出，並帶給你愉悅感或引人深思。這一點似乎可以說明，抽象藝術（就像非歐幾何學）有著更廣闊的表現空間。
►馬列維奇的作品
►波洛克的行動繪畫
除了康定斯基以外，抽象藝術的畫家代表至少還有法國的馬列維奇（Malevich，1878—1935）、荷蘭的蒙德里安（Mondrian，1872—1944）和美國的波洛克（Pollock，1912—1956）。馬列維奇把抽象帶到一種最後的幾何簡化圖形中，例如，在一張白方塊中畫上一個斜的黑邊方塊。馬列維奇與康定斯基代表了抽象藝術的兩個方向，他和同時代的蒙德里安都直接從立體主義那裡得到啟示；而波洛克則採用了超現實主義的無意識行動技術，創造了在畫布甚至汽車發動機蓋上滴落與傾倒顏料的技術，他和從荷蘭偷渡到美國的庫寧（Kooning，1904—1997）是最早揚名世界的新大陸藝術家。
此次，《知識份子》還將選出五位讀者，獲贈此書，以饗讀者。讀者只要將本文轉發至朋友圈，並將截圖發送至《知識份子》微信公眾號首頁，即可參與此次贈書活動。更多書籍介紹，請點擊文末連結，進入預售介面瞭解詳情。
封底推薦語彭實戈，數學家
美是數學的一個重要特徵，這一特徵體現在了數學發展的整個歷史進程中，但由於數學的嚴格性和抽象性而難以為“局外人”所體會。《數學簡史》做到了這一點，作者蔡天新是我們這個世界上難得的詩人數學家。在閱讀本書時體會其無處不在的詩韻本身就是一種享受，它是數學自身固有的美和作者優雅的藝術品位的巧妙融合。
梁小民，經濟學家
小時候我們常把聰明的同學稱為“數學腦瓜”，是指數學好才聰明。數學不僅僅是計算方法，更重要的是思維方式。我一直想推薦一本數學史，讀過幾本，覺得還是太專業，太難讀。但這本《數學簡史》我覺得任何人都會有興趣讀下去，且會有所收穫。數學的發展主要在西方，但作者並沒有忘記中國。更可貴的是，這本書著眼於從整個人類文明的角度來介紹數學，這就讓人讀起來興趣盎然了。
饒 毅，生物學家
人類智力高低的標準是什麼？一直以來有較多的爭議。但數學作為人類智慧的結晶，卻是長久以來達成的共識。瞭解數學的歷史，既能瞭解作為高級動物的人類發展的歷史，更能窺見人類智力的進步。蔡天新的《數學簡史》敘述角度新穎、文字優美，讓我們一起享受這本書帶來的智趣吧。
►《數學簡史》封面，蔡天新著，中信出版社
https://world.tmall.com/item/559640592793.htm?spm=0.0.0.0.L5LDit&id=559640592793
製版編輯： 呂浩然｜
本頁刊發內容未經書面許可禁止轉載及使用
公眾號、報刊等轉載請聯繫授權
copyright@zhishifenzi.com
知識份子為更好的智趣生活 ID：The-Intellectual